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第六章数列第一节数列的概念与简单表示[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数1.由a n与S n的关系求通项a n.2.由递推关系求通项公式．3.数列的函数特征1.逻辑推理．2.数学运算[重点准·逐点清]重点一数列的概念1．定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．[提醒]数列的一般形式为a1，a2，…，a n，…，通常记为{a n}，其中a n是数列{a n}的第n项，S n＝a1＋a2＋…＋a n为{a n}的前n项和．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的分类[提醒](1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一．[逐点清]1．(必修5第67页A 组2题改编)数列{a n }的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项可能是( )A ．a n ＝5n －42B ．a n ＝3n －22 C ．a n ＝6n －52D ．a n ＝10n －92解析：选A 数列为12，62，112，162，212，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为a n ＝5n －42.2．(易错题)在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2中，0.08是它的第 项．解析：依题意得n －2n 2＝225，解得n ＝10或n ＝52(舍)．答案：10重点二 数列的表示方法1．列表法：列出表格来表示数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系．见下表：2．图象法：在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n ，a n )．3．通项公式法：如果数列{a n }的第n 项与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式实际上是一个以N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数的表达式．4．递推公式法：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．[提醒] 通项公式与递推公式的异同点[逐点清]3．(多选)下列说法正确的是( ) A ．任何数列都有通项公式 B ．数列的通项公式形式可能不唯一C ．数列1,3,7,15,31，…的一个通项公式为a n ＝2n －1D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n a n －1(n ≥2)，则a 5＝23解析：选BCD 不是每一个数列都有通项公式．例如，π的不足近似值精确到1,0.1,0.01,0.001，…所构成的数列3,3.1,3.14,3.142，…就没有通项公式，A 错误；数列通项公式的形式可能不唯一．例如，数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝2k －1，k ∈N *，1，n ＝2k ，k ∈N *，还可以写成a n ＝cos n π，B 正确；观察发现数列1,3,7,15,31，…各项分别加上1，变为2,4,8,16,32，…，其通项为2n ，故原数列的一个通项公式为a n ＝2n －1，C 正确；由递推公式a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)知，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23，D 正确．重点三 数列的函数性质数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函数关系可知，数列的通项a n与n 的关系公式就是函数f (x )的解析式，所以根据函数关系式得出数列的通项公式是重要途径，这样用函数的思想方法去解决数列问题很常用．[逐点清]4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝12n 2－8n ，判断数列{a n }的单调性．解：根据题意可知a n ＝12n 2－8n ，则a n ＋1－a n ＝12(n ＋1)2－8(n ＋1)－⎝⎛⎭⎫12n 2－8n ＝n －152， 由数列的定义域为正整数集可知，当n <8时，a n ＋1－a n <0，数列{a n }是递减数列；当n ≥8时，a n ＋1－a n >0，数列{a n }是递增数列．[记结论·提速度][记结论]1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *. 2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)；若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)． [提速度]1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ . 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1， a 1＝2不满足上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *.答案：⎩⎨⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *2．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，则此数列最大项的值是 ．解析：若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋11n ≥－(n －1)2＋11(n －1)，－n 2＋11n ≥－(n ＋1)2＋11(n ＋1)，解得5≤n ≤6.∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 答案：30由a n 与S n 的关系求通项a n[师生共研过关][例1] (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式是 ； (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝ ；(3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝ . [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1.当n ＝1时不满足，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，所以a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，所以a n a n －1＝－12，所以数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1. (3)当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2； ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n －2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n .显然当n ＝1时不满足上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.[答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2 (2)⎝⎛⎭⎫－12n －1 (3)⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2[解题技法]1．已知S n 求a n 的3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2时的表达式合并． 2．S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．[跟踪训练]1．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5D ．20解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ＋1·n ，则a 5＋a 6＝ ，a n ＝ . 解析：a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合于此式， 所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． 答案：－2 (－1)n ＋1·(2n －1)由递推关系求通项公式[师生共研过关][例2] 设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝ . [解析] 由条件知a n ＋1－a n ＝n ＋1.则a n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＋a 1＝(2＋3＋4＋…＋n )＋2＝n 2＋n ＋22. 又a 1＝2适合上式，故a n ＝n 2＋n ＋22.[答案] n 2＋n ＋22[对点变式]1.(变条件)若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，如何求解？ 解：∵a n ＋1＝nn ＋1a n ，a 1＝2，∴a n ≠0.∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n .又a 1＝2适合上式，故a n ＝2n .2.(变条件)若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝2a n ＋3”，如何求解？解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3.故原式可化为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝5，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以5为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝5×2n －1，故a n ＝5×2n －1－3.[解题技法]由数列递推式求通项公式的常用方法[提醒] 利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a 2a 1，漏掉a 1而导致错误；二是根据连乘求出a n 之后，不注意检验a 1是否成立．[跟踪训练]1．已知数列{a n }中，a 1＝1中，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)中，则a 4＝ ，a n ＝ . 解析：由题意可得a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ， 则a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝1＋n (n －1)2＝n 2－n ＋22，又a 1＝1也适合此式，故a n ＝n 2－n ＋22，则a 4＝42－4＋22＝7.答案：7 n 2－n ＋222．