(江苏专用)2019届高考数学总复习 考前三个月 解答题滚动练5 理

“锁定70分”专项练31．(2019·天津改编)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B 等于________． 答案 {1,4}解析 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．2．设z 是纯虚数，若1－i z ＋2是实数，则z ＝________. 答案 －2i解析 设z ＝b i(b ≠0)，1－i z ＋2＝1－ib i ＋2＝(2－b )－(2＋b )i 4＋b 2∈R ， ∴2＋b ＝0，b ＝－2，∴z ＝－2i.3．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题， 则实数a 的取值范围是______________．答案 {a |a ≤－2或a ＝1}解析 p 为真，则x 2≥a ，所以a ≤1；q 为真，则Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，解得，a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”为真命题，则a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.4．由a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项是________． 答案 1100解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1得， a 2＝13＋1＝14，a 3＝143×14＋1＝17， a 4＝173×17＋1＝110，a 5＝1103×110＋1＝113， a 6＝1133×113＋1＝116，…，各项分子为1，分母构成等差数列{b n }，首项b 1＝1，公差为d ＝3， 所以b 34＝b 1＋(34－1)d ＝1＋33×3＝100.5．(2019·课标全国甲改编)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．答案 5解析 由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数取得的最大值为5.6．给出以下四个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．答案 ③7．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为________．答案 20解析 设正五棱锥高为h ，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为tan 54°，h ＝12tan 54°，则此正五棱锥体积为13×5×12×2×tan 54°×12tan 54°＝20. 8．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{0,1,2，…，9}．若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________．答案 725解析 共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a －b |≤1的有：当a ＝0时，b ＝0,1；当a ＝1时，b ＝0,1,2；当a ＝2时，b ＝1,2,3；当a ＝3时，b ＝2,3,4；当a ＝4时，b ＝3,4,5；当a ＝5时，b ＝4,5,6；当a ＝6时，b ＝5,6,7；当a ＝7时，b ＝6,7,8；当a ＝8时，b ＝7,8,9；当a ＝9时，b ＝8,9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为P ＝28100＝725. 9．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是________．答案 (0，12) 解析 由题意，得f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x(x >0)， 又当x ∈(0，12)时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，12)． 10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案 53解析 由双曲线的定义知PF 1－PF 2＝2a ，①又PF 1＝4PF 2，②联立①②解得PF 1＝83a ，PF 2＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，当cos ∠F 1PF 2＝－1时，解得e ＝53(e ＝－53不合题意，舍去)，即e 的最大值为53. 11．(1－12x )(1＋2x )5展开式中x 2的系数为________． 答案 60解析 因为(1＋2x )5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·2r ·x r 2， 所以(1－12x )(1＋2x )5展开式中x 2的系数为 1×C 45×24－12×C 25×22＝60. 12．曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为__________．答案 x －y －2＝0解析 y ′＝3x 2－2，y ′|x ＝1＝1，所以切线方程为x －y －2＝0.13．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是______．答案 13解析 由程序框图知：第一次循环S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；第二次循环S ＝1－31＋3＝－12，i ＝3；第三次循环S ＝1－121＋12＝13，i ＝4；第四次循环S ＝1＋131－13＝2，i ＝5；第五次循环S ＝1＋21－2＝－3，i ＝6；…S 值的周期为4，∵跳出循环体的i 值为2 106，∴共循环了2 015次，∴输出的S ＝13. 14．已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XA →·XB →的最小值是________．答案 －8解析 直线OP 方程为y ＝12x ， 设点X 坐标为(m ，12m )， 则XA →＝(1－m,7－12m )，XB →＝(5－m,1－12m )， 所以XA →·XB →＝(1－m )(5－m )＋(7－12m )(1－12m ) ＝54m 2－10m ＋12＝54(m －4)2－8，当m ＝4时，XA →·XB →有最小值为－8.。

