2017届四川省南充高级中学高三4月检测考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,M x =，{}1,2N =，若{}2M N =，则M N =（ ）A ．{}0,,1,2xB ．{}0,1,2C ．{}2,0,1,2D ．不能确定2.已知1()()2x f x =，则“120x x +>”是“12()()1f x f x ⋅<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足1a 、3a 、4a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则又多少种坐法（ ） A ．10B ．16C ．20D ．245.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.46.过椭圆22221x y ab+=（0a b >>）的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．13D ．337.如图是求样本1x ，2x ，…，10x 平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）A ．n S S x =+B ．n x S S n=+C ．S S n =+D ．10n x S S =+8.函数sin(2)3y x π=-与2cos(2)3y x π=+的图象关于直线x a =对称，则a 可能是（ ）A ．24πB ．12πC ．8πD ．1124π9.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()|()|6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ<，则下列结论正确的是（ ） A ．11()112f π=-B ．7()()105f f ππ>C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的单调递增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）10.已知实数x ，y 满足260,0,2,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,1-B ．[]1,3-C ．[]1,2-D ．[]2,311.过双曲线22115yx -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：22(4)4x y ++=和圆2C ：22(4)1x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ） A ．10B ．13C ．16D ．1912.已知函数()x af x x e =-存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线xy e =相切，符合情况的切线（ ） A ．有3条B ．有2条C ．有1条D ．不存在第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点2(,0)3π中心对称，那么||ϕ的最小值为 ．14.1F ，2F 分别为椭圆2213627xy+=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且11()2OB OA OF =+，21()2OC OA OF =+，则||||OB OC += ．15.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为60︒，若球半径为R ，则弦AB 的长度为 ．16.已知动点(,)P x y 满足：2224,0,(1)(1)1,x y x x x y y ⎧+≤⎪⎪≥⎨⎪+-++≥⎪⎩则226x y x +-的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos 20cos B a b Cc c++=．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）求22sin sin A B +的取值范围．18.某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数X，求X的分布列及数学期望．19.如图，在四棱锥P ABCD-中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB CD⊥，222AB AD CD===，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P AC E--的余弦值为33，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20.已知抛物线C：22x py=（0p>），过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M、N两点，且||16MN=．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点(0,4)D，若动圆P与x轴交于A、B两点，且||||DA DB <，求||||DA DB 的最小值.21.设函数2()x f x x a =-（0a >，且1a ≠），()'()g x f x =（其中'()f x 为()f x 的导函数）. （Ⅰ）当a e =时，求()g x 的极大值点； （Ⅱ）讨论()f x 的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()333πρθ+=，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l的交点为Q ，求线段PQ 的长． 23.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >，函数()||||f x x a x b c =+--+的最大值为10． （Ⅰ）求a b c ++的值； （Ⅱ）求2221(1)(2)(3)4a b c -+-+-的最小值，并求出此时a ，b ，c 的值．四川南充高中2017年4月检测考试高三数学（理）试卷答案一、选择题1-5:BCACB 6-10:DDADC 11、12：BD二、填空题13.6π14.6 15.263a R =16.409-三、解答题17.解：（Ⅰ）∵cos 20cos B a b Cc c++=，∴cos 2cos cos 0c B a C b C ++=，∴sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C ++=， ∴sin 2sin cos 0A A C +=， ∵sin 0A ≠， ∴1cos 2C =-，∴23C π=．（Ⅱ）22cos 2cos 21sin sin 11sin(2)226A BA B A π++=-=-+，又03A π<<，∴52666A πππ<+<，∴1sin(2)126A π<+≤，即2213sin sin [,)24A B +∈． 18.解：（Ⅰ）由图知，(2530)P x ≤<0.0150.05=⨯=，故1000.055x =⨯=；(3035)1(0.050.350.30.1)10.80.2P x ≤<=-+++=-=．