课时跟踪训练(二十七) 平面向量的数量积[基础巩固]一、选择题1．对于任意向量a ，b ，c ，下列命题中正确的是( ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )D ．a ·a ＝|a |2[解析] ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴|a ·b |≤|a ||b |，∴A 错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a ＋b |≤|a |＋|b |，只有当a ，b 同向时取“＝”，∴B 错误；∵(a ·b )c 是与c 共线的向量，a (b ·c )是与a 共线的向量，∴C 错误；∵a ·a ＝|a ||a |cos0＝|a |2，∴D 正确．故选D.[答案] D2．(2018·辽宁协作体期末)四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AD →－AB →|＝|AD →＋AB →|，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[解析] 因为四边形ABCD 中，AB →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．因为|AD →－AB →|＝|AD →＋AB →|，所以|BD →|＝|AC →|，即对角线相等，所以平行四边形ABCD 是矩形．故选C.[答案] C3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32D ．3[解析] 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32.[答案] A4．(2018·新疆维吾尔自治区二检)已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为( )A.32B ．－32C ．±32D ．1[解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0. 又(3a ＋2b )⊥(λa －b )，所以(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2－3a ·b ＋2λa ·b －2b 2＝12λ－18＝0，解得λ＝32.[答案] A5．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1D.22[解析] 因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a |2＋a ·b ＝0， 又因为|a |＝1，所以a ·b ＝－1.又因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a ·b ＋|b |2＝0，所以|b |2＝2，所以|b |＝ 2. [答案] B6．(2015·安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →[解析] ∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝AC →－AB →＝BC →，∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|b |＝2，a ·b ＝12AB →·BC →＝－1，故a ，b 不垂直，4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，故(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故选D.[答案] D 二、填空题7．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．[解析] (a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝1＋a ·b －2×22＝－6，∴a ·b ＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.[答案]π38. (2018·沧州百校联盟期中)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，D 是BC的中点，则BA →·AD →的值为________．[解析] 如图，建立直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，D (0,2)．则BA →＝(3，－4)，AD →＝(－3,2)．∴BA →·AD →＝3×(－3)－4×2＝－17. [答案] －179．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(－2,2)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，且c 与a 的夹角为π4，则k ＝________.[解析] 由题意得c ＝(k －2，k ＋2)，因为cos 〈c ，a 〉＝c ·a|c |·|a |＝k －2＋k ＋22·k －2＋k ＋2＝22，所以k k 2＋4＝22，解得k ＝2. [答案] 2 三、解答题10．(2017·合肥模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影． [解] (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0， ∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.∴λ的值为52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋－22＋－2＝－222＝－22. [能力提升]11．若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3[解析] 由|a ＋b |2＝|a －b |2，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得a ·b ＝0.又|a －b |2＝4a 2，得a 2－2a ·b ＋b 2＝4a 2，得b 2＝3a 2.由(a －b )·b ＝－b 2，设a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a －b b |a －b ||b |＝－b 22|a |·3|a |＝－3a 223a 2＝－32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝5π6，故选C.[答案] C12．(2017·山西大学附中期末)已知a ，b 是平面内互不相等的两个非零向量，且|a |＝1，a －b 与b 的夹角为150°，则|b |的取值范围是( )A ．(0，3]B ．(0,1]C ．(0,2]D ．(0,22][解析] 如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .由|a |＝1，a －b 与b 的夹角为150°，可得△OAB 中，OA ＝1，∠OBA ＝30°. 由正弦定理可得△OAB 的外接圆的半径r ＝1，则点B 为圆上的动点．由图可设b ＝OB →＝(1＋cos θ，sin θ)， 则|b |＝＋cos θ2＋sin 2θ＝2＋2cos θ.∴|b |∈(0,2]．故选C.[答案] C13．(2018·河北保定模拟)若a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，〈a ，b 〉为钝角，则实数λ的取值范围是________．[解析] ∵a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)， 由a ·b ＝3(2＋λ)＋λ<0，得λ<－32.若a ，b 共线，则λ(2＋λ)－3＝0，解得λ＝－3或λ＝1. 即当λ＝－3时，a ，b 共线反向．∴若〈a ，b 〉为钝角，则λ<－32且λ≠－3.[答案] (－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 14．(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．[解析] 不妨令a ·e ≥0，b ·e ≥0，对任意的单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，即a ·e ＋b ·e ≤6，即(a ＋b )·e ≤6成立．∵a ＋b 与e 同向时等号成立，∴|a ＋b |≤ 6.∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6.∵|a |＝1，|b |＝2，∴a ·b ≤12，故a ·b 的最大值为12.[答案] 1215．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． [解] (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.16.如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →.