高考数学总复习 3-3 导数的实际应用但因为测试 新人教B版

3.3.3 导数的实际应用生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． (3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对B [设一个数为x ，则另一个数为8－x ，其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝512－192x ＋24x 2(0≤x ≤8)，则y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.所以当x ＝4时，y 取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.]2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件C [定义域为(0，＋∞)，令y ′＝－x 2＋81＝－(x ＋9)(x －9)＝0得x ＝9或x ＝－9(舍)， 当x ∈(0,9)时，f′(x )＞0；当x ∈(9，＋∞)时，f′(x )＜0. ∴x ＝9为函数的极大值点也是最大值点，∴该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]3．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．6 cm 3 cm 4 cm [设底面宽为x ，则长为2x ，高为722x 2＝36x 2(0＜x ＜6)，∴S 表面积＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54x ，令S ′＝8(x 3－27)x 2＝0得x ＝3，当x ∈(0,3)时，S ′＜0；当x ∈(3,6)时，S ′＞0， ∴x ＝3为函数的极小值点也是最小值点，∴长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm 时可使表面积最小．]米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？[思路探究]列出燃料费与速度关系→确定参数k →每小时费用→确定1千米总费用→求导→利用导数确定最值→结论[解] 设速度为每小时v 千米的燃料费为每小时p 元，由题意得p ＝k ·v 3，其中k 为比例常数，当v ＝10，p ＝6，解得k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3.设当速度为每小时v 千米时，行1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是(0.006v 3＋96)元，而行1千米所需时间为1v小时，所以行1千米的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v ， q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v2(v 3－8 000)，令q ′＝0，解得v ＝20.因为当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′＞0，所以当v ＝20时取得最小值． 即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小．解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值.1．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单元：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．[解] (1)设隔热层厚度为x m ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5.再由C (0)＝8，得k ＝40， 因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x ，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f′(x )＝6－2 400(3x ＋5)2，令f′(x )＝0，即2 400(3x ＋5)2＝6.解得x ＝5或x ＝－253(舍去)． 当0＜x ＜5时，f′(x )＜0，当5＜x ＜10时，f′(x )＞0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元.趋势．假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的函数关系式为y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)[思路探究] (1)根据售价为4元/套时可售出套题21千套，求出m 的值；(2)假设网校员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元，也就是每套题的成本为2元，则每套题的利润为(x －2)元，已知销售价格，则利润＝(销售价格－成本)×销售量，利用导数求最值．[解] (1)当x ＝4时，y ＝21，代入函数关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润为f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，所以f′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f′(x )＝0，得x ＝103或x ＝6(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103时，f′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6时，f′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在区间(2,6)上的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．(1)经济生活中优化问题的解法：经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.(2)关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本.②利润＝每件产品的利润×销售件数.2．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解] (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6.从而f′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)·(x －6)． 于是，当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.利用导数解决生活中的优化问题一般有哪些步骤？ [提示]【例3】 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． [思路探究] 建立数学模型，列出函数关系式，利用导数求最值． [解] (1)因为容器的体积为64π3立方米， 所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128π3r－8πr 23×3＋4πr 2×4＝128πr ＋8πr 2.