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝ .解析：由a n ＋1＝2n a n ，得a na n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n (n －1)2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n (n －1)2.答案：2n (n －1)2数列的函数特征[定向精析突破]考向1 数列的周期性[例3] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 020的值为( )A ．2B ．1C ．12D ．14[解析] 因为a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)， 由a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝2， 由a 2＝2，a 3＝2，得a 4＝1， 由a 3＝2，a 4＝1，得a 5＝12，由a 4＝1，a 5＝12，得a 6＝12，由a 5＝12，a 6＝12，得a 7＝1，由a 6＝12，a 7＝1，得a 8＝2，由此推理可得数列{a n }是周期为6的数列， 所以a 2 020＝a 4＝1，故选B. [答案] B[解题技法]解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．考向2 数列的单调性(最值)[例4] 数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋(a －1)n ，n ≥5(n ∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，则a 的取值范围是 ．[解析] 当n ≤4时，a n ＝2n －1单调递增， 因此n ＝4时取最大值，a 4＝24－1＝15； 当n ≥5时，a n ＝－n 2＋(a －1)n＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －a －122＋(a －1)24.因为a 5是{a n }中的最大值， 所以⎩⎨⎧a －12≤5.5，－25＋5(a －1)≥15，解得9≤a ≤12.所以a 的取值范围是[9,12]． [答案] [9,12][解题技法]解决数列的单调性问题的3种方法考向3 数列的最大(小)项 [例5] 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( ) A ．310 B ．19 C ．119D ．1060[解析] 令f (x )＝x ＋90x (x ＞0)，运用基本不等式得f (x )≥610，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1610，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大． [答案] C[解题技法]求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项； (3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎪⎫或a n >0时，a n ＋1a n>1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．[跟踪训练]1．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 2 021的值为( )A ．2B ．－3C ．－12D ．13解析：选A 因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列， 故a 2 021＝a 505×4＋1＝a 1＝2.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) 解析：选D 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，an ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1<0，所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D.[课时过关检测]A 级——基础达标1．数列3,6,12,21，x,48，…中的x 等于( ) A ．29 B ．33 C ．34D ．28解析：选B 因为6－3＝3＝1×3,12－6＝6＝2×3,21－12＝9＝3×3，所以根据规律可得x －21＝4×3，所以x ＝21＋12＝33.同时也满足48－33＝15＝5×3.故选B.2．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，则能使a n ＝3的n 的值可以等于( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B ∵a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，∴a 2＝－14.同理可得a 3＝－43，a 4＝3，…，观察可得a n ＋3＝a n (n ∈N *)，则a 16＝a 5×3＋1＝a 1＝3，因此能使a n ＝3的n 的值可以等于16.故选B.3．若数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，则a 10＝( ) A ．55 B ．10 C ．9D ．1解析：选D ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，∴令m ＝1，n ＝9，得S 9＋S 1＝S 10，即S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1，∴a 10＝S 10－S 9＝1.故选D.4．在数列{a n }中，“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B “|a n ＋1|>a n ”⇒a n ＋1>a n 或－a n ＋1>a n ，充分性不成立，数列{a n }为递增数列⇒|a n ＋1|≥a n ＋1>a n 成立，必要性成立，∴“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.5．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝－12，a n ＋1＝11－a n ，则下列各数是{a n }的项的有( )A ．－2B ．23C ．32D ．3解析：选BD 因为数列{a n }满足a 1＝－12，a n ＋1＝11－a n，∴a 2＝11－⎝⎛⎭⎫－12＝23，a 3＝11－a 2＝3，a 4＝11－a 3＝－12＝a 1，∴数列{a n }是周期为3的数列，且前3项为－12，23，3，故选B 、D.6．(多选)(2021·开封市高三模拟)已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n ·a n ＋1，设数列{b n }的前n 项和S n ，则( )A ．a n ＝n 2B ．a n ＝nC ．S n ＝4nn ＋1D ．S n ＝5nn ＋1解析：选AC 由题意得a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1n2·n ＋12＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴数列{b n }的前n项和S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝4n n ＋1.故选A 、C. 7．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为 ．解析：由数列的前3项的规律可知⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝8，m ＋n ＝11，解得⎩⎨⎧m ＝192，n ＝32，故实数对(m ，n )为⎝⎛⎭⎫192，32.答案：⎝⎛⎭⎫192，328．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则a n ＝ . 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋2＋1＝4； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 经检验a 1＝4不适合a n ＝2n ＋1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，(n ＝1)，2n ＋1，(n ≥2).答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，(n ＝1)，2n ＋1，(n ≥2)9．已知数列的通项为a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第 项．解析：因为a n ＝n ＋13n －16，数列{a n }的最小项必为a n <0，即n ＋13n －16<0,3n －16<0，从而n <163，又因为n ∈N *，且数列{a n }的前5项递减，所以n ＝5时a n 的值最小． 答案：510．(2021·衡阳市高三联考)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则a 2＝ ，通项公式a n ＝ .解析：由已知，a 2＝a 1＋11×2＝3＋12＝72.因为a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－13，… a n －a n －1＝1n －1－1n， 以上(n －1)个式子累加可得，a n －a 1＝1－1n ， 因为a 1＝3，所以a n ＝4－1n .答案：724－1n11．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)． 12．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3.(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式；(2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4. 解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1. (2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3， 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4(a n ＋1)a n ＋1＝4.B 级——综合应用13．(多选)(2021·山东泰安高三模拟)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是( )A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是200C ．此数列偶数项的通项公式为a 2n ＝2n 2D ．此数列的前n 项和为S n ＝n (n －1)解析：选AC 观察此数列，偶数项通项公式为a 2n ＝2n 2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a 2n －1＝a 2n －2n ，由此可得a 20＝2×102＝200，A 正确，C 正确；a 19＝a 20－20＝180，B 错误；S n ＝n (n －1)＝n 2－n 是一个等差数列的前n 项和，而题中数列不是等差数列，不可能有S n ＝n (n －1)，D 错误．