(1)若BP →＝PA →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3PA →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值． [解] (1)∵BP →＝PA →，∴BO →＋OP →＝PO →＋OA →， 即2OP →＝OB →＋OA →，∴OP →＝12OA →＋12OB →，即x ＝12，y ＝12.(2)∵BP →＝3PA →，∴BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →，即4OP →＝OB →＋3OA →，∴OP →＝34OA →＋14OB →，∴x ＝34，y ＝14.OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9. [延伸拓展]1．(2017·湖北黄冈二模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，(c－2a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值与最小值的和为( )A ．0 B. 3 C. 2D.7[解析] ∵a ⊥(a －2b )，∴a ·(a －2b )＝0，即a 2＝2a ·b ，又|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝12，a 与b 的夹角为60°.设OA →＝a ，OB →＝b ，以O 点为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，b ＝(1,0)．设c ＝(x ，y )，则c －2a ＝(x －1，y －3)，c －b ＝(x －1，y )． 又∵(c －2a )·(c －b )＝0，∴(x －1)2＋y (y －3)＝0.即(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝34，∴点C 的轨迹是以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32为圆心，32为半径的圆．又|c |＝x 2＋y 2表示圆M 上的点与原点O (0,0)之间的距离，所以|c |max ＝|OM |＋32，|c |min ＝|OM |－32，∴|c |max ＋|c |min ＝2|OM |＝212＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝7，故选D. [答案] D2．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 的夹角的大小为__________．[解析] |a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a ·b )2－4(－1－2a ·b )≤0⇒(a ·b ＋1)2≤0，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.[答案] 23π。
第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
题组层级快练(二十七)1．(2016·山东威海质检)已知a ＝(1，2)，2a －b ＝(3，1)，则a ·b ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 ∵a ＝(1，2)，2a －b ＝(3，1)，∴b ＝2a －(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)． ∴a ·b ＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.2．(2016·长沙雅礼中学月考)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 B解析 由已知得|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|b |2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.3．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152答案 A解析 AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝32 2.4．(2014·新课标全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 由条件可得(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减，得4a·b ＝4，所以a·b ＝1. 5．(2016·珠海质检)已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b的夹角为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6答案 A解析 因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332 ，解得a ·b＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6. 6．(2015·广东文)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 A解析 由AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5，故选A.7．(2014·大纲全国理)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b|＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22答案 B解析 利用向量的运算列式求解．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝0， （2a ＋b ）·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0，① 2a ·b ＋b 2＝0，② 将①×2－②，得2a 2－b 2＝0.∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2，故|b |＝ 2.8．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10答案 C解析 AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5，选C. 9．已知a ，b 是非零向量，且向量a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b|b |，则|p |＝( )A ．2＋ 3B.2＋ 3C ．3 D. 3答案 D解析 ∵|p |2＝1＋1＋2cos π3，∴|p |＝ 3.10．已知两个非零向量a ，b ，满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b答案 B解析 由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方并化简，得a ·b ＝0.又a ，b 都是非零向量，所以a ⊥b . 11．已知向量a ＝(1，2)，a ·b ＝5，|a －b |＝25，则|b |等于( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．25答案 C解析 由a ＝(1，2)，可得a 2＝|a |2＝12＋22＝5. ∵|a －b |＝25，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20. ∴5－2×5＋b 2＝20.∴b 2＝25.∴|b |＝5，故选C.12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是( )A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→答案 A解析 由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角为23π，故其数量积小于0，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→||P 1P 3→|cos30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→||P 1P 4→|cos60°＝a 2.故选A.13．(2014·陕西文)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a·b ＝0，则tan θ＝________． 答案 12解析 利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解．因为a·b ＝0，所以sin2θ－cos 2θ＝0，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.14．