又l ＝643r 2－43r ＞0⇒r ＜243，所以定义域为(0,243)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r2， 所以令y ′＞0得2＜r ＜243；令y ′＜0得0＜r ＜2，所以当r ＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83.1．(改变问法)本题问题改为试求该容器表面积的最小值． [解] 因为容器的体积为64π3立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，故该容器的表面积y ＝128π3r －8πr 23＋4πr 2＝128π3r ＋4πr 23，则y ′＝－128π3r 2＋8πr 3＝8π(r 3－16)3r2， 令y ′＝0，解得r ＝316，易知当r ＝316时，表面积取得最小值，y min ＝16π·34.2．(变换条件)本题中若由于场地的限制，该容器的半径要限制在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32范围内，求容器建造费用的最小值．[解] 因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r2， 所以令y ′＞0得2＜r ＜243；令y ′＜0得0＜r ＜2，故当r ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32时，函数单调递减， 故当r ＝32时，y min ＝310π3.(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.(3)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．1．思考辨析(1)生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．( ) (2)解决应用问题的关键是建立数学模型．( )(3)解决实际问题，其中就包括确定函数的定义域，在求定义域时，一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义．( )[提示] (1)√ (2)√ (3)√2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高应为( ) A ．33cm B ．1033 cmC ．1633cmD ．2033cmD [设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2(0＜h ＜20)， ∴体积V ＝13πr 2h ＝π3(400h －h 3)，令V ′＝π3(400－3h 2)＝0得h ＝2033，当h ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2033时，V ′＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2033，20时，V ′＜0， ∴h ＝2033为函数的极大值点，即最大值点，即高为2033cm 时，漏斗体积最大．]3．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．3 [设底面半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r2(0＜h ＜33)，∴表面积S ＝πr 2＋2πrh ＝πr 2＋54πr，令S ′＝2πr 3－27r 2＝0得r ＝3.当r ∈(0,3)时，S ′＜0；当r ∈(3,33)时，S ′＞0， ∴r ＝3为函数的极小值点，即最小值点， 即圆柱的底面半径为3时，用料最省．]4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5 [依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数，于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5或x ＝－5(舍去)．当0<x <5时，y ′<0；当x >5时，y ′>0. 因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．]5．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？[解] 设每次进书x 千册(0＜x ＜150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x 2×40，y ′＝－4 500x2＋20＝20(x ＋15)(x －15)x2，令y ′＝0，得x ＝15，列表如下：货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．。

课题：《生活中的优化问题举例》（教学设计）教材：普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2（人教A版）第一章《导数及其应用》第节顺义区第二中学任小磊一、教学目标：１、知识与技能：了解生活中常见的优化问题能够将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的基本思路进一步提高学生应用数学知识解决实际问题的能力２、过程与方法：经历将生活中的优化问题转化为数学中的最值问题，使学生在自主探究与合作交流中体会数学建模的过程，从而更好的理解和掌握数学建模的基本思想运用图形计算器绘制函数图像，通过图像解决相关问题，使学生感受函数图像的直观与便捷３、情感、态度与价值观：提高学生数学知识的应用意识，激发学生学习数学的兴趣二、教学重点：利用导数解决生活中的优化问题．三、教学难点：把优化问题转化为数学中的求函数最值问题四、教学方法：启发、引导、讨论、小组合作五、教学资源：多媒体、几何画板、图形计算器、实物投影六、教学过程：教师引导：题目对海报的设计提出了新的要求，如何用数学语言描述出来？ 解：222x ≤+ 且8.164x256≥+ 解得函数8x256x 4)x (s ++=的定义域为[]20,10结合例1 的求解过程可知，函数在[]20,10为增函数，因此，当10x =是函数的最小值点思考2 ：若要求海报四周空白面积为144 dm 2, 你能提供几种设计海报的方案？教师引导：四周空白面积对应前面数学问题中的哪个量？解：解方程1448x256x 4=++ 解得：32x 或2x ==因此,在满足条件下，有两种设计海报的方案思考3：如果我们不用导数工具，直接观察函数的图像，你能回答前面几个问题吗？ 教师引导学生用函数图像解释上述问题三、总结反思：解决优化问题的基本思路（步骤）学生谈体会，总结解题步骤图像的能力培养学生养成在解题后归纳总结的学习习惯四、课堂小结:1、总结解决优化问题的一般步骤，强调关键步骤2、引导学生谈本节课的收获五、布置作业：课本：37页习题组1、2、6题 六、板书设计：§生活中的优化问题举例总结步骤： 例题： 思考1：思考2：利用导比较极值建立数学模型 写出函数解析式优化问题得到最优解答案得到函数的极值，最值还原问读题、审题 找出已知、未知。

(－∞，1) 解析：由 f′(x)>12，可得fx－12x′＝f′(x)－12>0，即 函数 F(x)＝f(x)－12x 在 R 上是增函数．又由 f(1)＝1 可得 F(1)＝12，故
f(x)<x＋2 1＝12＋12x，整理得 f(x)－12x<12，即 F(x)<F(1)．由函数的单调性 可得不等式的解集为(－∞，1)．
第三章 导数及其应用
微专题进阶课(三) 构造法解f(x)与f′(x)共存问题
