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初中数学构造法的归纳整理(保证精品)(可编辑修改word版)

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内部讲义 专题：构造法应用突破
构造法深度探索
构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确
的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造， 从
而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．

1 构造代数式
初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难
人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的
数学表达式，使问题得以解决．
1.1 构造多项式
例 1 三个整数 a、b、c 的和是 6 的倍数．那么，它们的立方和被 6 除，求得到的余数.

1.2 构造有理化因式
例 2 已知(x x 2  2002)( y y 2  2002)  2002 .
计算 x 2  3xy  4 y 2  6x  6 y  58 .

1.3 构造对偶式
根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的
关系式，从而解决问题．

例 3 已知、是方程 x 2  x  1  0 的两根．则4  3的值？

1.4 构造递推式
数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问

题． 例 4 实数 a, b, x, y 满足 ax  by  3 ， ax 2  by 2  7 ，
ax3  by 3 
16
，

ax 4  by 4  42 ，求 ax5  by 5
内部讲义 专题：构造法应用突破
a 2  1 a 2  b 2 a 2  4b 2 4a 2  b 2 2 构造几何图形 如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则通 过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来． 2.1 构造对称图形 例 5 已知 a、b 是正数，且 a+b=2．求u  的最小值. 2.2 构造矩形 例 6 已知 a  0, b  0 ，求以 ， ， 为三边长的三角形的面积。 2.3 构造圆 例 7 已知 a, b, x, y 为正实数，且 a 2  b 2  1, x 2  y 2  1，求证： ax  by  1 . 2. 4 构造三角形 例 8 已知方程组满足 x 2  xy  1 y 2  25 z 2  1 y 2  9 ．求 xy+2yz+3xz 的值． x 2  zx  z 2  16 b 2  4

3
3
内部讲义 专题：构造法应用突破
b
a

b
a3b b  1
b b

例 9 已知正数 a, b, c, A, B, C 满足 A  a  B  b  C  c  k ,求证：
aB  bC  cA  k 2 .

3 构造方程、不等式、函数
3.1 构造二次方程
方程是中学数学中解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关
知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．

例 10 已知实数 a≠b，且满足(a  1)2  3  3(a  1) ; 3(b  1)  3  (b  1)2 ,则

b  a
的值为.

例 11．已知 a<0，b>0，且
a 2
 5a  1  5
b
 1
．则代数式 值为．

3.2 构造不等式
利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．
例 12 设 x,y 是非负整数， x+2y 是 5 的倍数，x+y 是 3 的倍数，且 2x+y  99．则 7
x+5y 的最小值为 ．

a
b
内部讲义 专题：构造法应用突破
b 2  4ac 3.3 构造函数 用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究． 例 13 已知实数 a  0, b  0, c  0 ,且  b  2ac ，求b 2  4ac
的最小值.

例 14* 证明：在任意 2013 个互不相同的实数中，总存在两个数 x，y，满足：
2012 x  y 1  xy  (1  x 2 )(1  y 2 )
.

4 其他构造
4.1 构造反例
构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式
例 15 a、b、c 都是实数，考虑如下命题 ：
(1)若 a2+ab+c>O，且 c>1，则 0(2)若 c>1，且 0O；
(3)若 0O，则 c>1．
试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。

4.2 构造特例
例 16 货轮上卸下若干个箱子，其总重量为 10t，每个箱子的重量不超过 1t，为了保
证能把这些箱子一次性运走，问至少需要多少辆载重量为 3t 的汽车?

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初中数学知识点全总结(完美打印版)(20200102001039)

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中考复习七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成q (p, q为整数且p0) 形式的数，都是有理数.正整数、 0、负整数统称整数；正分数、负分数统p称分数；整数和分数统称有理数.注意： 0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数， +a 也不一定是正数；不是有理数；正有理数正整数正整数正分数整数零(2)有理数的分类 : ① 有理数零②有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是 0；(2)相反数的和为0 a+b=0 a、 b 互为相反数 .4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身， 0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；a ( a 0)a (a 0)(2) 绝对值可表示为： a0( a 0) 或 a ；绝对值的问题经常分类讨论；a (a 0) a (a 0)5.有理数比大小：（ 1）正数的绝对值越大，这个数越大；（ 2）正数永远比0 大，负数永远比0 小；（ 3）正数大于一切负数；（ 4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（ 6）大数 -小数＞ 0，小数 -大数＜ 0.- 1 -中考复习6.互为倒数：乘积为1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若a≠ 0，那么 a 的倒数是1；若 ab=1 a、ab 互为倒数；若 ab=-1 a、 b 互为负倒数 .7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与 0 相加，仍得这个数 .8．有理数加法的运算律：（ 1）加法的交换律： a+b=b+a ；（ 2）加法的结合律：（a+b） +c=a+ （b+c） .9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（ -b） .10有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（ 3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律： ab=ba；（ 2）乘法的结合律：（ ab） c=a（ bc）；（3）乘法的分配律： a（b+c） =ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即a无意义 .13．有理数乘方的法则：（ 1）正数的任何次幂都是正数；（ 2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当nn或n nn 为正奇数时 : (-a)=-a(a -b) =-(b-a), 当n为正偶数时 : (-a)n=a n或 (a-b) n=(b-a) n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10 的数记成 a× 10n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法 .16 .近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

