三种高程异常拟合模型比较

GPS 高程拟合方法分析GPS 高程拟合方法分析摘要：介绍了GPS高程测量相关的一些问题，包括大地水准面与正高、似大地水准面与正常高、参考椭球面与大地高的概念，GPS高程测量的原理，研究了应用中经常用到的高程拟合方法，等值线图示法、多项式曲线拟合法、三次样条曲线拟合法，并对各种方法进行了分析。

关键词：GPS高程；高程精度；高程拟合1 GPS 高程测量的根本原理1.1 高程系统概述在测量中常用的高程系统有大地高系统、正高系统和正常高系统。

大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程系统。

某点的大地高是该点到通过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离。

大地高也称为椭球高，大地高一般用符号H表示。

正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统。

某点的正高是该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离，正高用符号Hg表示。

正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统。

某点的正常高是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离，正常高用Hy表示。

大地水准面到参考椭球面的距离，称为大地水准面差距，记为hg大地高与正高之间的关系可以表示为：H=Hg+hg。

1-1似大地水准面到参考椭球面的距离，称为高程异常，记为ζ。

大地高与正常高之间的关系可以表示为：H=Hy +ζ。

1-21.2 GPS 高程拟合根本原理在一定的区域中，当测区中有一局部点已用GPS定位技术求得其大地高及用常规水准测量的方法求得其正常高，那么可计算出这些已测点的高程异常。

假设测区中已测点的数量足够多且分布较为均匀，就可根据测区内这些已测点上的高程异常值构造某种曲面来逼近似大地水准面，进而推算出测区中未进行水准联测的GPS点的高程异常，再反求出这些未测点的正常高，此即“几何法〞GPS水准，其主要方法有：等值线图示法、平面拟合法、多项式曲面拟合法、三次样条曲线拟合法和移动法等。

2 GPS高程拟合方法分析2.1 等值线图示法等值线图示法是最直接的求算高程异常的方法。

利用水准点进行GPS高程拟合几种算法及精度分析摘要:利用已知水准点高程，进行GPS大地高向正常高转换，其精度受似大地水准面、已知点高程和GPS网点的大地高三种误差的影响关键词:GPS高程拟合；计算方法；拟合精度。

Abstract: The use of known standard point elevation for GPS Height Conversion to normal, its accuracy is affected by geoid, elevation and GPS networks known point of the earth-and high-impact errorsKeywords: GPS Elevation Fitting; calculation method; fitting accuracy.一、水准高程与GPS程在水准测量中采用的正常高h是地面点沿铅垂线到似大地水准面的高度，即以不规则的有起伏的重力等位面为基准面，具有严格的物理意义，正常高可由水准测量结合重力测量得出；而GPS所测量的高程是沿法线方向到WGS84椭球面的高度H（大地高），即以简单的数学曲面为基准面，具有明确的几何意义但缺乏物理意义。

这两种基准面是不一致的，它们之间的差值称为高程异常，其关系式为：ξ=H一h式中:ξ—高程异常，表示似大地水准面参考椭球面的距离;H—大地高;h—正常高。

采用静态方法进行GPS测量后，由GPS三维平差可得到施测点的大地高，同时在所施测GPS控制网中联测部分水准点，则这些点的大地高H、正常高h 是已知的，即可求得这些点的高程异常。

在一定范围内可以认为高程异常变化平缓，但在此范围内高程异常不为常数，因此可以使用一些数学函数来进行拟合，求得能反映GPS网控制范围中高程异常变化的函数，然后通过内插求得GPS网点中个点的高程异常，从而得到控制点的拟合水准高程。