故选A 、C.14．(2021·昆明模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图所示．他们研究过图中的1,5,12,22，…，由于这些数能够表示成五角形，将其称为五角形数，若按此规律继续下去，第n 个五角形数a n ＝ .解析：观察图形，发现a 1＝1，a 2＝a 1＋4，a 3＝a 2＋7，a 4＝a 3＋10，猜测当n ≥2时，a n ＝a n －1＋3n －2，所以a n －a n －1＝3n －2，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(3n －2)＋[3(n －1)－2]＋…＋(3×2－2)＋1＝32n 2－12n .答案：32n 2－12n15．(2021·石家庄模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． 解：(1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ， ∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ， 即na n ＋1＝(n ＋1)a n ， ∴a n ＋1n ＋1＝a nn ， ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1， ∴a n ＝n (n ∈N *)．(2)由题意及(1)知b n ＝3n －λn 2. b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2) ＝2·3n －λ(2n ＋1)． ∵数列{b n }为递增数列， ∴2·3n－λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n 2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，则c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1.∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2， 即λ的取值范围为(－∞，2)．C级——迁移创新16．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2 020项的和为()A．672 B．673C．1 347 D．2 020解析：选C由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…各项除以2的余数，可得{a n}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0，…，所以{a n}是周期为3的数列，一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，因为2 020＝673×3＋1，所以数列{a n}的前2 020项的和为673×2＋1＝1 347，故选C.第二节等差数列及其前n项和[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.体会等差数列与一次函数、二次函数的关系1.等差数列的基本运算．2.等差数列的判定与证明．3.等差数列的性质及应用1.逻辑推理．2.数学运算[重点准·逐点清]重点一等差数列的有关问题1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．3．公式：通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. [提醒] 理解定义要注意三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”．[逐点清]1．(必修5第44页例2改编)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 4＝14，则d ＝ .解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，4a 1＋4×32d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3. 答案：32．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝ .解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＋a 6＝2，得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－4＋6d ＝2，解得d ＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＋a 6＝2a 4＝2，所以a 4＝1，所以d ＝a 4－a 14－1＝1－(－2)3＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.答案：253．(易错题)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 7＝ . 解析：由a n ＋1＋a n ＝4n －3得，a n ＋a n －1＝4n －7(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n －1＝4(n ≥2)．由等差数列的定义知，数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列．则a 7＝a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋12－1×4＝14.答案：14重点二 等差数列的常用性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)；(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)；(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)； (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d ； (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列；(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. [逐点清]4．(必修5第39页5题改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 11＝55，则a 6＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11a 6＝55⇒a 6＝5.5．(必修5第41页2题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝2，a 5＝3，则{a n }的前6项和为( )A ．6B ．9C ．10D ．11解析：选B 设{a n }的公差为d ，由等差数列的性质知a 2＋a 4＝2a 3＝2，则a 3＝1，所以d ＝a 5－a 35－3＝1，a 4＝a 5－d ＝2，所以S 6＝6(a 1＋a 6)2＝3(a 3＋a 4)＝3×(1＋2)＝9.[记结论·提速度][记结论]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2．在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．3．数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数)．[提速度]1．已知数列{a n}的通项a n＝－2n＋15，则其前n项和S n取得最大值时的n的值为()A．1B．7或8C．8D．7解析：选D由a n＝－2n＋15知数列{a n}为等差数列，因为a1＝13>0，d＝－2，则S n有最大值．由a n≥0得－2n＋15≥0，解得n≤152.又n∈N*，∴当1≤n≤7时，a n≥0；当n≥8时，a n<0(n∈N*)，∴前n项和S n取得最大值时，n＝7.故选D.2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2＋(a＋3)n＋a2－2a－3，则a＝ .解析：因为等差数列前n项和S n可表示为S n＝An2＋Bn，则a2－2a－3＝0，解得a＝3或－1.答案：3或－1等差数列的基本运算[师生共研过关] [例1](1)(2019·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．a n＝2n－5 B．a n＝3n－10C．S n＝2n2－8n D．S n＝12n2－2n(2)(2021·内蒙古模拟)已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝()A．13 B．14C．15 D．16[解析](1)设首项为a1，公差为d.由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ S 4＝24，S 9＝99，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝24，9a 1＋36d ＝99，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，则a 7＝a 1＋6d ＝15.故选C. [答案] (1)A (2)C[解题技法]等差数列运算问题的通性方法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解；(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．[跟踪训练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9D ．10解析：选D 因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，所以d ＝22－4a 22＝3，a 1＝a 2－d＝4－3＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10.2．(2021·安徽合肥模拟)记等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n .若S 10＝40，a 6＝5，则( )A ．d ＝3B ．a 10＝12C ．S 20＝280D ．a 1＝－4解析：选C 依题意，得S 10＝(a 1＋a 10)·102＝5(a 5＋a 6)＝40，解得a 5＝3，则d ＝a 6－a 5＝2，则a 10＝a 6＋4d ＝5＋8＝13，a 1＝a 5－4d ＝3－8＝－5，S 20＝20a 1＋190d ＝－100＋380＝280，故选C.3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为 ． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 答案：4等差数列的判定与证明[师生共研过关][例2] 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[对点变式](变条件)若将本例条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－25n .