(2013·江西理)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案 52解析 向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|，又a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 12＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，|b |＝|2e 1|＝2，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝52.15．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b .而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当2a ＝－b 时取等号．16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 1，1解析 以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以DE →·CB →＝(1，a )·(1，0)＝1，DE →·DC →＝(1，a )·(0，1)＝a≤1.故DE →·DC →的最大值为1.17．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 答案 (－7，－142)∪(－142，－12)解析 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ， 7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14， t=－142.∴所求实数t 的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)． 18．(2016·浙江余杭高中期中)已知向量m ＝(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为34π，且m·n＝－1. (1)求向量n ；(2)若向量n 与向量q ＝(1，0)的夹角为π2，向量p ＝(2sinA ，4cos 2A2)，求|2n ＋p |的值．答案 (1)n ＝(－1，0)或n ＝(0，－1) (2)2 解析 (1)设n ＝(x ，y)， 由m·n ＝－1，有x ＋y ＝－1. ①∵m ·n ＝|m|·|n|cos 34π＝－1，∴|n |＝1，则x 2＋y 2＝1.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x=-1， y=0或⎩⎪⎨⎪⎧x=0， y=-1，即n ＝(－1，0)或n ＝(0，－1)． (2)由n 与q 垂直，得n ＝(0，－1)．∴2n ＋p ＝(2sinA ，4cos 2A2－2)＝(2sinA ，2cosA)．∴|2n ＋p |＝4sin 2A ＋4cos 2A ＝2.1．(2014·重庆理)已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152答案 C解析 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.2．(2014·天津)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22 C.1±102D.－3±222答案 A解析 以点A 为坐标原点，AB 所以直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C(1，3)，由AP →＝λAB →，得P(2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q(1－λ，3(1－λ))，所以BQ →·CP →＝ (－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3×3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.3．已知a ，b 都是单位向量，a ·b ＝－12，则|a －b |＝( )A. 3 B ．3 C ．2 D ．1答案 A解析 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝3，∴|a －b |＝ 3. 4．设a ，b ，c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a ·c 的值为( ) A ．2 B.12 C ．3 D.13答案 B解析 由|a|＝|b|＝|c|＝1，|b|＝|c |－|a|，两边平方得b 2＝(c －a )2，∴1＝1＋1－2a ·c ， ∴a ·c ＝12.5．(2016·海淀区期末)设向量a ＝(1，0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直答案 D6．已知|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 C解析 由a ＋b ＝(3，1)得|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝4，又|a |＝1，|b |＝3，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋2a ·b ＋3＝4，解得2a ·b ＝0，所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝2，设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则由夹角公式可得cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝|a |2－|b |22×2＝－12，且θ∈[0，π]，所以θ＝23π，即a ＋b 与a －b 的夹角为23π.7．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________． 答案 12解析 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(－12AB →＋AD →)＝－12|AB →|2＋|AD →|2＋12AB →·AD →＝－12|AB →|2＋14|AB →|＋1＝1，解方程得|AB →|＝12(舍去|AB →|＝0)，所以线段AB 的长为12.8．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·CD →＝________． 答案152解析 如图所示，AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝9＋3×cos120°＝152，故填152.9．(2015·天津文)在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案2918解析 方法一：作CO⊥AB 于O ，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－32，0)，B(12，0)，C(0，32)，D(－1，32)，所以E(16，33)，F(－56，32)，所以AE →·AF→＝(53，33)·(23，32)＝109＋12＝2918. 方法二：也可利用向量的线性运算解．10．(2014·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．答案2解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B(2，0)，E(2，1)，D(0，2)，C(2，2)．设F(x ，2)(0≤x≤2)，由AB →·AF →＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F(1，2)，AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.11．已知a ＝(2，－3)，b ＝(－3，4)，则a －b 在a ＋b 方向上的投影为________． 答案 －6 2解析 因为a －b ＝(5，－7)，a ＋b ＝(－1，1)，所以(a －b )·(a ＋b )＝－5－7＝－12，|a ＋b |＝（－1）2＋12＝2，所以a －b 在a ＋b 方向上的投影为－122＝－6 2.12．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________． 答案 2 5解析 方法一：设OB →＝(x ，y)，由|OA →|＝|OB →|，知x 2＋y 2＝10.又OA →·OB →＝x －3y ＝0，所以x ＝3，y ＝1，或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝25，则|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，所以|AB →|＝2 5. 13．(2014·新课标全国Ⅰ理)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________． 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点．∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.。
