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三角函数公式大全及推导过程一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y=αtan 余切：y x =αcot 正割：xr=αsec 余割：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+ 倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα 商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =，αααsin tan sec =，αααtan sec csc = 以上公式，均可由定义直接证明。
六角形记忆法：构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。
（1）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
（2）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（3）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。
由此，可得商数关系式。
三、诱导公式公式一： （同终边的角）设α为任意角，终边相同的角的同一类三角函数的值相等：ααπsin )2k sin(=+ ααπcos )cos(2k =+ ααπtan )tan(2k =+公式二： （x 轴对称角）任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：αα-sin )-sin(= ααcos )cos(-= αα-tan )tan(-=公式三： （中心对称角）设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：ααπ-sin )sin(=+ ααπ-cos )cos(=+ ααπtan )tan(=+公式四： （y 轴对称角）利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：ααπsin )-sin(= ααπ-cos )-cos(= ααπ-tan )-tan(=公式五： （同x 轴对称角）利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：ααπsin )-2k sin(= ααπcos )-cos(2k = ααπ-tan )-tan(2k =公式六： （垂直关系角或y=x 对称或y=-x 对称角）2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：ααπcos )2sin(=+ ααπ-sin )2cos(=+ ααπ-cot )2tan(=+ααπcos )-2sin(= ααπsin )-2cos(= ααπcot )-2tan(=ααπcos -)23sin(=+ ααπsin )23cos(=+ ααπ-cot )23tan(=+ ααπcos -)-23sin(= ααπ-sin )-23cos(= ααπcot )-23tan(=※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为： 对于Z)k (2k ∈±•απ的个三角函数值，①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos ；cos →sin ；tan →cot ；cot →tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
三角函数公式大全及其推导方法三角函数是高中数学课程中重要的内容之一、在学习三角函数时，我们会学习各种不同的三角函数公式，这些公式有助于解决三角函数相关的各种问题。
本文将介绍常用的三角函数公式及其推导方法。
一、基本三角函数公式1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值。
sin(A) = 对边 / 斜边2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值。
cos(A) = 邻边 / 斜边3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值。
tan(A) = 对边 / 邻边二、三角函数的诱导公式1.正弦函数的诱导公式：sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)sin(2α) = 2sin(α)cos(α)2.余弦函数的诱导公式：cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)cos(2α) = cos²(α) - sin²(α) = 2cos²(α) - 1 = 1 -2sin²(α)3.正切函数的诱导公式：tan(α ± β) = (tan(α) ± tan(β)) / (1 ∓ tan(α)tan(β)) tan(2α) = 2tan(α) / (1 - tan²(α))三、倍角公式1.正弦函数的倍角公式：sin(2α) = 2sin(α)cos(α)2.余弦函数的倍角公式：cos(2α) = cos²(α) - sin²(α) = 2cos²(α) - 1 = 1 -2sin²(α)3.正切函数的倍角公式：tan(2α) = 2tan(α) / (1 - tan²(α))四、和差公式1.正弦函数的和差公式：sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)2.余弦函数的和差公式：cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)3.正切函数的和差公式：tan(α + β) = (tan(α) + tan(β)) / (1 - tan(α)tan(β))tan(α - β) = (tan(α) - tan(β)) / (1 + tan(α)tan(β))五、万能公式sin(A) = (e^(iA) - e^(-iA)) / (2i)cos(A) = (e^(iA) + e^(-iA)) / 2以上是一些常用的三角函数公式及其推导方法。
三角函数公式大全及推导过程三角函数是数学中重要的一类函数，用来描述角的性质和角度之间的关系。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，它们之间有很多重要的关系与性质。
下面我们就来总结一下三角函数的公式及推导过程。
一、正弦函数和余弦函数的基本关系：1.弧度和角度的关系：单位圆上的弧长与半径之比称为弧度。
一周的弧长为2π，对应的角度为360度。
因此有以下关系：360度=2π弧度2.余弦函数的定义：单位圆上，从x轴正向到P点的弧长与半径之比，称为角P的余弦。
记作cosP。
根据定义，cosP = x/r3.正弦函数和余弦函数的关系：在单位圆上的点P(x,y)，有以下关系：y=√(1-x²)（根据勾股定理）而x²+y²=1（根据单位圆的定义）整理得y=√(1-x²)所以，sinP = y/r = √(1 - x²)/r由cosP = x/r，得x² + (cosP)² = 1整理得x = √(1 - (sinP)²)所以，cosP = √(1 - (sinP)²)/r二、正弦函数和余弦函数的性质：1.值域和周期：sinP和cosP的值域都是[-1, 1]，周期都是2π。
2.平凡性质：sin(0) = 0, cos(0) = 1sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0sin(π) = 0, cos(π) = -1sin(3π/2) = -1, cos(3π/2) = 0三、正弦函数和余弦函数的和差公式：1.正弦函数的和差公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB2.余弦函数的和差公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：对于sin(A + B)，设角A和角B的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)。
三角函数公式大全及其推导方法1.基本关系：三角函数的定义是将角的信息转化为边长比值的函数。
主要有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)、余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)。
