杨辉三角的规律以及推导公式

杨辉三角形的规律口诀
杨辉三角形的规律口诀如下：
1、杨辉三角左右两侧的数字都是1，而里面的数字等于它肩上的两数之和。

2、第n行的数所组成的数字为11n-1。

3、第n行的数字之和是2n-1。

4、每一斜线上的数字之和等于拐角处的数字。

5、每一斜行的数字相加，组成一个斐波那契数列。

6、每一行的数字分别是（a+b）n这一多项式展开后每一项的系数。

7、杨辉三角中的每一个数字都是组合数。

主要特征：
（1）具有对称性；
（2）每一行的首、尾都是1；
（3）中间各数都等于它们两肩上的数的和。

杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1，从第三行开始，除去第一列和最后一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。

从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）
都用帕斯卡来称呼这个三角形。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）
历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家
杨辉三角
杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕 斯卡三角形，是二项式系数在三角
形中的一种几何排列。
性质
1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
2、第n行的数字个数为n个。
3、第n行数字和为2^(n－1)。
4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质
写出整个帕斯卡三角形。
5、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5 个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行 第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数 之和是第2n-1个斐波那契数。
·贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》
·杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功
·朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
·阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》
·阿皮亚纳斯 德国 1527
·施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
·薛贝尔 法国 1545
·B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》
简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）²=x²+2xy+y²，这样系数

1杨辉三角概述1.1 杨辉三角的产生唐代以来一些数学著作的失传，大概是五代十国分裂战乱所造成的文化后果。

到了宋代，雕版印数的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。

事实上，整个宋元时期（公元960—1368），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。

商业的繁荣、手工业的兴盛以及由此引起的技术进步（四大发明中有三项——指南针、火药和活字印刷是在宋代完成并获得广泛应用），给数学的发展带来新的活力。

这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，他的主要贡献是创造了'贾宪三角'和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。

南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。

元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”（如下图）。

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。

在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。

同时，这也是多项式(a+b)n打开括号后的各个项的二次项系数的规律。

因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y nCr x）。

我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2x-1 (即(a+b)x中a,b都为1的时候) 。

上述(a nCr b) 指组合数。

而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。

简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。

杨辉三角系数的规律公式杨辉三角，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！咱先来说说杨辉三角到底是啥。

简单来讲，它就是一个三角形的数阵。

从最上面的 1 开始，然后每行的数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。

就像搭积木一样，一层一层地往下搭。

杨辉三角里藏着好多神奇的规律和公式呢。

比如说，它的每行数字之和是 2 的幂次方。

你看，第一行是 1，和是 1，也就是 2 的 0 次方；第二行是 1 1，和是 2，就是 2 的 1 次方；第三行是 1 2 1，和是 4，正好是 2 的 2 次方。

以此类推，是不是很神奇？还有啊，杨辉三角里的二项式系数也有规律。

比如 (a + b) 的 n 次方展开式的系数，就可以在杨辉三角的第 n + 1 行找到。

这就像是一个神秘的密码本，只要你懂得解读，就能轻松找到答案。

我记得有一次，我在给学生们讲杨辉三角的时候，有个小调皮鬼一直说不明白，还跟我较劲。

我就指着黑板上的杨辉三角问他：“你看这一行的数字，1 3 3 1，这是不是和 (a + b)³的展开式系数一模一样？”他眨眨眼睛，还是一脸迷茫。

我又耐心地给他解释：“(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，系数不就是 1 3 3 1 嘛。

”他挠挠头，突然恍然大悟，大声说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。

再说说杨辉三角的对称性。

它就像一面镜子，左右对称得完美无缺。

从中间画一条线，两边的数字完全一样。

这种对称美，在数学里可不少见，就像大自然中的蝴蝶，两边的翅膀也是对称的。

而且杨辉三角里还有一个很有趣的规律，就是相邻两行数字之间的关系。

比如第 n 行的数字乘以 n 再除以 n + 1 ，就可以得到第 n + 1 行的数字。

这就像是一个神奇的魔法，让数字们按照一定的规则变化着。

杨辉三角的规律和公式可不仅仅是为了好玩，它们在数学的很多领域都有重要的应用。