故1000.220y =⨯=，其0.20.045==频率组距．（Ⅱ）∵各层之间的比为5:20:35:30:101:4:7:6:2=，且共抽取20人， ∴年龄在[35,40)内抽取的人数为7人．X 可取0，1,2，21322078(0)190C P X C ===，11137622091(1)190C C P X C ===，2722021(2)190C P X C ===，故X 的分布列为：X 012P781909119021190故9121133()12190190190E X =⨯+⨯=．19.（Ⅰ）证明：∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC PC ⊥， ∵2AB =，2AD CD ==，∴2AC BC ==，∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又BC PC C =，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．（Ⅱ）解：如图，以C 为原点，DA 、CD 、CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C ，(1,1,0)A ，(1,1,0)B -． 设(0,0,)P a （0a >），则11(,,)222aE -， (1,1,0)CA =，(0,0,)CP a =，11(,,)222aCE =-， 取(1,1,0)m =-，则0m CA m CP ⋅=⋅=，m 为平面PAC 的法向量．设(,,)n x y z =为平面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即0,0,x y x y az +=⎧⎨-+=⎩取x a =，y a =-，2z =-，则(,,2)n a a =--，依题意，|||cos ,|||||m n m n m n ⋅<>=⋅2332a a ==+，则1a =，于是(1,1,2)n =--，(1,1,2)PA =-． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ， 则2sin |cos ,|3PA n θ=<>=．20.解：（Ⅰ）设抛物线的焦点为(0,)2p F ，则直线l ：2p y x =+，由2,22,p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220x px p --=， ∴122x x p +=，123y y p +=，∴12||416MN y y p p =++==，∴4p =，∴抛物线C 的方程为28x y =．（Ⅱ）设动圆圆心00(,)P x y ，1(,0)A x ，2(,0)B x ，则2008x y =， 且圆P ：22220000()()(4)x x y y x y -+-=+-，令0y =，整理得22002160x x x x -+-=，解得104x x =-，204x x =+，22000022200000(4)1683216||1||(4)16832832x x x x DA DB x x x x x -+-+===-++++++，当00x =时，||1||DA DB =，当00x ≠时，00||16132||8DA DB x x =-++，∵00x >，∴003282x x +≥，||16132221||882DA DB ≥-=-=-+，∵211-<， ∴||||DA DB 的最小值为21-．21.解：（Ⅰ）()2x g x x e =-，'()20xg x e =-=，解得ln 2x =．当ln 2x <时，'()0g x >；当ln 2x >时，'()0g x <，故()g x 的极大值点为ln 2． （Ⅱ）（1）先考虑1a >时，()f x 的零点个数，当0x ≤时，()f x 为单调减函数，1(1)10f a-=->，(0)10f =-<，由零点存在性定理知()f x 有一个零点．当0x >时，由()0f x =，得2xx a =，即2ln ln x x a =，即2ln ln x a x=，令2ln ()x h x x=，则22(1ln )'()x h x x-=．由'()0h x =，得x e =，当0x e <<时，'()0h x >；当x e >时，'()0h x <， 故max 2()()h x h e e==，(1)0h =，且()0h x >总成立，故()h x 的图象如图，由数形结合知，①若2ln a e >，即2e a e >时，当0x >时，()f x 无零点，故x R ∈时，()f x 有一个零点；②若2ln a e=，即2e a e =时，当0x >时，()f x 有一个零点，故x R ∈时，()f x 有2个零点；③若20ln a e<<，即21e a e <<时，当0x >时，()f x 有2个零点，故x R ∈时，()f x 有3个零点．（2）再考虑01a <<的情形，若01a <<，则11a>，同上可知，当21ee a >，即20ea e-<<时，()f x 有一个零点；当21e e a=，即2ea e-=时，()f x 有2个零点；当211ee a<<，即21eea -<<时，()f x 有3个零点．综上所述，当2ea e >或20ea e-<<时，()f x 有一个零点；当2e a e =或2ea e-=时，()f x 有2个零点；当21e a e <<或21eea -<<时，()f x 有3个零点．22.解：（Ⅰ）圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（Ⅱ）设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos ,,3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得111,,3ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，2222sin()33,3,3πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得223,,3ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩由于12θθ=，所以12||||2PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2．23.解：（Ⅰ）∵()|||||()|||f x x a x b c b a c b a c =+--+≤--+=++，当且仅当x b ≥时等号成立， 又0a >，0b >，∴||a b a b +=+， ∴()f x 的最大值为a b c ++，又已知()f x 的最大值为10，所以10a b c ++=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知10a b c ++=，由柯西不等式得2222221()(2)(3)(211)2a b c -⎡⎤+-+-++⎢⎥⎣⎦221()2(2)1(3)1(6)162a b c a b c -⎡⎤≥⋅+-⋅+-⋅=++-=⎢⎥⎣⎦，即22218(1)(2)(3)43a b c -+-+-≥，当且仅当123411a b c ---==，即113a =，83b =，113c =时等号成立．。