2.三角函数的和差公式：（1）正弦函数的和差公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)（2）余弦函数的和差公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)（3）正切函数的和差公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))（4）余切函数的和差公式：cot(a ± b) = (cot(a)cot(b) ∓ 1) / (cot(b) ± cot(a))3.三角函数的倍角公式：（1）正弦函数的倍角公式：sin(2a) = 2sin(a)cos(a)（2）余弦函数的倍角公式：cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 2cos^2(a) - 1 = 1 - 2sin^2(a)tan(2a) = 2tan(a) / (1 - tan^2(a))（4）余切函数的倍角公式：cot(2a) = (cot^2(a) - 1) / (2cot(a))4.三角函数的半角公式：（1）正弦函数的半角公式：sin(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / 2)（2）余弦函数的半角公式：cos(a/2) = ± √((1 + cos(a)) / 2)（3）正切函数的半角公式：tan(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))5.诱导公式：（1）正切函数的诱导公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))（2）余切函数的诱导公式：cot(a ± b) = (cot(a)cot(b) ∓ 1) / (cot(b) ± cot(a))6.三角函数的倒角公式：（1）正弦函数的倒角公式：sin(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / 2)cos(a/2) = ± √((1 + cos(a)) / 2)（3）正切函数的倒角公式：tan(a/2) = ± √((1 - cos(a)) / (1 + cos(a)))这些都是三角函数的重要公式。
三角函数诱导公式万能公式和差化积公式倍角公式等公式总结及其推导一、三角函数诱导公式1、万能公式a sin(A+B) = a sinAcosB + a cosAsinBa cos(A+B) = a cosAcosB - a sinAsinB2、差化积公式sinAcosB - cosAsinB = sin(A-B)cosAcosB + sinAsinB = cos(A-B)3、倍角公式sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos2A - sin2A = 2cos2A - 1 = 1 - 2sin2A4、和差公式sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinB二、推导1、万能公式推导过程设定A+B=C，则有：a sin(A + B)= a sinC左右两侧同时乘以cosB:a sin(A + B)cosB = a sinCcosB左右两侧同时乘以sinB:a sin(A + B)sinB = a sinCsinB将上式整合即可得：a sin(A + B)= a sinAcosB + a cosAsinB同理，可推导出：a cos(A + B) = a cosAcosB - a sinAsinB2、差化积公式推导过程设定A=B，则有：sinAcosB - cosAsinB = sinAcosA - cosAcosA 经过整合可得：sinAcosB - cosAsinB = sinA -cosA将A=B替换为A-B,即可得sinAcosB - cosAsinB = sin(A-B)同理：cosAcosB + sinAsinB = cosAcosA + sinAsinA 经过整合可得：cosAcosB +sinAsinB = cosA +sinA将A=B替换为A-B,即可得cosAcosB +sinAsinB = cos(A-B)3、倍角公式的推导过程由于A为任意角度，对其两侧两边可以分别进行乘以cosA及sinA，得到：sinAcosA + sinAcosA = cosA*sinA + cosA*sinA经过整合可得：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cosAcosA - sinAcosA经过整合可得：cos2A = 2cos2A - 1再把上式中的cos2A代入：2cos2A - 1 = 1 - 2sin2A4、和差公式推导过程设定A+B=C，则有：sin(A + B)= sinC将左右两侧分别乘以cosB及sinB：。
三角函数公式总结与推导1. ①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：αααβ{}Zk k ∈+⨯=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,180|ββ③终边在y 轴上的角的集合：{}Zk k ∈+⨯=,90180|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ⑥终边在轴上的角的集合：x y -={}Zk k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：αβαββα-=k 360⑧若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：αβαββα-+= 180360k ⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：αβαββα+=k 180⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：αβαβ90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ππ注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad ＝°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝≈0.01745（rad ）π180180π3、弧长公式：. 扇形面积公式：r l⋅=||α211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为ααr ，则 ； ； ； ； ；.ry =αsin rx =αcos xy =αtan yx =αcot xr =αsec .yr=αcsc 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）、、、、、、、、、、、、、、、1¡¢2¡¢3¡¢4表示第一、二、三、四象限一半所在区域的6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：三角函数定义域sin x=)(x f {}R x x ∈|cos x =)(x f {}R x x ∈|tan x =)(x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且cot x =)(x f {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且sec x =)(x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且csc x=)(x f {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin =αααcot sin cos =1cot tan =⋅αα1sin csc =α⋅α1cos sec =α⋅α 1cos sin 22=+αα1tan sec 22=-αα1cot csc 22=-αα9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组三x x k x x k xx k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππxx x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六x x x x xx x x cot )cot(tan)tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππx x x x xx x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππxx x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一sin x ·csc x =1tan x =x x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xxsin cos 1+tan 2x =sec 2xtan x ·cot x =11+cot 2x =csc 2x=1(3) 个 o<x<2,个sinx<x<tanx16. 