研究GPS高程拟合的意义如下：①通过GPS控制点的大地高通过拟合精确求定正常高；②求定高精度的似大地水准面；③求定不同位置的准确高程异常值。

在GPS高程转换中五种高程拟合方法的研究探讨在GPS高程转换中五种高程拟合方法的研究探讨摘要：本文正是围绕高程异常的求解问题展开研究。

分别用平面、二次曲面、BP神经网络以及“BP神经网络+方格网”拟合研究区域的似大地水准面，分析各种方法的拟合结果，关键词：高程异常；BP神经网络；似大地水准面；方格网中图分类号：TN711 文献标识码：A 文章编号：伴随着GPS定位技术的普遍应用，似大地水准面的精化问题迫切需要解决，似大地水准面精化的实质就是高程异常的求解。

本文正是围绕高程异常的求解问题展开研究，分别用平面、二次曲面、BP神经网络以及“BP神经网络+方格网”拟合研究区域的似大地水准面，分析各种方法的拟合结果。

试验数据是C级GPS网水准联测点171个，采用三等水准测量。

区域面积约100，000km2，这些点分布整个省属于平原地区，网中有171个GPS水准点，点的分布情况如图1所示图1 C级GPS网水准联测点分布位置图1 平面拟合法平面拟合法公式：(1.1)平面拟合法的残差都比较大，图中显示点的拟合残差大部分都远离零轴。

图1-1 检核点拟合残差2 二次曲面拟合法二次曲面拟合法公式：(2.1)二次曲面拟合效果明显优于平面拟合，表明二次曲面更能够表示研究区域的似大地水准面特征，但还是无法具体表征。

图2-1检核点拟合残差3 BP神经网络拟合法用BP神经网络方法拟合似大地水准面，从图3-1显示BP神经网络的拟合效果明显优于函数拟合法的拟合效果,突出了BP神经网络处理非线性问题的能力。

图3-1检核点的拟合结果4“BP神经网络+方格网”方法1）基于方格网的似大地水准面模型的建立方格网方法的本质就是将大区域进行分割，这样就能够在分割后的小区域里进行高程异常的内插。

基于格网的似大地水准面模型建立的步骤如下：（1）借助程序，将一个给定的区域按某一个固定的间距分割成网格，并计算出每个方格网点在所给定区域中的坐标。

（2）将区域中的已知GPS水准高程点分成两部分：学习样本和检验样本。

GPS高程拟合方法3.1等值线图示法等值线图示法是最直接的求算高程异常的方法。

这种方法的核心思想就是内插的思想，绘制高程异常的等值线图，然后采用内插法来确定未知点的高程异常值。

具体操作十分的简单，在测区内制定分布均匀的GPS点，用水准测量的方法来测定这些点的水准高，根据公式ζ=H-Hr求出这些点的高程异常，选择适当的比例尺按照已知点的平面坐标展会在图纸内，对已知点标注出高程异常值，再确定等高距，绘制出高程异常值的等值线图。

之后就可以内插出待测点的高程异常值，进而求出待测点的正常高。

这种方法只适用地形相对平坦的地方，在此种测区内采用这种方法拟合的高程精度可达到厘米级。

测区的地形相对复杂内插出的高程异常值就不准确，而且这种内插法的精度往往取决于两个方面，分别是测区内GPS点的分布密度和已知点大地高的精确度。

首先GPS点的分布比较密集，那么内插精度就相对较高，如果比较稀疏这时候就要借助于此测区的重力测量资料，提高内插精度。

且还要注意GPS点间高程异常的非线性变化。

另外就是水准点的精度，联测时尽量选取高精度的正常高，尽可能使得出的高程异常值准确，进而才能内插出待测点高精度的高程异常值。

这种方法虽然简单易操作，但是有其弱点，就是精度不高，只有当对拟合精度要求不高的时候才使用此种方法(注：等值线法不需构造数学模型)。

3.2狭长带状区域线性拟合解析内插法作为拟合高程最常用的方法，主要思想是把似大地水准面用数学曲面近似拟合，建立所在测区内最为接近似大地水准面的数学模型，以此来计算测区内任意点的高程异常值，从而计算出正常高。

