第六章作业答案（习题六P141）
4. 解：（1）设()()()()0sin cos 4
11cos sin 41>--='+-=x x x f x x x x f ， 故()x f 为增函数。又因()1441
0=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=πf f ，，所以()x f 的零点，即()0=x f 的根属于 区间⎥⎦⎤
⎢⎣⎡40π，。因对⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∀4,0πx ()()421cos sin 4101πϕ<≤+=
≤x x x ， 又
()()12
1sin cos 41'1<≤-=x x x ϕ， 因此迭代格式收敛。故可用迭代法求解所给方程。
（2）设()()02ln 2124>+='+-=x x x f x x f ，，
故()x f 为增函数。又因()()2211=-=f f ，，所以()x f 的零点，即()0=x f 的根属于 区间[]21，。因()x
x 242-=ϕ，则对[]21，∈∀x 有 ()12ln 22ln 2'2>≥-=x x ϕ，
因此迭代格式不收敛。故不能用迭代法求解所给方程。
当[]21，∈x 时，原方程与方程 ()2
ln 4ln x x -=
等价。令 ()()2
ln 4ln x x -=
ϕ 则[]21，∈x 时，()()22ln 3ln 2ln 4ln 1<≤-=≤x x ϕ，且 ()()12
ln 212ln 41<≤--='x x ϕ 因此迭代格式收敛。此形式能用迭代法求解。
5. 解：（1）()()32211x
x x x -='+=ϕϕ，，当[]6.1,4.1∈x 时，
()14.123<≤
'x ϕ 令729.04
.123≈=L ，则对[]6.1,4.1,∈∀y x ，有 ()()y x L y x -≤-ϕϕ
所以此迭代法收敛。
（2）()321x x +=ϕ
()()()1518.06.124.1131213132
2
32
2
<≈⨯⨯+⨯≤⋅+='--x x x ϕ
对[]6.1,4.1,∈∀y x ，有
()()1518.0<-≤-y x y x ϕϕ
所以此迭代法收敛。
（3）()11
-=x x ϕ ()()10758.16.02
11212323>≈⨯>--='--x x ϕ 故此迭代法发散。
6. 解：迭代格式 （1）
令，则 ，从而当时，，由127页定理2.4知此迭代格式在
上收敛。
因单调增且有上界，故
收敛。令 ，（1）式两端同时取极限可得
. 10．（1）()2
3x x f ='，Newton 迭代格式为 ()()
k k k k x f x f x x '-=+1 ,2,1,03223=+=k x x k
k ，α
（2） Newton 法的迭代函数为
()2
332x x x αϕ+= ()()，，4323232x
x x x αϕαϕ=''-=
' 因 ()()()，
，，02
033333≠=''='=ααϕαϕααϕ 故此迭代格式是平方收敛的。
11. 解：()()104320102223++='-++=x x x f x x x x f ，
Newton 迭代公式为
()()10
43201022231++-++-='-=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 取00=x 迭代得
371512014
.146666667.12321===x x x ，，,… 计算到满足精度为止。
13. 解：（1） ()()()()211,---=''='-=n n n x n n x f nx x f a x x f ， Newton 迭代公式为
()()()11
1-++-='-=n k n k k k k k nx a x n x f x f x x ()()()n n n k n k n
k a
n a f a f x a x a 212lim 21--='''-=--+∞→ （2）()()()()211,1----+-=''='-
=n n n x n an x f anx x f x a x f ， Newton 迭代公式为
()()()an x x a an x f x f x x n k k k k k k 11
++-+='-= ()()()n n n k n k n k a n a f a f x a x a 212lim
21+-='''-=--+∞→
