2020版高考数学二轮专题复习--抛物线

限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

高考数学二轮复习抛物线学案（含解析）抛物线考向一抛物线定义抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，注意在解题中利用两者之间相互转化。

1.xx浙江高考若抛物线y24x上的点M到焦点F的距离为10，则M到y轴的距离是________解析设Mx0，y0，由抛物线的方程知焦点F1,0根据抛物线的定义得|MF|x0110，x09，即点M到y 轴的距离为9.条件探究将条件变为“在抛物线上找一点M，使|MA||MF|最小，其中A3,2”求点M的坐标及此时的最小值解如图，点A在抛物线y24x的内部，由抛物线的定义可知，|MA||MF||MA||MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA||MF||MA||MH||AB|4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立此时点M的坐标为1,22.xx全国，10已知抛物线Cy28x的焦点为F，准线为l，P 是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|ABC3D2解析过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以|PQ||PF|34，又焦点F 到准线l的距离为4，所以|QF||QQ|33.xx全国，16已知F是抛物线Cy28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|________.解析不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F2，0，|FO||AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP||FO|1.又|BP||AO|2，|MB||MP||BP|3.由抛物线的定义知|MF||MB|3，故|FN|2|MF|6.考向二抛物线的标准方程与几何性质1.xx全国，10以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为A2B4C6D8答案B解析不妨设Cy22pxp0，Ax1，2，则x1，由题意可知|OA||OD|，得2825，解得p4.故选B.2.【xx年高考全国卷理数】若抛物线y22pxp0的焦点是椭圆的一个焦点，则pA2B3C4D8 【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D 考向三直线与抛物线的综合问题1.xx全国，8设抛物线Cy24x的焦点为F，过点2,0且斜率为的直线与C交于M，N两点，则A5B6C7D8解析根据题意，过点2,0且斜率为的直线方程为yx2，与抛物线方程联立消去x并整理，得y26y80，解得M1,2，N4,4，又F1,0，所以0,2，3,4，从而可以求得03248，故选D.条件探究将条件变为过点2,0的直线与C交于M，N两点，求的范围根据题意，直线的斜率存在且不为零，设Mx1,y1，Nx2,y2，设直线方程为yk（x2），与抛物线方程联立得ky2-4y8k0，y1y24k，y1y28x1-1，y1x2-1，y2x1x2-x1x21y1y2y124y224-y124y2241y1y2y124y224-y1y22-2y1y241y1y217-4k2因为16-32k20，0k212，的范围为-，92.xx全国，10已知F为抛物线Cy24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB||DE|的最小值为A16B14C12D10解析因为F为y24x的焦点，所以F1，0由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为ykx1，yx1由得k2x22k24xk20.设Ax1，y1，Bx2，y2，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x22.同理可得|DE|41k2所以|AB||DE|41k24（11k2）84（k2）84216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A.3.xx全国，16已知点M1,1和抛物线Cy24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k________.答案2解析设Ax1，y1，Bx2，y2，则所以yy4x14x2，所以k.取AB的中点Mx0，y0，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B.因为AMB90，所以|MM||AB||AF||BF||AA||BB|因为M为AB 的中点，所以MM平行于x轴因为M1,1，所以y01，则y1y22，所以k2.4.【xx年高考全国卷理数】已知抛物线Cy23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF||BF|4，求l的方程；（2）若，求|AB|【解析】设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故5.xx北京卷，18已知抛物线Cy22px过点P1，1过点作直线l 与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点1求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；2求证A为线段BM的中点解1由抛物线Cy22px过点P1，1，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.2证明由题意，设直线l的方程为ykxk0，l与抛物线C的交点为Mx1，y1，Nx2，y2由得4k2x24k4x10，则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为1，1，所以直线OP的方程为yx，点A 的坐标为x1，x1直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1，故A为线段BM的中点6。