这种方法计算出的高程异常值的精度是由所采用的数学模型和似大地水准面的拟合程度所决定的。

解析内插法在选择数学模型时，首先要考虑的就是GPS点的分布情况。

GPS 点的分布情况可分为带状分布和面状分布。

若GPS点是呈线状布设，而且是以沿线似大地水准面为一条连续且光滑的曲线，这时就可以采用相对于狭长带状区域的解析内插法来内插出待定点的高程异常值，从而求出待定点的正常高。

多项式曲面高程拟合方法探讨作者：吴扬扬来源：《名城绘》2019年第02期摘要：本文主要介绍了多项式曲面法的基本原理，然后分别采用一次、二次、三次多项式曲面法对具体区域的高程数据进行计算，通过对高程拟合的精度进行对比和分析，总结多项式曲面高程拟合方法的应用特点。

关键词：多项式曲面；高程拟合；精度GPS高程拟合是大地水准面精化的主要内容，是大地测量学研究的基本内容。

GPS高程拟合涉及到三类高程系统，分别为正高系统、正常高系统和大地高系统。

正高是以大地准面为基准的高程，正常高是以似大地水准面为基准的高程，大地高是以参考椭球面为基准的高程[1]。

我国通常采用正常高系统。

正常高和大地高之间的差距叫做高程异常。

大地高H、正常高h和高程异常之间的关系为：H=h+ε（1）本文主要结合具体算例，分别采用一次、二次、三次多项式曲面法进行高程拟合，总结多项式曲面拟合方法的特点。

1 多项式曲面拟合法多项式曲面拟合的数学模型为：（2）式中εi为i点的高程异常值，其坐标为（），（）為模型参数。

式（2）对应的误差方程为：（3）其中为已知联测点i的高程异常值。

如果有n个已知点，那么m次多项式可以改写成矩阵形式：（4）其中m，n需满足条件，令，在式（3.12）中，，，，根据最小二乘原理可得：（5）根据式（5）求出模型参数后即可确定模型式（2），然后根据式（2）即可求出待求点的高程异常。

有时实际计算中为了保证计算的稳定性，我们采用区域中心点的坐标（x0，y0）作为原点，用坐标差来代替原始坐标参与计算，即将模型表示成（△xi，△yi）的函数，其中，。

常用的多项式曲面拟合方法有一次曲面拟合（平面拟合）、二次曲面拟合、三次曲面拟合。

2 算例分析某区域大约50km2，该区域联测了21个控制点，其正常高和大地高都是通过观测计算获得的，那么该区域的高程异常数据可以通过计算获得。

采用多项式曲面拟合法（一次，二次，三次）拟合该区域的控制点，针对区域内的9个点，10个点，11个点，12个点，13个点作为参加拟合的已知的控制点，其余的点作为检核点，计算各自的内符合精度和外符合精度，因为三次曲面模型的必要条件是10个点，所以三次曲面模型不参与9个点和10个点的拟合，如表1，表2，表3，表4，表5所示。

文章编号:049420911(2003)0820021202中图分类号:P228.4 文献标识码:BGPS 高程异常拟合精度的估算方法张兴福1,沈云中1,周全基2(1.同济大学,上海200092;2.铁道部第三勘察设计院,天津300251)The Estimate Method of the Accuracy Of GPS H eight Abnormity InterpolationZHAN G Xing 2fu ,SHEN Yun 2zhong ,ZHOU Quan 2ji摘要:利用GPS 大地高和部分水准高程进行高程拟合时,高程异常拟合精度的合理评定在实际工作中很有意义。

给出高程异常拟合精度的估算公式并分析影响高程异常拟合精度的误差来源,利用京沪高速铁路的GPS 实测数据进行验算,取得比较满意的结果。

关键词:GPS 水准;高程异常拟合;精度估算 收稿日期:2002212205作者简介:张兴福(19772),男,山东临沂人,研究生,主要从事物理大地测量、GPS 应用开发方面的研究。

