习题二
1．化下列矩阵为Smith 标准型：
（1）222211λλλλ
λλλλλ⎡⎤
-⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦
; （2）2222
00
000
00(1)00000λλλλλλ
⎡⎤
⎢⎥
-⎢
⎥
⎢⎥-⎢⎥
-⎣⎦
; （3）2222
232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤
+--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦
;
(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
.
解：（1）对矩阵作初等变换
1
3
3
1
22222222111001100(1)c c r r λλλλλλλ
λλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
2
3221311(1)10
10
000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦
，
则该矩阵为Smith 标准型为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为
44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,
从而不变因子为
22
2341234123()()()
()1,()(1),()(1),()(1)()()()
D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ==
=-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦
；
（3）对矩阵作初等变换
1332212
13
2132222222222242322
(2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤
+--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦⎡⎤
-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦312
2131211342322
(2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
1)⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
故该矩阵的Smith 标准型为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112
λλλ; (4)对矩阵作初等变换
1523
2323010
0014360220002206200020101001010033122003312200c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦
1221323132200010
0010002200000020002010100100000100001000c c r r c c c c λλλλλλλλλλλλλλ+-+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
2143145425222000101000
0000000
000000000010000000
100100000
01r r c c c c c c c c λλλλλλ
λλλλ--↔-↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−
→⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
在最后的形式中，可求得行列式因子
3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===,
于是不变因子为
2541234534()()
()()()1,()(1),()(1)()()
D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ====
=-==-故该矩阵的Smith 标准形为
2
1
0000
010
0000100000(1)00
00
0(1)λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：
（1）
21
0021002λλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
；
