灰色系统理论

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第一篇灰色系统理论论文发表
1982年邓聚龙教授的第一篇灰色系统论文在国际期刊发
表 ： “The Control problem of grey systems ”,
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System & Control Letter 。
新兴横断学科—灰色系统理论问世
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第一章 灰色系统的概念与基本原理
1.1灰色系统理论的产生与发展
可能用一般手段知道其质量的确切值。
22、2、、仅仅仅有有有上上上界界界的的的灰灰灰数数数
例4:
有有有上上上界界界而而而无无无下下下界界界的的的灰灰灰数数数记记记为为为(((,a, a,]a]，]，，
有上界而无下界的灰数是一类取负数但 其绝对值难以限量的灰数，是有下界而
其其其中中中aa是a是是灰灰灰数数数的的的上上上确确确界界界。。。
只知道取值范围而不知其 确切值的数 。
预计200-300亿。若年底结算存 款余额为275亿,即为真值。
例பைடு நூலகம்:
•灰数的背景信息表现不完 某成年男子的身高为一灰数；
未测量之前估计其身高约为1.8-
全。
1.9米，通过测量得到该男子身
•人们认知能力有限。
高为1.86米，即为该男子身高
的真值。
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第一章 灰色系统的概念与基本原理
1.1 灰色系统理论的产生与发展
几种不确定性方法比较分析
项目
研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标 特色
灰色系统 概率统计 模糊数学 粗糙集理论
贫信息不确定 随机不确定 认知不确定 边界不清晰
灰数集
康托集 模糊集 近似集
信息覆盖 映射

什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。

所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。

一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。

尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。

灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。

GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。

灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。

生成数通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。

灰色系统理论介绍1）两个概念：累加法生成数（AGO ）和累减法生成数（IAGO ）（1）累加法生成数1-AGO 指一次累加生成。

记原始序列为{}(0)(0)(0)(0)(1),(2),...,()X x x x n = 一次累加生成序列为 {}(1)(1)(1)(1)(1),(2),...,()X x x x n =其中， (1)(0)(1)(0)0()()(1)()k i x k x i x k x k ===-+∑（2）累减生成数（IAGO ）是累加生成的逆运算。

记原始序列为{}(1)(1)(1)(1)(1),(2),...,()X x x x n = 一次累减生成序列为 {}(0)(0)(0)(0)(1),(2),...,()X x x x n = 其中， (0)(1)(1)()()(1)x k x k x k =--规定(1)(0)0x = 2）GM （1，1）模型符号的含义：表示一阶、一个变量的灰色系统模型。

令(0)X表示需要建模的序列，(1)X 为(0)X 的1-AGO 序列，则有(1)(0)0()()k i x k x i ==∑ 定义(1)Z 为(1)X 的紧邻均值（MEAN ）生成序列：(1)(1)(1)()(1)()2x k x k z k +-=则可建立如下灰微分方程：(0)(1)()()x k az k b += 记(,)Ta b a ∧=，则灰微分方程的最小乘估计参数列满足下式：1()T T n B B B Y a∧-=其中，(1)(1)(1)(2)1(3)1()1z B z z n ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ (1)(1)(1)(2)(3)...(4)n x x Y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 称(1)(1)dx ax b dt +=为微分方程(0)(1)()()x k az k b +=的白化方程，也称为影子方程。

综上所述，则有（1）白化方程(1)(1)dx ax bdt +=的解也称为时间响应函数：(1)(1)()((0))at b b t x e a a x ∧-=-+（2）GM （1，1）灰色微方程(0)(1)()()x k az k b +=的时间相应序列为(1)(1)(1)(0)ak b b k x e a a x ∧-⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦，k=1，2，3…n （3）取(1)(0)(0)(1)x x =，则有 (1)(0)(1)(1)ak b b k x e a a x∧-⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦，k=1，2，3…n （4）将值还原得到 (0)(1)(1)(1)(1)()k k k x x x ∧∧∧+=+- 上式即为预测方程。

Xi (xi (1), xi (2), , xi (n)) 为因素Xi的行为序列。
• 初值化算子（D1）：若 xi (k)d1 xi (k) / xi (1), xi (1) 0，则称 Xi D1 (xi (1)d1, xi (2)d1, , xi (n)d1) 为Xi在初值化算子D1下的像，即初值像。
i (k) x0(k) xi(k) i (i (1), i (2), , i (n)), i 1, 2, , m
M

max i
max k
i
(k
),
m

min i
min k
i
(k
)
0i
(k)

mM i (k) M
,

(0,1)
北航
0i

1 n
– 计算差序列，i (k) x0(k) xi(k) 。见下表。
编号 专业 外语 教学量 科研 论文 著作 出勤
|X1-X0| 1
0
1
2
4
7
0
|X2-X0| 2
1
2
4
2
6
1
|X3-X0| 0
2
0
3
3
5
2
|X4-X0| 3
1
1
1
5
6
3
|X5-X0| 1
3
3
0
1
6
1
|X6-X0| 1
0
4
2
3
•
均值化算子（D2）：若
xi (k)d2

xi (k xi
)
,
xi

1 n