一、引　言GPS 水准代替四等以下水准测量在实际工作中已经得到了广泛应用。

其方法是利用GPS 测得的大地高和水准测得的正常高求得高程异常,由于高程异常变化比较平缓,可以用一些初等函数(如:平面,二次曲面等)进行拟合从而求得未知点的高程异常,进而求得各未知点的正常高,有关这方面的文章已发表很多[1～3]。

但拟合高程异常的精度没有一个评价标准,只凭经验检测最弱点或最弱高差段来进行检核,这种检核方法既不能检核所有拟合点的精度状况,又不能保证检核的确实是最弱点。

为此,本文探讨了GPS 高程异常拟合的精度估算方法,以给出所有拟合点的精度指标,这对高程拟合结果的使用具有重要意义,同时对选择最弱点进行检核具有指导作用。

二、GPS 高程异常拟合的精度估算方法和数学模型 由于GPS 测得的大地高差的精度很高,给定GPS 网的起始大地高就可求出各GPS 点相对起始点精确的大地高。

GPS高程拟合方法及精度分析
GPS全球卫星定位系统（Global Positioning System）是一种全球性的导航系统，它可以利用卫星进行高精度的位置定位。

然而，GPS定位的高程精度受到多种因素的影响，
包括GPS接收机本身、信号传输路径等，因此需要对GPS高程进行拟合处理以提高其精
度。

GPS高程拟合方法主要包括差值法、插值法和回归分析法三种。

差值法是根据GPS测量到的位置信息和地面标高测量值之差，通过差值运算来得到GPS高程测量值。

差值法具有计算简单、速度快的特点，但局限性较大，不能解决在GPS
定位时所遇到的某些问题，例如多径效应等。

插值法需要用周围已知高程数据进行插值计算，以得出该位置的高程。

插值法的精度
与区域内高程数据的分布稠密程度有关，一般来说，在数据较为密集的情况下，插值法的
精度较高，反之则不佳。

回归分析法将GPS测量到的位置信息与实测标高之间的相关性进行线性拟合，由此推
导出每个位置的GPS高程测量值。

回归分析法的精度受到模型的影响，模型的构建需要考
虑影响因素的相互作用和相关度。

实际应用中，GPS高程拟合方法的选择需要结合实际情况进行决策。

在拟合方法上，
一般建议采用回归分析法，因为它可以分析其他影响因素，并将其纳入模型中，从而提高
精度。

在应用上，需要结合当地的天气、地形和信号传输情况等因素进行多次测量和比对，以提高GPS高程的精度。

总体而言，在选择GPS高程拟合方法时，应考虑实际需求和精度要求，从而选择适合
自己的方法。

此外，对GPS高程的整体监测和维护也是提高其精度的重要措施。

几种不同GPS高程拟合方案的比较陈智尧;胡文礼【摘要】在GPS高程测量中，通过应用多面函数与二元多项式拟合模型的对比，说明仅用内、外符合精度来评估拟合高程的精度，仍存在一定的风险。

结合实例指出，GPS水准点在项目区分布的重要性及应注意的事项。

【期刊名称】《地理空间信息》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】3页(P87-88,92)【关键词】多面函数;二元多项式;GPS水准【作者】陈智尧;胡文礼【作者单位】湖北省测绘成果档案馆，湖北武汉 430071;中南勘察设计院湖北有限责任公司，湖北武汉 430071【正文语种】中文【中图分类】P216在精度允许的情况下，GPS高程测量因其省时省工已广泛应用于工程测绘项目中，替代传统的水准测量、三角高程测量解决高程控制问题。