第5讲三个“二次〞的问题1.一元二次不等式-2x2-x+6≥0的解集为.2.函数f(x)=2sin在[0,π]上的减区间为.3.y=f(x)是R上的奇函数,且x>0时,f(x)=1,那么不等式f(x2-x)<f(0)的解集为.4.向量a,b知足|a|=2,|b|=3,且b⊥(a+b),那么向量a,b的夹角为.5.函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们图象有一个横坐标为的交点,那么φ的值是.6.角α的终边过点(sinθ,cosθ),0<θ<,假定tan=2,那么tanα=.7.如图,在△ABC中,AB=AC=,cos∠BAC=,=2,那么·的值为.8.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,a,b是方程x2-2c=.x+3=0的两个根,且2sin(A+B)-=0,那么9.假定不等式ax2+5x-2>0的解集是.(1)务实数a的值;(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.答案精解精析答案-,分析不等式-2x2-x+6≥0化为2x2+x-6≤0,即(2x-)(x+)≤0,解得-≤x≤,因此原不等式的解集为-,.2.答案,分析由2kπ+≤x+≤kπ+,k∈Z得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,又x∈[0,π],故k=0,故f(x)在[0,π]上的减区间是,.3.答案(0,1)分析由于y=f(x)是R上的奇函数,因此f(0)=0,且x>0时,f(x)=1,那么x<0时,f(x)=-1,不等式f(x2-x)<f(0)=0?x2-x<0?0<x<1,故原不等式的解集为(0,1).答案π分析由题意知b·(a+b)=a·b+|b|2=0,那么a·b=-|b|2=-6,那么cos<a,b>=·=-1.又<a,b>∈[0,π],因此<a,b>=π.||||5.答案6分析由题意知图象的一个交点的坐标是,,那么sin=,又0≤φ<π,因此+φ=6,那么φ=6.6.答案3由tan a分析=-a =2,得tanθ=.又0<θ<,那么sinθ=,cosθ=.0 0由题意得tanα=cos s=3. 答案-2分析·=3,=+=+(-)=+,那么·=·(-)=-×9+×9+×=-2.答案分析由a,b是方程x2-2 x+3=0的两个根,得a+b=2 ,ab=3,由2sin(A+B)-=0,得sin(A+B)=sinC=.又△ABC是锐角三角形,故C=,那么c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=12-9=3,那么c=.分析(1)由题意知a<0,且方程ax2+5x-2=0的两个根为,2,因此×=-,解得a=-2.(2)由(1)知原不等式为-2x2-5x+3>0即2x2+5x-3<0,解得-3<x<,即不等式ax2-5x+a2-1>0的解集为-, .。

滚动训练(五)一、填空题1.函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________. 考点 导数在函数中的运用 题点 求函数单调区间 答案 (0，＋∞)解析 ∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1，由f ′(x )>0，得e x －1>0，即x >0. 2.函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是______.考点 导数在函数中的运用 题点 求函数最小值 答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，x ∈[0,2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，可知最小值为－173.3.椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为__________________. 考点 椭圆的几何性质 题点 求椭圆的方程 答案 x 216＋y 212＝1解析 设c a ＝12，∴a 2＋b 2a ＝12， ∴1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝14，∴⎝⎛⎭⎫b a 2＝34， ∴b a ＝32，∴a ＝4.∴x 216＋y 212＝1. 4.已知双曲线x 22－y 2b＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝________. 考点 双曲线的几何性质 题点 双曲线的几何性质的应用 答案 0解析 ∵y ＝x 为渐近线方程，则b ＝2， 即双曲线方程为x 2－y 2＝2. 当x ＝3时，y 20＝1. 又双曲线的半焦距为2， ∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0) ＝－1＋y 20＝－1＋1＝0.5.若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围为________. 考点 导数在函数中的运用 题点 由函数单调性求参数范围 答案 ⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 解析 ∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.6.给出下列三个命题：①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件. 其中正确命题的序号为________.考点 充分条件、必要条件、充要条件的判断 题点 充分条件、必要条件、充要条件的判断 答案 ③解析 ∵函数y ＝3x 为单调增函数，∴“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充要条件，故①错误；∵y ＝cos x 是周期函数，故②错误；当a ＝0时，f (x )＝x 3＋ax 2＝x 3是奇函数，反之，当f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数时，由f (x )＋f (－x )＝0，得a ＝0，故③正确.7.椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba ＝________. 考点 直线与椭圆 题点 求椭圆中的参数 答案233解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)， by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1，b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1， ∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233. 8.从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________ cm 3. 考点 导数在函数中的运用 题点 导数的实际应用 答案 144解析 设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm. 则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)， ∴y ′＝12x 2－104x ＋160. 令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3).9.已知R 上的可导函数f (x )的导函数f ′(x )满足：f ′(x )＋f (x )>0，且f (1)＝1，则不等式f (x )>1e x －1的解是________.考点 导数在函数中的运用 题点 函数单调性解不等式答案 (1，＋∞)解析 令g (x )＝e x f (x )，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )>0，所以函数g (x )是R 上的增函数，又不等式f (x )>1e x －1等价于e x f (x )>e ＝e 1f (1)，即g (x )>g (1)，从而有x >1，所以不等式f (x )>1e x －1的解集为(1，＋∞).10.曲线y ＝－1x (x <0)与曲线y ＝ln x 公切线(切线相同)的条数为________.