以抽象函数为背景，题设条件或所求结论中具有f(x)与f′(x)共存 的不等式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题， 是近几年高考中的一个热点．解答这类问题的策略是将f(x)与f′(x)共 存的不等式与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数， 然后利用函数的性质解决问题．
A 解析：构造函数 F(x)＝f(x)·g(x)．由题意可知，当 x<0 时， F′(x)>0，所以 F(x)在(－∞，0)上单调递增．又因为 f(x)，g(x)分别是 定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 F(x)是定义在 R 上的奇函数，从 而 F(x)在(0，＋∞)上单调递增．而 F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以 F(－3)＝－ F(3)＝0，结合图像(图略)可知不等式 f(x)g(x)>0⇔F(x)>0 的解集为(－3,0) ∪(3，＋∞)．故选 A.
【点评】当题设条件中存在或通过变形出现特征“f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”， 构造可导函数 y＝f(x)g(x)，然后利用函数的性质巧妙地解决问题．
【点评】当题设条件中存在或通过变形出现特征“f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”， 构造可导函数 y＝f(x)g(x)，然后利用函数的性质巧妙地解决问题．

高考数学总复习 3-4 定积分与微积分基本定理(理)但因为测试新人教B 版1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．(2010·辽宁锦州模拟)如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为3．(2010·山东烟台模拟)⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4．已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的封闭区域的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4 [答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ， 则所求区域的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3)|k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3.故选C. 5．(2011·汕头模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ∈[0，1]2－x x ∈1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 [答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x6．( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解析]7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ∵＝(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，f (x )d x＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析]由已知得＝(－cos x ＋sin x) ＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2， (2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192. 10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ， 则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba＝16(b －a )3， ∴16(b －a )3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎨⎧x ＝a ＋b 2y ＝a 2＋b22，将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1y ＝a 2＋2a ＋2， 消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.11.(2010·福建莆田市质检)如图，D 是边长为4的正方形区域，E 是区域D 内函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域，向区域D 中随机投一点，则该点落入区域E 中的概率为( )A.15B.14C.13D.12 [答案] C[解析] 阴影部分面积S ＝2⎠⎛02x 2d x ＝2×13x 3|20＝163，又正方形面积S ′＝42＝16，∴所求概率P ＝S S ′＝13.12．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34[答案] A[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13. 13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x 解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18. 14．(2011·潍坊模拟)抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．[答案] 23[解析] ∵y ′＝－2x ＋4，∴在点A (1,0)处切线斜率k 1＝2，方程为y ＝2(x －1)， 在点B (3,0)处切线斜率k 2＝－2，方程为y ＝－2(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2 x －1 y ＝－2 x －3 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，故所求面积S ＝⎠⎛12[(2x －2)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎠⎛23[(－2x ＋6)－(－x 2＋4x －3)]d x ＝(13x 3－x 2＋x )|21＋(13x 3－3x 2＋9x )|32＝13＋13＝23. 15．求下列定积分．[解析]16.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112，∵a <0，∴a ＝－1.1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2 D ．π[答案] A [解析] 如右图，S ＝∫2π0(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|2π0＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎫π6，π，则对称性就无能为力了．2．(2011·龙岩质检)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0[答案] B [解析]3．(2010·广东佛山顺德区质检)对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.。