[解题技法]等差数列的判定与证明方法[提醒] 用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足a n －a n －1＝1(n ≥3)的数列{a n }而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a 2－a 1是否等于1.[跟踪训练]1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，依题意得，d ＝a 6－a 26－2＝11－34＝2，则a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1，即a 1＝1，a 7＝13，所以S 7＝a 1＋a 72×7＝1＋132×7＝49. 2．已知等差数列的前三项依次为a,3,5a ，前n 项和为S n ，且S k ＝121. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝3，a 3＝5a ，由等差数列的性质得a ＋5a ＝6，所以a 1＝a ＝1，公差d ＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2d ＝k ＋k (k －1)2×2＝k 2，由S k ＝121＝k 2，解得k ＝11，故a ＝1，k ＝11.(2)由(1)得S n ＝n 2则b n ＝S nn ＝n ，故b n ＋1－b n ＝1，b 1＝1， 即数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n 2＋n2.等差数列的性质及应用[定向精析突破]考向1 等差数列项的性质[例3] (1)(2021·广州市阶段训练)已知{a n }是等差数列，a 3＝5，a 2－a 4＋a 6＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＋a 9＋a 19＝6，则a 10＝ ，S 19＝ . [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2－a 4＋a 6＝7，得(a 2＋a 6)－a 4＝2a 4－a 4＝a 4＝7，所以d ＝a 4－a 3＝2，即等差数列{a n }的公差为2，故选D.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由等差数列的通项公式可得a 2＋a 9＋a 19＝3(a 1＋9d )＝3a 10＝6，所以a 10＝2，由等差数列前n 项和公式可得S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10＝38.[答案] (1)D (2)2 38[解题技法]如果{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m －n ＋a n ＋m 的值．考向2 等差数列前n 项和的性质[例4] (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(2)(2021·山东菏泽一中月考)已知等差数列{a n }的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40[解析] (1)由{a n }是等差数列， 得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45.故选B.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，项数为n ，前n 项和为S n .因为d ＝4，S 奇＝15，S 偶＝55，所以S 偶－S 奇＝n2d ＝2n ＝40，所以n ＝20，即这个数列的项数为20.故选B.[答案] (1)B (2)B[解题技法]1．在等差数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等差数列；⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．2．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 偶－S 奇＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n －a 1－a 3－a 5－…－a 2n －1＝d ＋d ＋…＋d ＝nd ；S 奇S 偶＝n2(a 1＋a 2n －1)n 2(a 2＋a 2n)＝2a n 2a n ＋1＝a na n ＋1. 3．若等差数列{a n }的项数为2n －1，则 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n －2＝n －12(a 2＋a 2n －2)＝n －12×2a n ＝(n －1)a n ； S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝n2×2a n ＝na n ；S 奇－S 偶＝na n －(n －1)a n ＝a n (这里a n ＝a 中)； S 奇S 偶＝na n (n －1)a n ＝n n －1. 4．若等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则有a nb n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2(2n －1)(b 1＋b 2n －1)2＝S 2n －1T 2n －1.考向3 等差数列前n 项和的最值[例5] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值． [答案] A[解题技法]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解；(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0，的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0，的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[跟踪训练]1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝20，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45D ．54解析：选B 依题意a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝20，a 5＝4，所以S 9＝a 1＋a 92×9＝9a 5＝36.2．(多选)已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 6<S 7，且S 7>S 8，则( ) A ．在数列{a n }中，a 1最大 B ．在数列{a n }中，a 3或a 4最大 C ．S 3＝S 10D ．当n ≥8时，a n <0解析：选AD 由于S 6<S 7，S 7>S 8，所以S 7－S 6＝a 7>0，S 8－S 7＝a 8<0，所以数列{a n }是递减的等差数列，最大项为a 1，所以A 正确，B 错误，D 正确；S 10－S 3＝a 4＋a 5＋…＋a 10＝7a 7>0，故C 错误．[课时过关检测]A 级——基础达标1．(2021·陕西教学质量检测)在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 23＝a 4a 6，则a 2＝( )A.711 B ．511C.311D ．111解析：选A设数列{a n}的公差为d(d≠0)，则a n＝1＋(n－1)d，∴a2＝1＋d，a3＝1＋2d，a4＝1＋3d，a6＝1＋5d，∵a23＝a4a6，∴(1＋2d)2＝(1＋3d)(1＋5d)，解得d＝－411(d＝0舍去)，∴a2＝1＋d＝711，故选A.2．(2021·武汉市学习质量检测)已知数列{a n}满足a1＝1，(a n＋a n＋1－1)2＝4a n a n＋1，且a n＋1>a n(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式a n＝()A．2n B．n2C．n＋2 D．3n－2解析：选B因为a1＝1，a n＋1>a n，所以a n＋1>a n.由(a n＋a n＋1－1)2＝4a n a n＋1得a n ＋1＋a n－1＝2a n a n＋1，所以( a n＋1－a n)2＝1，所以a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n＝n，即a n＝n2，故选B.3．(2021·北京市适应性测试)设{a n}是等差数列，且公差不为零，其前n项和为S n.则“∀n∈N*，S n＋1>S n”是“{a n}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由∀n∈N*，S n＋1>S n得a n＋1＝S n＋1－S n>0，又数列{a n}是公差不为零的等差数列，因此公差d>0(若d<0，等差数列{a n}中从某项起以后各项均为负，这与a n＋1>0矛盾)，数列{a n}是递增数列，所以“∀n∈N*，S n＋1>S n”是“{a n}为递增数列”的充分条件；反过来，由“{a n}为递增数列”不能得知“∀n∈N*，S n＋1>S n”，如取a n＝n－3，此时数列{a n}为递增数列，但a2＝－1<0，即有S2<S1，因此“∀n∈N*，S n＋1>S n”不是“{a n}为递增数列”的必要条件．综上所述，“∀n∈N*，S n＋1>S n”是“{a n}为递增数列”的充分而不必要条件，故选A.4．在等差数列{a n}中，若a10a9<－1，且它的前n项和S n有最大值，则使S n>0成立的正整数n 的最大值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选C ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值， ∴等差数列{a n }为递减数列， 又a 10a 9<－1，∴a 9>0，a 10<0， ∴a 9＋a 10<0，又S 18＝18(a 1＋a 18)2＝9(a 9＋a 10)<0，S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9>0， ∴S n >0成立的正整数n 的最大值是17.故选C.5．(多选)(2021·长沙市长郡中学高三模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝18C ．S 9＝81D ．S 10＝91解析：选BD ∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1－a n ＝2. ∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2. 又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选B 、D.6．(多选)(2021·石家庄二中高三一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则( )A ．a n ＝－12n－1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n －1－1n，n ≥2，n ∈N *⎩⎭S n D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5 050 解析：选BCD S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1， 则S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1， 整理得1S n ＋1－1S n ＝－1(常数)， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，故S n ＝－1n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n (首项不符合通项)，故a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误；所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5 050，故D 正确．