数列的概念及简单表示法知识点讲解+例题讲解(含解析)

数列的概念与简单表示法【学习目标】1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。

关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.【要点梳理】要点一、数列的概念 数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。

数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项.要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。

是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

一、数列的概念与简单表示法1．数列的相关概念定义：按照一定顺序排列的一列数叫数列．（例如：1,3,5,7,9…）．项与项数：数列中每一个数叫做数列的项，排在第一位的叫做第一项（通常叫首项），以此类推，排在第n 位的叫做数列的第n 项． 表示：数列一般形式可以写成：123,,,,,,n a a a a 简记为{}n a ．2．数列的分类按照数列中项数有限和无限分为：有穷数列，无穷数列． 按照数列的项的变化趋势分类：递增数列（1n n a a +>）；递减数列（1n n a a +<）；常数列（1n n a a +=）；摆动数列（1n a +与n a 随着n 的变化大小关系不确定）．例如：1,3,5,7,9…（无穷递增数列），10,7,4,1,-2,…,-14（有穷递减数列），2,2,2,2,…（常数列），1,-1,1,-1,1…（摆动数列）． 3．数列与函数的关系数列可以看成以正整数*N （或它的有限子集{1,2,,}n ）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值． 4．数列的表示方法通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．例如：1,3,5,7,9…可表示为21n a n =-，n ∈*N ．注意：①不是所有的数列都能写出它的通项公式；②对于一个确定的数列，通项公式不一定唯一．直接列出：123,,,,,.n a a a a图像表示：在平面直角坐标系中，数列可以用一群孤立的点(,)n n a 表示．递推公式：给出数列的第一项（或前几项），再给出后面的项用前面的项来表示的式子，这种表示数列的方法叫递推公式法． 例如：数列{}n a 中，有11a =，111n n a a -=+，根据此递推公式，我们就可以依次写出数列中的每一项． 5．n a 与n S 的关系数列前n 项和记为n S ，则1231n n n S a a a a a -=+++++，11231n n S a a a a --=++++，两式相减，得1n n n a S S -=-，由于n 只能取正整数，当1n =时1n S -不存在，不能使用上式，但当1n =时很明显有11a S =，故我们得到通项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ．3练习题：21n-1(2)=+，则220是这个数列的（n n2n答案解析：，n,99,999,再把这个数列的每一项乘以5，得到令11n na a +≥，解得6n ≤ 即6n ≤时，1n n a a +≥，6n >时，1n n a a +< 故6a 或7a 最大． 答案：6或7 15解析：函数对称轴为297.254-=-，n ∈*N ，故7n =时最大，带入得7108a =． 答案：B16解析：由题意可知1n n a a +>，即22(1)(1)n n n n λλ+++>+ 解得21n λ>--恒成立，21n --在1n =时取得最大值3- 故3λ>-． 答案：D17解析：54554(21)(21)321616a S S =-=---=-=． 答案：16 18解析：1n n S n =+，则443431413120a S S =-=-=++，420a ∴=． 答案：C19解析：1n =时，113214a S ==+-=2n ≥时，221321[3(1)2(1)1]61n n n a S S n n n n n -=-=+---+--=-此式不适合1n =时取值．答案：4(1)61(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．数学浪子整理制作，侵权必究。