个个个个个个:公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+αααcos sin 22sin = βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ααα2tan 1tan 22tan -= βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2cos 12sinαα-±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+2cos 12cosαα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-公式组三公式组四 公式组五2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=,,,.42675cos 15sin -== 42615cos 75sin +== 3275cot 15tan -== 3215cot 75tan +== 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：()ϕω+=x A y sin （A 、＞0）ω定义域RRR值域]1,1[+-]1,1[+-R R []A A ,-周期性 π2π2ππωπ2奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶,0≠ϕ当奇函数,0=ϕ()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且{}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且xy cot =x y tan =xy cos =xy sin =ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-单调性]22,22[ππππk k ++-上为增函数；]223,22[ππππk k ++上为减函数（）Z k ∈()]2,12[ππk k -；上为增函数()]12,2[ππ+k k 上为减函数（）Z k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2上为增函数（）Z k ∈上为减函()()ππ1,+k k 数（）Z k ∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--)(212),(22A k A k ωϕππωϕππ上为增函数；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-+)(232),(22A k A k ωϕππωϕππ上为减函数（）Z k ∈注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若x y sin -=x y sin =x y cos -=x y cos =在上递增（减），则在)(x f y =],[b a )(x f y -=],[b a ②与的周期是.x y sin =x y cos =π③或（）的周期.)sin(ϕω+=x y )cos(ϕω+=x y 0≠ωωπ2=T 的周期为2（，如图，翻折无效）.2tanx y =ππωπ2=⇒=T T ④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是)sin(ϕω+=x y 2ππ+=k x Z k ∈0,πk )cos(ϕω+=x y （），对称中心（）；的对称中心（）.πk x =Z k ∈0,21ππ+k )tan(ϕω+=x y 0,2πk xx y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当·；·.αtan ,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβααtan ,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα⑥与是同一函数,而是偶函数，则x y cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin )(ϕω+=x y )cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为x y tan =R x y tan =增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原)(x f 点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）)()(x f x f =-)()(x f x f -=-奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原x y tan =)31tan(π+=x y 点对称）奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）x ∈0)(x f 0)0(=f x ∉0⑨x y sin =不是周期函数；为周期函数（）x y sin =π=T 是周期函数（如图）；为周期函数（x y cos =x y cos ==T 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 212cos +=x y π.R k k x f x f y ∈+===),(5)(⑩ 有.abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22y b a ≥+2211、三角函数图象的作法：１）、几何法：２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.３）、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期，频率，相位初相（即当x ＝02||T πω=1||2f T ωπ==;x ωϕ+ϕ时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x)1||ω由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。
三角公式及推导（祥尽解释）1-----诱导公式：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－co sαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈z)诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式sin2A=2sinA•cosAcos2A=cosA;方-sinA方;A=1-2sin²A=2cos²A-1 tan2A=（2tanA）÷（1-tan^2A）三倍角公式sin3α=4sinα²sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα²cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a ²tan(π/3+a)²tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ= -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)A²sin(ωt+θ)+ B²sin(ωt+φ) =√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} •sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)[编辑本段]内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
三角函数公式及推导公式三角函数是数学中的重要概念之一，它们在几何学、物理学、工程学和数学分析等领域中被广泛应用。
本文将介绍常见的三角函数公式及其推导。
一、正弦函数（sin）1.定义正弦函数表示的是一个角的对边与斜边的比值，通常用sin来表示。
2.常见公式（1）和差公式：sin(A ± B) = sin A · cos B ± cos A · sin B（2）倍角公式：sin 2A = 2 · sin A · cos A（3）半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]二、余弦函数（cos）1.定义余弦函数表示的是一个角的邻边与斜边的比值，通常用cos来表示。
2.常见公式（1）和差公式：cos(A ± B) = cos A · cos B ∓ sin A · sin B（2）倍角公式：cos 2A = cos² A - sin² A = 2 · cos² A - 1 = 1 - 2 · sin² A （3）半角公式：cos(A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]三、正切函数（tan）1.定义正切函数表示的是一个角的对边与邻边的比值，通常用tan来表示。
2.常见公式（1）和差公式：tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A · tan B)（2）倍角公式：tan 2A = (2 · tan A) / (1 - tan² A)（3）半角公式：tan(A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]四、余切函数（cot）1.定义余切函数表示的是一个角的邻边与对边的比值，通常用cot来表示。