课时跟踪练(五十四)A 组　基础巩固1．(2019·黄山模拟)若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )A ．(8，8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)解析：设P (x P ，y P )，因为点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，所以x P ＝8，则y P ＝±8，所以点P 的坐标为(8，±8)．故选C.答案：C2．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上2一点，若|PF |＝4，则△POF 的面积为( )2A ．2B ．2C ．2D ．423解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋＝4，得x 0＝3，222代入抛物线方程得，y ＝4×3＝24，所以|y 0|＝2，20226所以S △POF ＝|OF ||y 0|＝××2＝2.1212263答案：C3．(2019·茂名模拟)若动圆的圆心在抛物线y ＝x 2上，且与直112经y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－3)C ．(0，3)D ．(0，6)解析：直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0，3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0，3)．答案：C4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝(O 为坐标原点)，则·32OM → ＝( )MF →A ．－B. C. D ．－74749494解析：不妨设M (m ，)(m >0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐2pm 标为，因为|MO |＝|MF |＝，所以解得m ＝，p ＝(p 2，0)32{m 2＋2pm ＝94，m＋p 2＝32，)122，所以＝，＝，所以·＝－2＝－.OM → (12，2)MF → (12，－2)OM → MF → 1474故选A.答案：A5．(2019·长沙模拟)已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆C ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝1上的一个动点，则x 0＋|PQ |的最小值为( )A ．2－1B ．255C ．3D ．4解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，过点P (x 0，y 0)作准线l ：x ＝－1的垂线，垂足为N ，则x 0＋|PQ |＝|PN |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|CF |－2＝－2＝5－2＝3，当且仅当C ，P ，F 三点共（1＋2）2＋42线且点Q 在线段CF 上时取等号，则x 0＋|PQ |的最小值是3，故选C.答案：C6．(2019·福州模拟)函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点P ，则焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是________________．解析：设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)，由题意知点P 的坐标为(1，1)，代入y 2＝mx ，可得m ＝1，所以焦点在x 轴上且过点P 的抛物线的标准方程是y 2＝x .答案：y 2＝x7．(2019·玉溪模拟)已知F 是抛物线y ＝x 2的焦点，M 、N 是该抛物线上的两点，|MF |＋|NF |＝3，则线段MN 的中点到x 轴的距离为________．解析：抛物线的焦点为，准线为y ＝－，过M ，N 作准线(0，14)14的垂线，垂足分别为M ′，N ′，则|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |，所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝3，设线段MN 的中点为P ，过P 作准线的垂线，垂足为P ′，则|PP ′|＝＝，|MM ′|＋|NN ′|232所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－＝－＝.14321454答案：548．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且l 与准线交于点C ，若＝4，CB → BF →则＝________．|AF ||BF |解析：根据题意，设|AF |＝a ，|BF |＝b，过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，则有|BF |＝|BN |＝b ，|AF |＝|AM |＝a ，因为＝4，所以|CB |＝4|BF |，即|CB |＝4|BN |，CB → BF →又BN ∥AM ，所以|CA |＝4|AM |，即4b ＋b ＋a ＝4a ，变形可得＝，a b 53即＝.|AF ||BF |53答案：539．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px的准线为x ＝－，于是4＋＝5，p 2p2所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k FA ＝.43因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－，34所以FA 的方程为y ＝(x －1)，①43MN 的方程为y ＝－x ＋2，②34由①②联立得x ＝，y ＝，8545所以点N 的坐标为.(85，45)10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为2的直线交2抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λOC → OA → OB →的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝2，2(x －p2)与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由(1)知p ＝4，4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，又x 1＜x 2，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4，4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，OC →2222又y ＝8x 3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0232或λ＝2.B 组　素养提升11．(2019·太原模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝|AB |，则∠AFB 的最大值为( )233A. B. C. D.π33π45π62π3解析：设|AF |＝m ，|BF |＝n ，因为|AF |＋|BF |＝|AB |，233所以|AB |≥2，所以mn ≤|AB |2，233mn 13在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝＝m 2＋n 2－|AB |22mn＝≥－，（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn13|AB |2－2mn 2mn 12所以∠AFB 的最大值为.故选D.2π3答案：D12．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A.B ．2C ．2D ．35233解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝(x －1)．3联立得方程组{y ＝3（x －1），y 2＝4x ，)解得或{x ＝13，y ＝－233，){x ＝3，y ＝23.)因为点M 在x 轴的上方，所以M (3，2)．3因为MN ⊥l ，所以N (－1，2)．3所以|NF |＝＝4，（1＋1）2＋（0－23）2|MF |＝|MN |＝＝4.（3＋1）2＋（23－23）2所以△MNF 是边长为4的等边三角形．所以点M 到直线NF 的距离为2.3故选C.答案：C13．(2019·衡水中学月考)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是________．解析：因为直线l 与圆相切，所以＝1⇒k 2＝t 2＋2t .再把直|t ＋1|1＋k 2线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t ＝16t (t ＋3)>0，解得t >0或t <－3.答案：t >0或t <－314．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若＝2，求直线AB 的斜率；AF → FB →(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为＝2，所以y 1＝－2y 2.AF → FB →联立上述三式，消去y 1，y 2，得m ＝±.24所以直线AB 的斜率是±2.2(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×·|OF |·|y 1－y 2|12＝＝4，（y 1＋y 2）2－4y 1y 21＋m 2所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.。

＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
答案：B
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3．若抛物线 y2＝4x 的准线为 l，P 是抛物线上任意一点，则 P 到准线 l 的距离与
P 到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值是( )
A．2
B．153
C．154
D．3
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题型二 抛物线的几何性质 例 3 (1)(2020·兰州双基过关考试)抛物线 y2＝2px(p＞0)上横坐标为 6 的点到此抛
物线焦点的距离为 10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．4
B．8
C．16
D．32
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解析：设抛物线的准线方程为 x＝－p2(p＞0)，则根据抛物线的性质有|PF|＝p2＋6 ＝10，解得 p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为 8. 答案：B
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6．已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C
的方程是( )
A．y2＝±2 2x
B．y2＝±2x
C．y2＝±4x
D．y2＝±4 2x
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解析：由已知可知双曲线的焦点为(－ 2，0)，( 2，0)． 设抛物线方程为 y2＝±2px(p>0)，则p2＝ 2， 所以 p＝2 2，所以抛物线方程为 y2＝±4 2x.故选 D.
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【思维升华】 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有 关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关 问题的重要途径． (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方 向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方 程．