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均值不等式定理求最值

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均值不等式定理求最值
复习目标：熟练掌握均值不等式求最值的思想方法和实际应用
一、 基础知识
1、 均值不等式定理

(1)、abbaba2R,22、 (当且仅当ba时取“=”)
(2)、abbaRba2,、 (当且仅当ba时取“=”)
(3)、22,,22babaabRba (当且仅当ba时取”=”)
此定理六个方面的应用要多体会掌握。
(4)、abccbaRcba3,333、、 (当且仅当cba时取“=”)
(5)、33,abccbaRcba、、 (当且仅当cba时取”=”)
2、 均值不等式定理求最值的基本原则
（1）、“一正”：要求在正数条件下或能转化为正数条件的情况下才用均值不等式定理。
(2)、“二定”：即“和定积大与积定和小”原则，这一原则要求：求某些变量的和的最小
值问题应使变量的乘积为定值；而求变量的乘积的最大值问题应转化到变量的和为定值。反之，
变量的和为定值必转化为求变量积的最大值问题，变量的积为定值必转化为求变量和的最小值
问题。总之，使用均值不等式定理后使变量消去成常数是均值不等式定理求最值的指导思想，
也是产生各种技巧的力量源泉。
(3)、“三相等”：即“二”成立原则，这一原则要求验算“二”成立的充要条件，这是保
证所求最值正确与否的关键。完成这一步骤主要看两点：一看“二”成立的充要条件是否有解；
二看“二”成立的充要条件有解时的解是否在函数定义域内。如这两点均符合要求，所求函数
最值就正确无疑了。
3、均值不等式定理及在求函数最值中的应用是高考热点之一。均值定理的运用最为灵活，
往往需灵活变形才能使用。用均值不等式求最值应着重注意三原则：一正、二定、三相等，其
中“三相等”就是等号成立的充要条件，这是求解变量取什么值可有最值的唯一途径，应该注
意求得的变量是否在函数的定义域内或满足题中的限制条件下，这也是验证这种方法是否可行
的唯一办法。如不满足三相等条件，要及时调整解题思路，另寻解题方法。而转到函数单调性

和数型结合是常见和有效的方法。其中函数xbaxy )0,0(ba型（对a、b其它情况可

类似讨论）在求函数最值中的应用要掌握，该函数是奇函数且在],0(ab单调递减，在
),[
a

b

单调递增。
二、基础训练
1、 函数)0(16xxxy的最小值是____________,相应x_____________

2、 函数1222xxy的最小值是____________,相应x_____________
3、 函数)0(42xxxy的最小值是____________,相应x______________
4、函数xxy132)0(x的最小值是____________,相应x_____________
5、 函数)10)(1(xxxy的最大值是____________,相应x___________
6、0、设07、 设a,b(0,)，且a+b=1, 求11ab的最小值。
8、若ｘ＞0，求函数y = 21xxx的最小值。
9、若x>3, 求函数y = 13x + x的最小值。
10、函数)310)(31(xxxy的最大值是____________,相应x_________
三、巩固练习
1、求数)10)(1(2xxxy的最大值及相应的x值。

2、若正数ba、满足302abba，求ab的最大值及相应的ba、值。
3、若函数]),0[,0,0,0)((cxbasbxxasy，求y的最小值及相应的x值。

4、求函数)0(2443232xxxxy的最小值。
5、求函数)0(2sin)cos1(xxxy的最大值。
6、求函数222)1(164xxy的最小值。
7、设ba,是正常数，yx,R，且2ybxa,求yx的最小值。
8、设ba,是正常数，10x，求xbxa122的最小值。
9、已知正数,ab满足1ba，求baba11222的最小值。
10、已知a>b>0，求)(162baba的最小值。
11、设计一幅宣传画，要求画面面积为24840cm，画面的宽与高的比为)1(，画面的
上下各留cm8空白，左右各留cm5的空白。怎样确定画面的宽与高尺寸，能使宣传画所用纸张
最小？