7．若数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)，则a 3＝ ，通项公式a n ＝ . 解析：因为数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋3(n ∈N *)， 所以数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝a n ＋1－a n ＝3的等差数列， 所以a 3＝a 1＋2d ＝3＋6＝9， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n . 答案：9 3n8．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝ .解析：设a n ＝2＋(n －1)d ， 则a 2nn ＝[2＋(n －1)d ]2n＝d 2n 2＋(4d －2d 2)n ＋(d －2)2n，⎩⎭n 所以其通项是一个关于n 的一次函数， 所以(d －2)2＝0，∴d ＝2. 所以a 20＝2＋(20－1)×2＝40. 答案：409．若数列{a n }为等差数列，a n >0，前n 项和为S n ，且S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n，则a 9的值是 ．解析：因为S 2n －1＝2n －12n ＋1a 2n ，所以(a 1＋a 2n －1)×(2n －1)2＝2n －12n ＋1a 2n ，即2a n ×(2n －1)2＝2n －12n ＋1a 2n ，所以a n ＝12n ＋1a 2n ，又a n >0，所以a n ＝2n ＋1，所以a 9＝19. 答案：1910．(2021·武汉市高三测试)等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则a n ＝ ，S 10＝ .解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2， ∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴a n ＝－9＋2(n －1)＝2n －11， S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0.答案：2n －11 011．(2021·合肥第一次教学检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 4＝4S 2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180(m ∈N *)，求m 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＝4S 2得，4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，整理得d ＝2a 1. 又a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋9＝180可化为 10a m ＋45d ＝20m ＋80＝180， 解得m ＝5.12．已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列．解：(1)∵a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根， ∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4， ∴S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n .(2)证明：当c ＝－12时，b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n －12＝2n ，∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2.∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列．B 级——综合应用13．(2021·湖北襄阳四中联考)已知数列{a n }为等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝165，a 2＋a 3＋a 4＝156，{a n }的前n 项和为S n ，则使S n 达到最大值时n 的值是( )A ．19B ．20C ．21D ．22解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 2＋a 3＋a 4)－(a 1＋a 2＋a 3)＝3d ＝156－165＝－9，所以d ＝－3.因为a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝3a 1－9＝165，所以a 1＝58.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝58＋(n －1)·(－3)＝61－3n .令a n ＝61－3n >0，得n <613.因为n ∈N *，所以当n ＝20时，S n 达到最大值．故选B.14．(多选)(2021·商洛市高考模拟)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列选项正确的有( )A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．立冬的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长短解析：选ABC 由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n }，其中a 1＝15寸，a 13＝135寸，公差为d 寸，则135＝15＋12d ，解得d ＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n }，首项b 1＝135，末项b 13＝15，公差d ＝－10(单位都为寸)．故A 正确；∵春分的晷长为b 7，∴b 7＝b 1＋6d ＝135－60＝75∵秋分的晷长为a 7，∴a 7＝a 1＋6d ＝15＋60＝75，故B 正确；∵立冬的晷长为a 10，∴a 10＝a 1＋9d ＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C 正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b 4，a 4，∴a 4＝a 1＋3d ＝15＋30＝45，b 4＝b 1＋3d ＝135－30＝105，∴b 4>a 4，故D 错误．故选A 、B 、C.15．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn ，若{d n }是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{d n }是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n－1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{c n }的前n项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．解：由题意得2＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a nn ， 所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1 ＝2n －2(n ≥2，n ∈N *)，。
知识点最新考纲数列的概念和简单表示法了解数列的概念和表示方法(列表、图象、公式).等差数列理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式及其应用．了解等差数列与一次函数的关系．会用数列的等差关系解决实际问题.等比数列理解等比数列的概念．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用．了解等比数列与指数函数的关系．会用数列的等比关系解决实际问题.数学归纳法会用数学归纳法证明一些简单数学问题.第1讲数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式数列{a n}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{a n}中,S n＝a1＋a2＋…＋a n列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n,a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和a n与a n＋1的关系式或a1,a2和a n－1,a n,a n＋1的关系式等表示数列的方法3.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关 系分类 递增数列 a n ＋1>a n 其中n∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他 标准分类摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列． ( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1,a 2,a 3,…,a n }是一回事．( )(4)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列,它的通项公式只有一个．( )(6)若数列{a n }的前n 项和为S n ,则对∀n ∈N *,都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× [教材衍化]1．(必修5P33A 组T4改编)在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝1＋（－1）na n －1(n≥2),则a 5＝________．解析：a 2＝1＋（－1）2a 1＝2,a 3＝1＋（－1）3a 2＝12,a 4＝1＋（－1）4a 3＝3,a 5＝1＋（－1）5a 4＝23.答案：232．(必修5P33A 组T5改编)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________．答案：5n －4 [易错纠偏](1)忽视数列是特殊的函数,其自变量为正整数集或其子集{1,2,…,n}； (2)求数列前n 项和S n 的最值时忽视项为零的情况； (3)根据S n 求a n 时忽视对n ＝1的验证．1．在数列－1,0,19,18,…,n －2n 2中,0.08是它的第________项．解析：依题意得n －2n 2＝225,解得n ＝10或n ＝52(舍)．答案：102．在数列{a n }中,a n ＝－n 2＋6n ＋7,当其前n 项和S n 取最大值时,n ＝________．解析：由题可知n∈N *,令a n ＝－n 2＋6n ＋7≥0,得1≤n≤7(n∈N *),所以该数列的第7项为零,且从第8项开始a n <0,则S 6＝S 7且最大．