特别是在一些利用传统水准测量传递高程困难地区，如山地、湖泊河流阻隔区域都不利于水准测量，起算控制点稀少或偏离项目区域不利于高程的传递。

在精度评估方面，通常由残差的极值与残差计算出的中误差2项来评估拟合模型的精度。

残差＝已知值－拟合值式中，n为残差的个数。

已知值由经过水准联测的GPS点求得。

这些具有水准高程的GPS点又称为GPS 水准点。

GPS水准点在拟合计算中，一部分作为拟合使用称之为控制点，另一部分作为外部检测称之为检测点。

由控制点计算的精度评估值称之为内符合精度，由检测点计算的评估值称之为外符合精度。

2.1 基本原理GPS高程主要是解决GPS测量中的高程异常（ζ）的问题。

我国采用的是正常高（h）系统，GPS测量中能直接获得的是大地高（H），3者之间的关系为：当前解决高程异常最常见的方法是重力法与GPS水准法。

重力法在精度上虽低于GPS水准法，但在山区及水准测量传递困难地区仍然是首选。

本文主要讨论GPS 水准法。

GPS水准法是在项目区内测定一定数量的GPS水准点，根据水准点上的高程异常值，选择一个曲面拟合模型，建立GPS点坐标值与高程异常值之间的关系，再求出其他GPS点上的正常高。

EGM2008重力场模％&高常+合中的柯生学（中国电建集团西北勘测设计研究院有限公司，陕西西安710100）摘要由于我国使用的高程系统与GPS的高程系统不一致，因此计算高程异常实现两者的转化尤为关键。

传统的高程异常拟合模型仅在数据规律方面展开研究,拟合精度往往不尽人意;将高程异常分为几个部分,使用移去-恢复法与EGM2008重力场模型结合去除重力部分,将剩余部分进行拟合，可以有效地提高拟合精度。

本文使用多项式拟合、最小二乘配置、半参数三种模型结合移去-恢复进行计算，计算证明，使用半参数模型的移去-恢复技术精度较高,更适合区域高程异常拟合。

关键词EGM2008重力场模型;高程异常;半参数模型;移去-恢复国土三调;技术路线统一;全过程质量监督中图分类号P224文献标识码A文章编号2095-7319（2020）02-0051-060.引言传统水准测量精度高，可靠性强,但往往耗费大量人力物力，测量速度慢,且受天气气候约束GNSS 测量能在布网控制点上获得正高，但我国使用的是正常高系统（基于似大地水准面）,为使测量结果能直接使用,必须计算高程异常值阿。

高程异常拟合需要获得测区一定数量的控制点坐标、大地高、正常高,若使用重力场模型还需要获得对应重力场模型计算的项，区域高程、高程异常值合区域的拟合模型卩呵。

传统高程异常拟合模型受数学模型的特点，难以达到较高精度吐吗。

EGM2008重力场模型为美国布一重力场模型，可以精计算定点重力高程异常，#常数模型结合，可以极大高高程异常拟合精［14*151o 以区GNSS准数为，拟合、拟合、数模型结合#区域高程异常拟合模型［16*171o #•高程异常拟合的理论与方法高程异常拟合，要用以拟合、、半参数模型。

1.1多项式拟合法拟合是一拟合系数数量控制模型一数模型，拟合系数，模型就是拟合模型。

拟数，模型，需要算点o—数。

拟合参数多多，为拟合数模型，拟合精o拟合模型可用式（1）:V:（1）f（&,厶）=（0+（"&+（厶+（3&#+（4$#+（5&厶+.....；!为高程异常；"为"为拟合参数；B,厶为大地度。

