新课标九年级数学寒假作业
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九年级数学寒假作业（二）归纳与猜想型问题
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1、猜想数式规律
1、据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。
后人概括为“勾三、股四、弦五”。
⑴观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾．都是奇数，且从3起就没有间断过。
计算12（9－1）、12（9＋1）与12（25－1）、12（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，
25的股．和弦．的算式；
⑵根据⑴的规律，用n （n 为奇数且．．．n ≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾．、股．、弦．，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
⑶继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过。
运用类似上述探索的方法，直接用m （m 为偶数且．．．m ＞4）的代数式来表示他们的股．和弦．。
2、猜想图形规律
2、观察图2所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； （2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式.
……
……
①1=12； ②1+3=22； ③1+2+5=32；
④ ；
⑤ ；
3、．随着信息技术的高速发展，电话进入了千家万户，据调查某校初三⑴班的同学家都装上了电话，暑假期间全班每两个同学都通过一次电话，如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？ 为解决该问题，我们可把该班人数n 与通电话次数s 间的关系用下列模型来表示：
⑴若
把n 作为点的横坐标，s 作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；
⑵根据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上？如果在，求出该函数的解析式；
⑶根据⑵中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话．
4、猜想数量关系 4、（1）如图5，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，b AB =，a CD =，E 为AD 边上的任意一点，EF ∥AB ，且EF 交BC 于点F ，某学生在研究这一问题时，发现如下事实： ①当
1=AE DE 时，有2b a EF +=；②当2=AE
DE
时，有32b a EF +=；
③当3=AE DE 时，有4
3b
a EF +=． 当k AE
DE
=时，参照上述研究结论，请你猜想用k 表示DE 的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD （如图6所示），其中AB ∥CD ，AB AD ⊥，=AB 310米，=DC 170米，=AD 70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案． 图6 H G F E
D C B A D C
B A
5、四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了
它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.
(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的
连线，将四边形分成四个三角形(如图7)，其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗？试试看. 已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD
求证：S △OBC ·
S △OAD =S △OAB ·S △OCD . (2)在三角形中（如图8），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由.
6、定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形。
探究：一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。
我们把△DEF （图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）……依次规则操作下去。
n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n 为正整数），设此时小三角形的面积为S n .
⑴若△DEF 的面积为10000，当n 为何值时，2＜S n ＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）
⑵当n ＞1时，请写出一个反映S n －1，S n ，S n ＋1之间关系的等式（不必证明）。
是等边三角形，C、D是以AB为直径的半圆O 7、空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，ABG
的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，试判断点E、F分别位于所在线段的什么位置？
并证明你的结论（证明一种情况即可）。