答案：6或73．已知S n ＝2n＋3,则a n ＝________．解析：因为S n ＝2n＋3,那么当n ＝1时,a 1＝S 1＝21＋3＝5；当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n＋3－(2n －1＋3)＝2n －1(*)．由于a 1＝5不满足(*)式,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2由a n 与S n 的关系求通项公式a n (高频考点)a n 与S n 关系的应用是高考的常考内容,且多出现在选择题或填空题中,有时也出现在解答题的已知条件中,属容易题．主要命题角度有：(1)利用a n 与S n 的关系求通项公式a n ； (2)利用a n 与S n 的关系求S n .角度一 利用a n 与S n 的关系求通项公式a n(2020·杭州二中高三模考)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝3n 2－2n ＋1,求a n . 【解】 设a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝T n , 当n ＝1时,a 1＝T 1＝3×12－2×1＋1＝2, 当n≥2时,na n ＝T n －T n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5,因此a n ＝6n －5n,显然当n ＝1时,不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5n ，n ≥2.角度二 利用a n 与S n 的关系求S n设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1＝－1,a n ＋1＝S n S n ＋1,则S n ＝________．【解析】 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ,两边同时除以S n ＋1S n ,得1S n ＋1－1S n ＝－1,故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项,－1为公差的等差数列,则1S n ＝－1－(n －1)＝－n,所以S n ＝－1n.【答案】 －1n(1)已知S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1.②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n ＝S n －S n －1(n≥2)便可求出当n≥2时a n 的表达式． ③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． (2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n≥2)转化为只含S n ,S n －1的关系式,再求解． ②利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为只含a n ,a n －1的关系式,再求解．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1,则a n ＝________．解析：当n ＝1时,a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(3n＋1)－(3n －1＋1)＝2·3n －1.当n ＝1时,2×31－1＝2≠a 1,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,S n ＝2a n ＋1,则S n ＝________． 解析：法一：因为S n ＝2a n ＋1,所以当n≥2时,S n －1＝2a n , 所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n≥2), 即a n ＋1a n ＝32(n≥2),又a 2＝12,所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n≥2)．当n ＝1时,a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13,所以a n＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.法二：因为S 1＝a 1,a n ＋1＝S n ＋1－S n ,则S n ＝2(S n ＋1－S n ), 所以S n ＋1＝32S n ,所以数列{S n }是首项为1,公比为32的等比数列,所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1由递推关系求数列的通项公式分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a 1＝0,a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n∈N *)； (2)a 1＝1,a n ＝n n －1a n －1(n≥2,n ∈N *)；(3)a 1＝1,a n ＋1＝3a n ＋2(n∈N *)．【解】 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2, 所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2. (2)当n≥2,n ∈N *时, a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×nn －1＝n,当n ＝1时,也符合上式, 所以该数列的通项公式为a n ＝n. (3)因为a n ＋1＝3a n ＋2, 所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1),所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3,所以数列{a n ＋1}为等比数列,公比q ＝3, 又a 1＋1＝2,所以a n ＋1＝2·3n －1,所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n －1－1.(变条件)若本例(3)条件“a n ＋1＝3a n ＋2”变为“a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1”,其他不变,求a n .解：因为a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1,所以a n ＋13n ＋1＝a n3n ＋1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以13为首项,1为公差的等差数列．所以a n 3n ＝13＋(n －1)＝n －23,所以a n ＝n·3n－2·3n －1.由数列递推式求通项公式的常用方法1．在数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）,则a n ＝________．解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3－1n .答案：3－1n2．在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2na n ,则a n ＝________． 解析：由于a n ＋1a n＝2n,故a 2a 1＝21,a 3a 2＝22,…,a n a n －1＝2n －1, 将这n －1个等式叠乘,得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2,故a n ＝2n （n －1）2.答案：2n （n －1）2数列的性质(高频考点)数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题,是高考的热点,多以选择题或填空题形式考查,多存在一定难度．主要命题角度有：(1)数列的单调性； (2)数列的周期性； (3)数列的最值． 角度一 数列的单调性已知{a n }是递增数列,且对于任意的n∈N *,a n ＝n 2＋λn 恒成立,则实数λ的取值范围是________．【解析】 {a n }是递增数列,所以对任意的n∈N *,都有a n ＋1＞a n ,即(n ＋1)2＋λ(n＋1)＞n 2＋λn ,整理,得2n ＋1＋λ＞0,即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n≥1,所以－(2n ＋1)≤－3,要使不等式(*)恒成立,只需λ＞－3. 【答案】 (－3,＋∞) 角度二 数列的周期性(2020·杭州中学高三质检)在数列{a n }中,a 1＝5,(a n ＋1－2)(a n －2)＝3(n∈N *),则该数列的前2018项的和是________．【解析】 依题意得(a n ＋1－2)(a n －2)＝3,(a n ＋2－2)·(a n ＋1－2)＝3,因此a n ＋2－2＝a n －2,即a n ＋2＝a n ,所以数列{a n }是以2为周期的数列．又a 1＝5,因此(a 2－2)(a 1－2)＝3(a 2－2)＝3,故a 2＝3,a 1＋a 2＝8.注意到2 018＝2×1 009,因此该数列的前2 018项的和等于1 009(a 1＋a 2)＝8 072.【答案】 8 072 角度三 数列的最值已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn,k ∈N *,且S n 的最大值为8.试确定常数k,并求数列{a n }的通项公式．【解】 因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k)2＋12k 2,其中k 是常数,且k∈N *,所以当n ＝k 时,S n 取最大值12k 2,故12k 2＝8,k 2＝16, 因此k ＝4,从而S n ＝－12n 2＋4n.当n ＝1时,a 1＝S 1＝－12＋4＝72；当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 2＋4n －[－12(n －1)2＋4(n －1)]＝92－n.当n ＝1时,92－1＝72＝a 1,所以a n ＝92－n.(1)解决数列单调性问题的三种方法①作差比较法,根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②作商比较法,根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．1．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3（x≤7），a x －6（x ＞7），数列{a n }满足a n ＝f(n),n ∈N *,且数列{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3 C ．(1,3)D ．(2,3)解析：选D.因为数列{a n }是递增数列,又a n ＝f(n)(n∈N *),所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，f （8）＞f （7）⇒2＜a ＜3.2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋2n,且a 1＝33,则a nn 的最小值为( )A ．21B ．10 C.212D.172解析：选C.由已知条件可知,当n≥2时, a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝33＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n 2－n ＋33,又n ＝1时,a 1＝33满足此式．