两种GPS高程拟合方法的对比与探讨【摘要】GPS技术已日趋成熟，而GPS高程拟合对传统高程拟合方法提出了挑战。

不同的GPS高程拟合方法对于提高城市控制网精度也有所不同，本文着重通过对多项式曲线拟合与样条曲线拟合这两种方法的对比来阐释GPS高程拟合相对于传统测量的必要性。

【关键词】GPS高程拟合，多项式曲线拟合法，样条曲线拟合法0.引言众所周知，高程测量是工程测量中一项重要的测量数据。

目前，高程的测量方法主要有以下四种：几何水准测量、三角高程测量、重力高程测量、GPS高程测量。

几何水准测量和三角高程测量是传统的高程测量方法，目前仍然是建立高程控制的主要方法，并且得到的高程数据也有可靠的保证。

但是，这两种方法都有一定的局限性，而且工作地点、时间等，都会受到较大的外界条件的影响。

还有一点，就是这种传统的测量方法，费时费力。

重力高程测量需要足够的重力测量数据。

重力高程测量可以直接测量出高程异常，可以直接将测得的高程异常值用于高程拟合的计算中。

但是，重力高程测量的数据获取过程比较麻烦，而且很难普及，不是一种经济适用的方法，还有待进一步提高。

就在这样的情况下由于GPS技术的发展，GPS高程测量及其拟合方法的出现大大提高了测量高程数据的精度和准确度。

1.三种高程系统及其关系1.1大地高系统以参考椭球面为高程基准面的高程系统，称为大地高系统。

这个系统的高程，是地面点沿法线方向到参考椭球面的距离，称为大地高，通常用表示。

大地高系统只有几何意义，不具有物理意义，同一个点在不同的参考椭球下，具有不同的大地高，这个系统的高差，是两地面点大地高之差，称为大地高高差。

大地高可由GPS技术直接测定，也可由几何和物理大地测量相结合的方法来测定。

1.2正高系统大地测量学所研究的是在整体上非常接近于地球自然表面的水准面，设想与平均海水面相重合，不受潮汐、风浪及大气压变化的影响，并延伸到大陆下面与铅垂线相垂直的水准面称为大地水准面，它是一个没有褶皱、无菱角的连续封闭曲面。

几种常用高程插值方法的比较数学模型【最新版3篇】目录（篇1）1.引言2.常用高程插值方法介绍2.1 反距离权重法2.2 普通克里金插值法2.3 普通最小二乘法2.4 残差最小二乘法2.5 线性回归法2.6 多项式回归法3.各方法的优缺点比较4.结论正文（篇1）高程插值是在地理信息系统 (GIS) 和遥感技术中常用的数据处理方法，目的是根据已知的高程点数据，估算出其他地点的高程值。

高程插值的方法有很多种，下面将对几种常用的高程插值方法进行介绍和比较。

2.1 反距离权重法反距离权重法是一种基于距离的插值方法，其基本思想是根据距离衰减权重，对各个高程点进行加权平均。

该方法的优点是简单易行，计算速度快，但是缺点是插值结果受距离衰减系数的选择影响较大，且不能很好地处理数据中的噪声。

2.2 普通克里金插值法普通克里金插值法是一种基于网格的插值方法，其基本思想是利用周围的已知高程点，通过插值函数估算待求点的高程值。

该方法的优点是插值精度高，能够很好地处理数据中的噪声，但是缺点是计算量较大，需要进行多次迭代计算。

2.3 普通最小二乘法普通最小二乘法是一种基于最小二乘原理的插值方法，其基本思想是通过最小化误差的平方和来估算待求点的高程值。

该方法的优点是简单易行，插值精度较高，但是缺点是需要选择合适的基函数，且计算量较大。

2.4 残差最小二乘法残差最小二乘法是一种改进的普通最小二乘法，其基本思想是将待求点的残差作为基函数，通过最小化残差的平方和来估算待求点的高程值。

该方法的优点是插值精度更高，能够更好地处理数据中的噪声，但是缺点是计算量较大，需要进行多次迭代计算。

2.5 线性回归法线性回归法是一种基于线性回归模型的插值方法，其基本思想是通过线性回归模型估算待求点的高程值。

该方法的优点是简单易行，计算速度快，但是缺点是插值精度较低，不能很好地处理非线性关系。

2.6 多项式回归法多项式回归法是一种基于多项式回归模型的插值方法，其基本思想是通过多项式回归模型估算待求点的高程值。