三角函数公式总结与推导1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0.01745（rad ）3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 ry =αsin ； rx =αcos ； xy =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. yr =αcsc .5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割正弦、余割SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.7. 三角函数的定义域：8、同角三角函数的基本关系式：αααtan cos sin =αααc o t s i n c o s=1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1c o s s e c=α⋅α 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα9、诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组二 公式组三x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x x x x xx x x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s in )s i n (-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x x x x c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ x x x x xx x x c o t )c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n 22s i n =公式组一sin x ·csc x =1tan x =xx cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xx sin cos 1+tan 2x =sec 2xtan x ·cot x =11+cot 2x =csc 2x=1(3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx16. 几个重要结论:βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2t a n 1t a n 22t a n-=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2c o s12s i n αα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）. ②x y sin =与x y cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .2tan xy =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)c o s (ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)t a n (ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则)cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（=T 212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 11、三角函数图象的作法： １）、几何法：２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的振幅|A|，周期2||T πω=，频率1||2f T ωπ==，相位;x ωϕ+初相ϕ（即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象，叫做周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x 轴方向的平移．(用x ＋φ替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象叫做沿y 轴方向的平移．（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数： 函数y ＝sin x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22ππ，x 的反函数叫做反正弦函数，记作y ＝arcsin x ，它的定义域是［－1，1］，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡22ππ，－．函数y ＝cos x ，（x ∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y ＝arccos x ，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．函数y ＝tan x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，x 的反函数叫做反正切函数，记作y ＝arctan x ，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是⎪⎭⎫⎝⎛-22ππ，．函数y ＝ctg x ，［x ∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y ＝arcctg x ，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．y=|cos2x +1/2|图象II. 竞赛知识要点一、反三角函数.1. 反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数，故x x arcsin )arcsin(-=-，[]1,1-∈x （一定要注明定义域，若()+∞∞-∈,x ，没有x 与y 一一对应，故x y sin =无反函数）注：x x =)sin(arcsin ，[]1,1-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2arcsin ππx .⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶，但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-，[]1,1-∈x . 注：①x x =)cos(arccos ，[]1,1-∈x ，[]π,0arccos ∈x .②x y cos =是偶函数，x y arccos =非奇非偶，而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ⑶反正切函数：x y arctan =，定义域),(+∞-∞，值域（2,2ππ-），x y a r c t a n =是奇函数，x x arctan )arctan(-=-，∈x ),(+∞-∞.注：x x =)tan(arctan ，∈x ),(+∞-∞.⑷反余切函数：x arc y cot =，定义域),(+∞-∞，值域（2,2ππ-），x a r c y c o t =是非奇非偶.ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-，∈x ),(+∞-∞.注：①x x arc =)cot cot(，∈x ),(+∞-∞.②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数，x y arctan =同理为奇而x y arccos =与x arc y cot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ.⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集①a x =sin 的解集 ②a x =c o s的解集 a＞1 ∅ a＞1 ∅a=1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a=1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|πa＜1 (){}Z k a k x x k ∈-+=,arcsin 1|πa＜1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =c o t 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,o t a r c |π 二、三角恒等式.组一组二∏===nk nn nk12sin2sin 2cos8cos4cos2cos2cos ααααααα∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )cos())1sin(()cos()cos(cos )cos(∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )sin())1sin(()sin()sin(sin )sin(ααααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()αββαβαβα2222cos cos sin sin sin sin -=-+=-ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 11++=n n nαγγββαγβαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=++组三 三角函数不等式x sin ＜x ＜)2,0(,tan π∈x x xxx f sin )(=在),0(π上是减函数 若π=++C B A ，则C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++。