所以a n n ＝n ＋33n －1.令f(n)＝a n n ＝n ＋33n －1,则f(n)在[1,5]上为减函数, 在[6,＋∞)上为增函数, 又f(5)＝535,f(6)＝212,则f(5)>f(6),故f(n)＝a n n 的最小值为212.3．(2020·金丽衢十二校联考)已知函数f(x)由下表定义：x 1 2 3 4 5 f(x)41352若a 1＝5,a n ＋1＝f(a n )(n∈N *),则a 2 018＝________．解析：依题意得a 1＝5,a 2＝f(a 1)＝2,a 3＝f(a 2)＝1,a 4＝f(a 3)＝4,a 5＝f(a 4)＝5,a 6＝f(a 5)＝2,…,易知数列{a n }是以4为周期的数列,注意到2 018＝4×504＋2,因此a 2 018＝a 2＝2.答案：2[基础题组练]1．已知数列1,2,7,10,13,…,则219在这个数列中的项数是( ) A ．16 B ．24 C ．26D ．28解析：选 C.因为a 1＝1＝1,a 2＝2＝4,a 3＝7,a 4＝10,a 5＝13,…,所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76,解得n ＝26.2．在数列{a n }中,a 1＝1,a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n≥2,n ∈N *),则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38解析：选C.由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2,所以2a 3＝2＋(－1)3,a 3＝12,所以12a 4＝12＋(－1)4,a 4＝3,所以3a 5＝3＋(－1)5,所以a 5＝23,所以a 3a 5＝12×32＝34.3．(2020·杭州模拟)数列{a n }定义如下：a 1＝1,当n≥2时,a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a n 2，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14,则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C.因为a 1＝1,所以a 2＝1＋a 1＝2,a 3＝1a 2＝12,a 4＝1＋a 2＝3,a 5＝1a 4＝13,a 6＝1＋a 3＝32,a 7＝1a 6＝23,a 8＝1＋a 4＝4,a 9＝1a 8＝14,所以n ＝9,故选C. 4．(2020·温州瑞安七中高考模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1＝1,a n ＋1＝3S n (n≥1),则a 6＝( ) A ．3×44B ．3×44＋1 C ．44D ．44＋1解析：选A.由a n ＋1＝3S n , 得到a n ＝3S n －1(n≥2),两式相减得：a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n , 则a n ＋1＝4a n (n≥2), 又a 1＝1,a 2＝3S 1＝3a 1＝3,得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列,所以a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n≥2),a 6＝3×44,故选A.5．一给定函数y ＝f(x)的图象在下列各图中,并且对任意a 1∈(0,1),由关系式a n ＋1＝f(a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n∈N *),则该函数的图象是( )解析：选A.由a n ＋1＝f(a n ),a n ＋1>a n 知f(a n )>a n ,可以知道x∈(0,1)时f(x)>x,即f(x)的图象在y ＝x 图象的上方,由选项中所给的图象可以看出,A 符合条件．6．已知数列{a n }的首项a 1＝a,其前n 项和为S n ,且满足S n ＋S n －1＝3n 2＋2n ＋4(n≥2)．若对任意的n∈N *,a n ＜a n ＋1恒成立,则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫234，294 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫203，294 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫234，203 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，203 解析：选C.由S n ＋S n －1＝3n 2＋2n ＋4(n≥2),可得S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋4,两式相减,得a n ＋1＋a n ＝6n ＋5,故a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋11,两式相减,得a n ＋2－a n ＝6.由n ＝2,得a 1＋a 2＋a 1＝20,则a 2＝20－2a,故数列{a n }的偶数项为以20－2a 为首项,6为公差的等差数列,从而a 2n ＝6n ＋14－2a ；由n ＝3,得a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝37,则a 3＝2a －3,故当n≥3时,奇数项是以2a －3为首项,6为公差的等差数列,从而a 2n ＋1＝6n －9＋2a.由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a<20－2a ，6n ＋14－2a<6n －9＋2a ，6n －9＋2a<6（n ＋1）＋14－2a ，解得234＜a ＜203,故选C. 7．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n －1(n∈N *),则a 1＝________；数列{a n }的通项公式为a n ＝________．解析：因为S n ＝n 2＋2n －1,当n ＝1时,a 1＝1＋2－1＝2,当n≥2时,所以a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1,因为当n ＝1时,a 1＝2＋1＝3≠2,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 答案：2 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2 8．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2,则数列{a n }的通项公式为________．解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2),当n ＝1时,a 1＝6；当n≥2时,⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n≥2时,a n ＝n ＋2n, 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N * 9．(2020·宁波效实中学模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）(n∈N *),则a n ＝____________．解析：由a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1n （n ＋1）得1a n ＋1－1a n ＝2n （n ＋1）＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1,则由累加法得1a n －1a 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ,又因为a 1＝1,所以1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝3n －2n ,所以a n ＝n 3n －2. 答案：n 3n －210．(2020·金华市东阳二中高三调研)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋12n －32,其前n 项和为S n ,则对任意m,n ∈N *(m<n), S n －S m 的最大值为________．解析：由－n 2＋12n －32＝0,得n ＝4或n ＝8,即a 4＝a 8.又函数f(x)＝－x 2＋12x －32的图象开口向下,所以数列前3项均为负数,当n>8时,数列中的项均为负数．在m<n 的情况下,S n －S m 的最大值为S 7－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＝－52＋12×5－32－62＋12×6－32－72＋12×7－32＝10.答案：1011．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1,求数列{b n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时,a 1＝S 1＝22－2＝2；当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n . 因为a 1也适合此等式,所以a n ＝2n (n∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1,且a n ＝2n ,a n ＋1＝2n ＋1, 所以b n ＝2n ＋2n ＋1＝3·2n. 12．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1,数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1且前n 项和为T n ,设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2,a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n≥2)．所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23（n ＝1），1n （n≥2）. (2)因为c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1, 所以c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）＜0,所以c n ＋1＜c n , 所以数列{c n }为递减数列．[综合题组练]1．设数列{a n }满足：a n ＋1＝1＋a n 1－a n ,a 2 018＝3,那么a 1＝( ) A ．－12B.12 C ．－13D.13解析：选B.设a 1＝x,由a n ＋1＝1＋a n 1－a n, 得a 2＝1＋x 1－x, a 3＝1＋a 21－a 2＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x＝－1x , a 4＝1＋a 31－a 3＝1－1x 1＋1x＝x －1x ＋1, a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ＝a 1, 所以数列{a n }是周期为4的周期数列．所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝1＋x 1－x＝3. 