课时作业31 数列的概念与简单表示法一、选择题1．已知数列1,2，7，10，13，…，则219在这个数列中的项数是( C )A ．16B ．24C ．26D ．28解析：因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，解得n ＝26.2．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n(n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p－a q ＝( D )A ．10B ．15C ．－5D ．20 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，则a 11的值为( A ) A ．31 B ．32 C ．61D ．62解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2－a n ＝6，∴a 3＝6＋1＝7，a 5＝6＋7＝13，a 7＝6＋13＝19，a 9＝6＋19＝25，a 11＝6＋25＝31.4．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( C )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92解析：因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)， 所以b <2n ＋1(n ∈N *)， 所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.5．(2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 017的末位数字为( B )A ．8B ．2C ．3D ．7解析：由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，∴数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…， 末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，∵2 017＝4×504＋1，∴b 2 017的末位数字为2，故选B. 6．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n－λ)(1a n＋1)，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3)解析：由a n ＋1＝a n a n ＋2，知1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2(1a n＋1)，所以数列{1a n ＋1}是首项为1a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以1a n ＋1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －λ)·2n ，因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n －(n －1－λ)2n －1＝(n ＋1－λ)2n －1>0对一切正整数n 恒成立，所以λ<n ＋1，因为n ∈N *，所以λ<2，故选C.二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 3＝3，a n ＝n .解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n＝n ＋1n ，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n (n ≥2)，∴a 3＝3.∵a 1＝1满足a n ＝n ，∴a n ＝n .8．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2.解析：已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1，将n ＝1代入，得a 1＝2；当n ≥2时，将n －1代入得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n ，两式相减得na n ＝(n ＋1)－n ＝1，∴a n ＝1n ，∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2.9．(2019·惠州市调研考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝n ·2n －1.解析：a n ＋1－2a n ＝2n两边同除以2n ＋1，可得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，∴数列{a n 2n }是以12为首项，12为公差的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，∴a n ＝n ·2n －1.10．(2019·吉林普通中学二调)已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋12a n ，则a na n －1(n >1)的最大值为2.解析：∵S n ＝n ＋12a n ，∴当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋12a n －n2a n －1，即a n a n －1＝n n －1，∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n －1单调递减，∴当n ＝2时，a n a n －1＝2最大．三、解答题11．(2019·浙江舟山模拟)已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得， a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1，a 1＝0(舍)． S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2(负值舍去)；同理可得a 3＝3，a 4＝4. (2)因为S n ＝12a 2n ＋a n2， ①所以当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋a n －12， ② ①－②得a n ＝12(a n －a n －1)＋12(a 2n －a 2n －1)， 所以(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＝n .12．(2019·河南南阳一中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)．(1)求a 2的值，并证明a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1，得2a 1a 2＝4S 1－3，a 1＝1，所以a 2＝12，2a n a n ＋1＝4S n －3,2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3，两式相减得2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1.因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，所以当n 为奇数时，a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，所以当n 为偶数时，a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，综上所述，a n ＝⎩⎨⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.能力拓展13．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝15，a 7＋a 9＝34，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，且对于任意的n ∈N *，T n <a n ＋11t ，则实数t 的取值范围为(0,162)．解析：依题意，设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 3＝15，故S 3＝3a 2＝15，故a 2＝5.又a 7＋a 9＝2a 8＝34，故a 8＝17，故a 8－a 2＝6d ＝12，故d ＝2，故a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，所以1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12(12n ＋1－12n ＋3)，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝1213－12n ＋3＝n3(2n ＋3)，因为T n <a n ＋11t ，即n3(2n ＋3)<2n ＋12t ，显然t >0，所以t <3(2n ＋12)(2n ＋3)n ＝3(4n 2＋30n ＋36)n＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋9n ＋90，又n ＋9n ≥6，当且仅当n ＝3时，等号成立，所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋9n ＋90≥162.所以0<t <162.14．已知等比数列{a n }是递增数列，a 2a 5＝32，a 3＋a 4＝12，又数列{b n }满足b n ＝2log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求S n ；(2)若对任意n ∈N *，都有S n a n ≤S ka k成立，求正整数k 的值．解：(1)因为{a n }是等比数列， 则a 2a 5＝a 3a 4＝32，又a 3＋a 4＝12，且{a n }是递增数列， 所以a 3＝4，a 4＝8，所以q ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.所以b n ＝2log 2a n ＋1＝2log 22n ＝2n .所以S n ＝2＋4＋…＋2n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n . (2)令c n ＝S n a n ＝n 2＋n 2n －1，则c n ＋1－c n ＝S n ＋1a n ＋1－S na n＝(n ＋1)(n ＋2)2n －n (n ＋1)2n －1 ＝(n ＋1)(2－n )2n. 所以当n ＝1时，c 1<c 2； 当n ＝2时，c 3＝c 2； 当n ≥3时，c n ＋1－c n <0， 即c 3>c 4>c 5>…，所以数列{c n }中最大项为c 2和c 3.所以存在k ＝2或3，使得任意的正整数n ，都有S k a k ≥S na n.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·洛阳市第一次联考)已知数列{a n }满足na n ＋2－(n ＋2)a n＝λ(n 2＋2n )，其中a 1＝1，a 2＝2，若a n <a n ＋1对任意的n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是[0，＋∞)．解析：由na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )＝λn (n ＋2)得a n ＋2n ＋2－a nn＝λ，所以数列{a nn }的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，因为a 1＝1，a 2＝2，所以当n 为奇数时，a nn ＝1＋λ(n ＋12－1)＝n －12λ＋1，所以a n ＝n 2－n 2λ＋n .当n 为偶数时，a n n ＝1＋λ(n2－1)＝n －22λ＋1，所以a n ＝n 2－2n 2λ＋n ，当n 为奇数时，由a n <a n ＋1得n 2－n 2λ＋n <(n ＋1)2－2(n ＋1)2λ＋n ＋1，即λ(n －1)>－2，若n ＝1，则λ∈R ，若n >1，则λ>－2n －1，所以λ≥0.当n 为偶数时，由a n <a n ＋1得n 2－2n 2λ＋n <(n ＋1)2－(n ＋1)2λ＋n ＋1，即3λn >－2，所以λ>－23n ，即λ≥0.综上，实数λ的取值范围为[0，＋∞)．。