考点 导数的几何意义 题点 函数图象切线问题 答案 1解析 设公切线l 与曲线y ＝－1x 切于点A ⎝⎛⎭⎫x 1，－1x 1 (x 1<0)，与曲线y ＝ln x 切于点B (x 2，ln x 2)， 因为⎝⎛⎭⎫－1x ′＝1x 2，(ln x )′＝1x， 所以曲线y ＝－1x 在点A 处的切线为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，即y ＝x x 21－2x 1；曲线y ＝ln x 在点B 处的切线为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝xx 2－1＋ln x 2，从而有⎩⎨⎧1x 21＝1x 2，－2x 1＝－1＋ln x 2，(*)消去x 1，得ln x 2－1－2x 2＝0， 令f (x )＝ln x －1－2x， 则f ′(x )＝1x ＋1x 3＝x ＋1x 3>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 由于f (1)＝－3<0，f (e 2)＝1－2e >0，所以f (x )在(0，＋∞)上有唯一解，即方程ln x2－1－2x2＝0有唯一解，从而方程组(*)有唯一解，故两条曲线公切线的条数为1.二、解答题11.已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.考点导数在函数中的运用题点函数单调性和最值问题解(1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，k －1)k －1 (k －1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗所以f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞).(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上所述，f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－k ，k ≤1，－e k －1，1<k <2，(1－k )e ，k ≥2.12.已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x ，其中a 为常数.(1)若a ＝1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围. 考点 导数在函数中的运用 题点 函数单调性问题解 (1)当a ＝1时，f (x )＝3x －2x 2＋ln x ， 定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x＝－(4x ＋1)(x －1)x(x >0).当f ′(x )>0，x ∈(0,1)时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递增；当f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递减.故函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞). (2)f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0，即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立， 即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x. 令h (x )＝4x －1x ，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，解得a <0或0<a ≤25或a ≥1. 即a 的取值范围为(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤0，25∪[1，＋∞). 13.已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R )，g (x )＝x 2－2bx ＋4.当a ＝14时，若对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围. 考点 导数在函数中的运用 题点 导数的综合运用解 由f ′(x )＝1x －14－34x 2＝0知，x 1＝1，x 2＝3∉(0,2)，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 所以f (x )在(0,2)上的最小值为f (1)＝－12.由于“对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)”等价于“g (x )在[1,2]上的最小值不大于f (x )在(0,2)上的最小值－12”.(*)又g (x )＝(x －b )2＋4－b 2，x ∈[1,2]，所以①当b <1时，因为[g (x )]min ＝g (1)＝5－2b >0，此时与(*)矛盾； ②当b ∈[1,2]时，因为[g (x )]min ＝4－b 2≥0，同样与(*)矛盾；③当b ∈(2，＋∞)时，因为[g (x )]min ＝g (2)＝8－4b ， 解不等式8－4b ≤－12，可得b ≥178.综上，b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫178，＋∞. 三、探究与拓展14.设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围为________. 考点 导数在函数中的运用 题点 导数的综合运用 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 设g (x )＝f (x )＋x ，依题意知，存在x ∈[1,4]，使g (x )＝f (x )＋x ＝ax 2－2x －a ＋52＝0.当x＝1时，g (1)＝12≠0；当x ≠1时，由ax 2－2x －a ＋52＝0，得a ＝4x －52(x 2－1).记h (x )＝4x －52(x 2－1)(1<x ≤4)，则由h ′(x )＝－2x 2＋5x －2(x 2－1)2＝0，得x ＝2或x ＝12(舍去).当x ∈(1,2)时，h ′(x )>0；当x ∈(2,4)时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x ＝2时，h (x )取得最大值，最大值是h (2)＝12，故满足题意的实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12. 15.已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2(a 为实常数).(1)当a ＝－4时，求函数f (x )在[1，e ]上的最大值及相应的x 值； (2)当x ∈[1，e ]时，讨论方程f (x )＝0根的个数；(3)若a >0，且对任意的x 1，x 2∈[1，e ]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2，求实数a 的取值范围.考点 导数在函数中的运用 题点 导数的综合运用 解 (1)f ′(x )＝2x 2－4x(x >0)，当x ∈[1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，e]时，f ′(x )>0， 又f (e)－f (1)＝－4＋e 2－1>0，故f (x )max ＝f (e)＝e 2－4， 当x ＝e 时，取等号.(2)易知x ≠1，故x ∈[1，e ]，方程f (x )＝0根的个数等价于x ∈(1，e]时，方程－a ＝x 2ln x 根的个数.