解得x ＝12. 2．下列关于星星的图案构成一个数列,则该数列的一个通项公式是________．解析：从题图中可观察星星的构成规律,n ＝1时,有1个,n ＝2时,有3个；n ＝3时,有6个；n ＝4时,有10个；…,所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2. 答案：a n ＝n （n ＋1）23．已知数列{a n },{b n },若b 1＝0,a n ＝1n （n ＋1）,当n≥2时,有b n ＝b n －1＋a n －1,则b 2 017＝________． 解析：由b n ＝b n －1＋a n －1得b n －b n －1＝a n －1,所以b 2－b 1＝a 1,b 3－b 2＝a 2,…,b n －b n －1＝a n －1,所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n ,即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n ,因为b 1＝0,所以b n ＝n －1n ,所以b 2 017＝2 0162 017. 答案：2 0162 0174．已知数列{a n }满足a 1＝1,a 2＝－13,a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ,求数列{b n }的通项公式；(2)求n 为何值时,a n 最小．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6，b n ＝a n ＋1－a n ，得b n ＋1－b n ＝2n －6,b 1＝a 2－a 1＝－14. 当n≥2时,b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋(b 4－b 3)＋…＋(b n －b n －1)＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n －1)－6]＝－14＋2×n （n －1）2－6(n －1) ＝n 2－7n －8,当n ＝1时,上式也成立．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2－7n －8.(2)由(1)可知a n ＋1－a n ＝n 2－7n －8＝(n ＋1)(n －8),当n<8时,a n ＋1<a n ,即a 1>a 2>a 3>…>a 8,当n ＝8时,a 9＝a 8,当n>8时,a n ＋1>a n ,即a 9<a 10<a 11<…所以当n ＝8或n ＝9时,a n 的值最小．5．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a(a≠3),a n ＋1＝S n ＋3n ,n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ,求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ,n ∈N *,求a 的取值范围．解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ,即S n ＋1＝2S n ＋3n ,由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n),即b n ＋1＝2b n , 又b 1＝S 1－3＝a －3,因此,所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1,n ∈N *. (2)由(1)可知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1,n ∈N *,于是,当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2, a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3, 所以,当n≥2时,a n ＋1≥a n ⇒12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9, 又a 2＝a 1＋3＞a 1,a ≠3.所以,所求的a 的取值范围是[－9,3)∪(3,＋∞)．。
高三数学第一轮复习——数列（知识点很全）五篇范文第一篇：高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)数列一、知识梳理数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列通项公式，即anan的第n,那么这个公式叫做这个数列的，且任何一项an与它的前一项an-1（或前几{an}的第一项（或前几项）=f(n).3.递推公式：如果已知数列=f(an-1)或an=f(an-1,an-2)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.如数列{an}中，a1=1,an=2an+1，其中an=2an+1是数列{an}的递推项）间的关系可以用一个式子来表示，即an公式.4.数列的前n项和与通项的公式⎧S1(n=1)①Sn=a1+a2+Λ+an；②an=⎨.S-S(n≥2)n-1⎩n5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何n∈N+,均有an+1②递减数列:对于任何n∈N+,均有an+1③摆动数列:例如: -1,1,-1,1,-1,Λ.④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使>an.<an.an≤M,n∈N+.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得an>M.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前项和公式⑴通项公式an=a1+(n-1)d，a1为首项，d=为公差.⑵前n项和公式Sn3.等差中项 n(a1+an)1或Sn=na1+n(n-1)d.22A叫做a与b的等差中项.如果a,A,b成等差数列，那么即：A是a与b的等差中项⇔2A=a+b⇔a，A，b成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：an+1-an=d（n∈N+，d是常数）⇔{an}是等差数列；⑵中项法：2an+1⑴数列=an+an+2(n∈N+)⇔{an}是等差数列.5.等差数列的常用性质{an}是等差数列，则数列{an+p}、{pan}（p是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,Λ为等差数列，公差为kd.⑶an=am+(n-m)d；an=an+b(a,b是常数)；Sn=an2+bn(a,b是常数，a≠0)⑷若m+n =p+q(m,n,p,q∈N+)，则am+an=ap+aq；1⑸若等差数列Sn⎫{an}的前n项和Sn，则⎧⎨⎬是等差数列；⎩n⎭；S偶an+1⑹当项数为2n(n∈N+)，则S偶-S奇=nd,=S奇an当项数为2n-1(n∈N+)，则S奇-S偶=an,S偶n-1.=S奇n等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q列，常数q称为等比数列的公比.≠0)，这个数列叫做等比数2.通项公式与前n项和公式⑴通项公式：an=a1qn-1，a1为首项，q为公比.=1时，Sn=na1⑵前n项和公式：①当qa1(1-qn)a1-anq②当q≠1时，Sn=.=1-q1-q3.等比中项如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项⇔a，4.等比数列的判定方法⑴定义法：A，b成等差数列⇒G2=a⋅b.an+1=q（n∈N+，q≠0是常数）⇔{an}是等比数列； an⑵中项法：an+1⑴数列=an⋅an+2(n∈N+)且an≠0⇔{an}是等比数列.5.等比数列的常用性质{an}是等比数列，则数列{pan}、{pan}（q≠0是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,Λ为等比数列，公比为q.k=am⋅qn-m(n,m∈N+)⑷若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)，则am⋅an=ap⋅aq；⑶an⑸若等比数列{an}的前n项和Sn，则Sk、S2k-Sk、S3k-S2k、S4k-S3k是等比数列.二、典型例题A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a4=9,a9=-6,Sn=63，求n；2、等差数列{an}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20．3、设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1,a5=16，求数列{an}前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a6=100，则S11=2、设Sn、Tn分别是等差数列{an}、{an}的前n项和，3、设Sn 是等差数列{an}的前n项和，若Sn7n+2a，则5=.=Tnn+3b5a55S=,则9=（）a39S5Sa2n4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若n=,则n=（）Tn3n+1bn5、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn=m,Sm=n(n≠m)，则Sm+n=6、在正项等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3+a5=_______。
第1节数列的概念与简单表示法考试要求1。
了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。
知识梳理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列｛a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
（2）递推公式：如果已知数列{a n｝的第1项（或前几项），且从第二项(或某一项）开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.[常用结论与微点提醒]1。
数列的最大（小)项，可以用错误!(n≥2，n∈N＊）错误!求，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合求解.2.数列是按一定“次序"排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数"的排列顺序有关。
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。
诊断自测1。
判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”)（1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()（2)1，1，1，1,…，不能构成一个数列.（)（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列。
（）（4）如果数列｛a n｝的前n项和为S n，则对任意n∈N＊,都有a n＋1＝S n＋1－S n。
（）解析（1）数列:1,2,3和数列：3，2,1是不同的数列.(2）数列中的数是可以重复的,可以构成数列.(3）数列可以是常数列或摆动数列.答案（1)×(2)×（3)×（4）√2。
