《因式分解》全章复习与巩固(提高)
撰稿:康红梅责编:李爱国
【学习目标】
1.理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算;
2.掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法;
3.了解因式分解的一般步骤;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算,二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形,而整式乘法是一种运算.
要点二、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式是,即,而正好是除以m所得的商,提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
要点三、公式法
1.平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积,即:
()()22a b a b a b -=+-
2.完全平方公式
两个数的平方和加上这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(差)的平方.
即()2222a ab b a b ++=+,()2
222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++,22
2a ab b -+的式子叫做完全平方式.
要点诠释:(1)平方差公式的特点:左边是两个数(整式)的平方,且符号相反,右边是两个
数(整式)的和与这两个数(整式)的差的积.
(2)完全平方公式的特点:左边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两
数之积的2倍.右边是两数的和(或差)的平方.
(3)套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义,a 、b 可以是字母,也可以是单项
式或多项式.
要点四、十字相乘法和分组分解法
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++,若存在pq c p q b
=??+=?,则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法
对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.
要点五、因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.
因式分解步骤
(1)如果多项式的各项有公因式,先提取公因式;
(2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法;
(3)如用上述方法也不能分解,那么就得选择分组或其它方法来分解.
(4)结果要彻底,即分解到不能再分解为止.
【典型例题】
类型一、提公因式法分解因式
1、分解因式:
(1)222
284a bc ac abc +-; (2)32
()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-. 【答案与解析】
解:(1)2222842(42)a bc ac acb ac abc c b +-=+-.
(2)32
()()()()m m n m m n m m n m n +++-+- 2()[()()()]m m n m n m n m n =++++--
22()(22)m m n m mn n n =++++.
【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母,指数的变化,另外分解要彻底,特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分,分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否.
2、利用分解因式证明:712255-能被120整除.
【思路点拨】25=25,进而把725整理成底数为5的幂的形式,然后提取公因式并整理为含有120
的因数即可.
【答案与解析】
证明:712255-=()721255-
=1412
55- =()
122551- =12
524? =11
5524?? =11
5120? ∴712
255-能被120整除.
【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式. 类型二、公式法分解因式 3、放学时,王老师布置了一道分解因式题:()()()222244x y x y x y ++---,小明思考了半天,没有答案,就打电话给小华,小华在电话里讲了一句,小明就恍然大悟了,你知道小华说了句什么话吗?小明是怎样分解因式的.
【思路点拨】把()()x y x y +-、分别看做一个整体,再运用完全平方公式解答.
【答案与解析】
解:把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b ;
原式=()()()()22222x y x y x y x y ++--?+-????
=()()22x y x y +--????
=()2
3y x -. 【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式,注意把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b 是解题的关键.
举一反三:
【变式】下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程. 解:设2
4x x y -= 原式=()()264y y +++(第一步)
=2
816y y ++(第二步) =()2
4y +(第三步) =22
(44)x x -+(第四步) 回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的().
A 、提取公因式
B .平方差公式
C 、两数和的完全平方公式
D .两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底________.(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解.
【答案与解析】
解:(1)运用了C ,两数和的完全平方公式;
(2)244x x -+还可以分解,分解不彻底;结果为()4
2x -. (3)设2
2x x y -=. ()()222221x x x x --++
=()21y y ++,
=2
21y y ++, =()21y +2
, =22
(21)x x -+, =()4
1x -. 4、计算:(1-212)(1-213)(1-2
14)…(1-212004)(1-212005) 【思路点拨】先把括号里的式子通分,再把分子分解因式,利用乘法约分即可剩下
1200622005?. 【答案与解析】
解:(1-212)(1-213)(1-2
14)…(1-212004)(1-212005) =22222222
21314120051......2342005----g g g =1200622005?=10032005
. 【总结升华】本题既考查了对因式分解方法的掌握,又考查了代数式求值的方法,解题的关键是正确运算和分解.
举一反三:
【变式】设22131a =-,22253a =-,…,()()22
2121n a n n =+--(n 为大于0的自然数).(1)探究n a 是否为8的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论;(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”.试找出1a ,2a ,…,n a ,…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数,并指出当n 满足什么条件时,n a 为完全平方数(不必说明理由).
【答案】 解:(1)∵()()22
2221214414418n a n n n n n n n =+--=++-+-=, 又n 为非零的自然数,
∴n a 是8的倍数.
这个结论用文字语言表述为:两个连续奇数的平方差是8的倍数
(2)这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16,64,144,256.
n 为一个完全平方数的2倍时,n a 为完全平方数
类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式
5、分解因式:(1)()()222222x x ----
(2)()2224420x x x x +---
(3)22
44634a ab b a b -+-+-
【答案与解析】 解:(1)原式()()()()()()2222212211x x x x x x =---+=+-+-
(2)原式=()()()222224(4)204544x x x x x x x x +-+-=+-++
()()()2512x x x =+-+
(3)原式=()()()()2
23242421a b a b a b a b ----=---+ 【总结升华】做题之前要仔细观察,注意从整体的角度看待问题.
举一反三:
【变式】下列何者是765
228321x x x -+的因式?( ) A .2x +3B .2
(117)x x -C .()5113x x -D .()627x x + 【答案】C ;
解:()
()()76552522832122832111327x x x x x x x x x -+=-+=--, 则2
(117)x x -是多项式的一个因式. 6、已知长方形周长为300厘米,两邻边分别为x 厘米、y 厘米,
且3223
44x x y xy y +--=0,求长方形的面积. 【思路点拨】把3223
44x x y xy y +--=0化简成()()()22x y x y x y ++-,可得2x y =,由题意可得150x y +=,解方程组2150
x y x y =??+=?即可.
【答案与解析】
解:∵322344x x y xy y +--=0
∴()()224x x y y x y +-+=0
∵()()()22x y x y x y ++-=0
∴2x y =,x y =-,2x y =-(不合题意,舍去)
又由题意可得150x y +=
解方程组2150
x y x y =??+=?
解之得,x =100,y =50
∴长方形的面积=100×50=5000平方厘米.
【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用,主要考查了分组分解法,提取公因式法和运用平方差公式法.
举一反三:
【变式】因式分解:221448x y xy --+,正确的分组是( )
A .22(14)(84)x xy y -+-
B .22
(144)8x y xy --+ C .22(18)(44)xy x y +-+D .22
1(448)x y xy -+- 【答案】D ;
当被分解的式子是四项时,应考虑运用分组分解法进行分解.本题中22448x y xy --+正好符合完
全平方公式,应考虑2,3,4项为一组.