12、已知函数|lg|)(xxf。若ba，且)()(bfaf，则ba的取值范围是（ ）
)(A ,1 )(B ,1 )(C ,2 )(D

,2

13、已知函数|lg|)(xxf。若ba0，且)()(bfaf，则ba2的取值范围是（ ）
)(A ,22 )(B ,22 )(C ,3 )(D

,3

14、已知函数|lg|)(xxf。若ab0，且)()(bfaf，则ba2的取值范围是（ ）
)(A ,22 )(B ,22 )(C ,3 )(D

,3

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均值不等式

均值不等式


例2 (1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大
值； 4 (2)求 ＋a 的取值范围； a－ 2 3 4 (3)已知 x>0， y>0， 且 x＋y＝1， 求x＋ y的最小值．
【思路分析】 消元转化 → 构造和或积为定值 →
利用均值不等式求最值 → 确定取得最值的条件
【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x4－2x＝ 2· x2－x x＋2－x ≤ 2· ＝ 2， 2 当且仅当 x＝2－x 即 x＝1 时取等号， ∴当 x＝1 时，函数 y＝ x4－2x的最大值是 2.
ab ab 2
A
ab ab 2 C
a+b 2 ab
aO
D
b
B
b a 例1．已知ab>0，求证： ≥ 2 ，并 a b 推导出式中等号成立的条件。
b a 证明：因为ab>0，所以 0, 0 ， a b
根据均值不等式得
b a 当且仅当 时，即a2=b2时式中等号 a b 成立，
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为正实数. 2．语言表述：两个正实数的算术平
均数大于或等于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a>0,b>0) 2
称为基本不等式
几何直观解释： 令正数a，b为两条线段的长，用几何作
互动探究 把本例(3)中的条件改为 x>0，y>0 3 4 且x＋ y ＝1，求 x＋y 的最小值．
3 4 解：∵x>0，y>0 且x＋ y ＝1， 3 4 4x 3y ∴x＋y＝(x＋y)(x＋ y )＝3＋ y ＋ x ＋4 4x 3y ≥7＋2· y · x ＝7＋4 3， 4x 3y 当且仅当 y ＝ x ，即 2x＝ 3y 时取等号， ∴x＋y 的最小值为 7＋4 3.
均值定理最全讲义

均值定理最全讲义

均值不等式一、 要点：明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.注意利用均值不等式求解最值时的“配凑”问题【二元均值不等式】 依据：),(222R b a ab b a ∈≥+变式：),(2+∈≥+R b a ab b a ；),(2222+∈+≤+≤R b a b a b a ab ；2)2(b a ab +≤ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等”【三元均值不等式】依据：),,(3333+∈≥++R c b a abc c b a 变式：),,(33+∈≥++R c b a abc c b a ，3)3(c b a abc ++≤ 作用：与二元均值不等式相仿 推广：),,,(2121321+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++R x x x x x x n nx x x x n n n n(即n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)二、分类练习Ⅰ、直接运用1. 已知0x >,0y >，求x yy x+的最小值 2. 已知x,y 同号，求4y xx y+的最小值 3. 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________ 4. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为5. 设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( )(A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+ 6. 若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)432 7. 已知x ＞0，y ＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy 的最大值 8. 证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+Ⅱ、整体代入1. 若0x >,0y >,且41x y +=,求41x y+的最小值2. 若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为3. 已知x ＞0，y ＞0，且412x y+=，求4x y +的最小值 4. 已知x y >>00，，且119x y+=，求x y +的最小值5. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b=+11的最小值 6. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为7. 已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(>---zyxⅢ、换元1、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .2、已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是 .3、若正实数x ，y 满足，则xy 的最大值是 。

6.4均值不等式

6.4均值不等式


• 误区警示 • 在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二 定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都 必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必 须为定值．“三相等”是说各个项中字母取某 个值时，能够使得各项的值相等． • 其中，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组 合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键 ． • 多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立 条件的一致性．
a＋b 1．基本不等式：对任意 a、b∈R＋，有 ≥ ab 2 成立，当且仅当 a＝b 时取等号． (1)x、y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝ y 时，x＋y 有最小值 2 P. (2)x、y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x S2 ＝y 时，xy 有最大值 . 4
4
考点一
利用基本不等式证明不等式
2 2 4 2 2 2 2 4
1.证明不等式 a +b +c ≥a b +b c +c a . 证明:∵2(a +b +c )=(a +b )+(b +c )+(c +a ), a +b ≥2a b ,b +c ≥2b c , c +a ≥2c a ,
4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4
• 1．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应 用基本不等式求最值时，①通过对所给式进行 巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出 现定值是解题的关键．②必须指出等号成立的 条件． • 2．“恒成立”问题的解法 • 不等式的“恒成立”问题是不等式综合应用中 一类常见的题型，蕴涵着转化、数形结合、分 类讨论、函数与方程等丰富的数学思想方法， 处理不等式恒成立问题的基本思路是转化为求 函数的最值或函数值域的问题．
3.2均值不等式

3.2均值不等式

a +b 3.我们把不等式 3.我们把不等式 ≥0,b ≥ ab (a≥0,b≥0) 2
称为基本不等式
a+b 看做两个正数 正数a 的等差中项， 看做两个正数a，b 的等差中项， 把 2 看做正数 正数a 的等比中项， ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为： 那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于 两个正数的等差中项不小于它们的等比 不小于它们的等比 中项。 中项。 运用均值不等式的条件: 运用均值不等式的条件: 一正二定三相等
规律： 规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
练习:P72 练习
练习B 5 练习
2 x + x 3 例5．求函数 f ( x) = ( x > 0) x
2
的最大
值，及此时x的值。 及此时x的值。 练习:P72 练习 练习B 3 练习
4 π 3 求函数y = sin α + 其中α ∈ 0， ] （ sin α 2 的最小值 。 4 4 解：y = sin α + ≥ 2 sin α sin α sin α = 4,∴函数的最小值为 。 4
用均值不等式求最值, 用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 相等” 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4 练习4.当 >3时 练习4.当a>3时,求函数 f ( x) = a + a 3 的最值; 的最值;
下面几道题的解答可能有错 如果错了 下面几道题的解答可能有错，如果错了， 有错， 错了， 那么错在哪里？ 那么错在哪里？ 1 １．已知函数 f (x) = x + ，求函数的 x 最小值和此时x的取值． 最小值和此时x的取值．