设g (x )＝x2ln x ，g ′(x )＝2x ln x －x 2·1x ln 2x ＝x (2ln x －1)ln 2x. 当x ∈(1，e)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减， 当x ∈(e ，e]时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增.又g (e)＝e 2，g (e)＝2e ，作出y ＝g (x )与直线y ＝－a 的图象(图略)， 当2e<－a ≤e 2，即－e 2≤a <－2e 时，方程f (x )＝0有2个相异的根； 当a <－e 2或a ＝－2e 时，方程f (x )＝0有1个根； 当a >－2e 时，方程f (x )＝0有0个根. (3)当a >0时，f (x )在x ∈[1，e ]时是增函数， 又函数y ＝1x是减函数，不妨设1≤x 1≤x 2≤e ，则||f (x 1)－f (x 2)≤⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2等价于f (x 2)－f (x 1)≤1x 1－1x 2，即f (x 2)＋1x 2≤f (x 1)＋1x 1， 故原题等价于函数h (x )＝f (x )＋1x 在x ∈[1，e ]时是减函数，∴h ′(x )＝a x ＋2x －1x 2≤0恒成立，即a ≤1x －2x 2在x ∈[1，e ]时恒成立.∵y ＝1x －2x 2在x ∈[1，e ]时是减函数，∴a ≤1e－2e 2.即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，1e －2e 2.。

回扣3 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .3．三种三角函数的性质4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形asin A＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.11．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ. 5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．2sin45°cos15°－sin30°的值＝________. 答案32解析2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝32. 2．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是________． 答案 2解析 由题意得tan(18°＋27°)＝tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°，即tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°＝1， 所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，所以(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2.3．(2017·江苏泰州中学期中)向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 答案3解析 a ·b ＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos60°＝12，|a |＝|b |＝1，所以|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－2＝ 3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________． 答案332解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.5．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为__________． 答案 12解析 由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x ＜0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a ＜0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.6．已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1,2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a 与b 的夹角为________． 答案 π解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2－2b 2＋3a·b ＝0，所以a·b ＝－52，从而cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－1，所以〈a ，b 〉＝π.7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.8．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为__________．答案2918解析 方法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →(λ>0)，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋19λDC →＝AB →·AD →＋AB →·19λDC→＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos60°＋2×1×19λ＋λ×1×1×cos60°＋λ×19λ×1×1×cos120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 方法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，试求f (x )的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解 (1)由题意知，f (x )＝－sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )， 所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2，当2x ＋2π3＝4π3，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求△ABC 的面积． 解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0， 所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3， 又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)因为sin B ＝32，cos B ＝12， 所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213，又a ＝2， 所以sin A ＝321＝217， 因为a ＜b ， 所以cos A ＝277.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114，所以S ＝12ab sin C ＝332.。