(完整word版)初中数学知识点归纳总结(精华版)

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第一章 有理数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数:32,7，3π+8，sin60o 。

第二章 整式的加减考点一、整式的有关概念 （3分)1、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示,如b a 2314-，这种表示就是错误的,应写成b a 2313-。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如c b a 235-是6次单项式。

考点二、多项式 （11分）1、多项式几个单项式的和叫做多项式.其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

第三章一元一次方程考点一、一元一次方程的概念（6分)1、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程,其中方程0≠=+bax叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。

a）x为未知数，（0第四章图形的初步认识考点一、直线、射线和线段(3分)1、点和直线的位置关系有线面两种:①点在直线上,或者说直线经过这个点.②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

2、线段的性质（1)线段公理:所有连接两点的线中,线段最短。

也可简单说成：两点之间线段最短。

(2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

3、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

初中数学知识总结归纳大全(完美排版)

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初中数学知识总结归纳大全目录七年级数学（上）知识点 (5)第一章有理数 (5)一、知识框架 (5)二．知识概念 (5)7. 有理数加法法则： (6)8．有理数加法的运算律： (6)9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. (6)10 有理数乘法法则： (6)11 有理数乘法的运算律： (6)第二章整式的加减 (7)二.知识概念 (7)第三章一元一次方程 (7)一.知识框架 (7)二．知识概念 (8)（1）读题分析法:............多用于“和，差，倍，分问题” (8)（2）画图分析法: ............多用于“行程问题” (8)第四章图形的认识初步 (9)一、知识框架 (9)二、本章书涉及的数学思想： (9)七年级数学（下）知识点 (10)第五章相交线与平行线 (10)一、知识框架 (10)二、知识概念 (10)第六章平面直角坐标系 (11)一．知识框架 (11)二．知识概念 (11)第七章三角形 (12)一．知识框架 (12)二．知识概念 (12)第八章二元一次方程组 (13)一．知识结构图 (13)二、知识概念 (13)第九章不等式与不等式组 (14)一．知识框架 (14)二、知识概念 (14)第十章数据的收集、整理与描述 (15)一．知识框架 (15)二．知识概念 (15)八年级数学（上）知识点 (16)第十一章全等三角形 (16)一．知识框架 (16)二．知识概念 (16)（1）“边角边”简称“SAS” (16)（2）“角边角”简称“ASA” (16)（3）“边边边”简称“SSS” (16)（4）“角角边”简称“AAS” (16)（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。

(16)第十二章轴对称 (17)一．知识框架 (17)二．知识概念 (17)第十三章实数 (17)一．知识框架 (17)二．知识概念 (18)第十四章一次函数 (18)一.知识框架 (18)二．知识概念 (18)第十五章整式的乘除与分解因式 (19)一．知识概念 (19)3. 整式的乘法 (19)八年级数学（下）知识点 (21)第十六章分式 (21)一．知识框架 (21)二．知识概念 (21)第十七章反比例函数 (22)一.知识框架 (22)二．知识概念 (22)第十八章勾股定理 (22)一.知识框架 (22)第十九章四边形 (23)一．知识框架 (23)二．知识概念 (23)第二十章数据的分析 (24)一．知识框架 (24)二．知识概念 (24)九年级数学（上）知识点 (26)第二十一章二次根式 (26)一．知识框架 (26)二．知识概念 (26)第二十二章一元二次根式 (26)一．知识框架 (26)二.知识概念 (27)第二十三章旋转 (27)一.知识框架 (27)二．知识概念 (28)第二十四章圆 (28)一．知识框架 (28)二．知识概念 (29)第二十五章概率 (29)知识框架 (29)九年级数学（下）知识点 (30)第二十六章二次函数 (30)一．知识框架 (30)二．.知识概念 (30)（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减 (31)（1）a ——开口方向 (31)（2）b ——对称轴与a 左同右异 (31)第二十七章相似 (31)二.知识概念： (31)第二十八章锐角三角函数 (32)一．知识框架 (32)1.Rt△ABC中 (33)2.特殊值的三角函数： (33)第二十九章投影与视图 (34)知识框架 (34)七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章 有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a、b 互为倒数；若ab=-1 a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

初中数学总复习知识结构[精品]16页word文档

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初中数学总复习知识结构第一章实数★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算☆内容提要☆一、重要概念1．数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。

（表为：x≥0）常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为14．相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1 偶数：2n（n为自然数）7．绝对值：①定义（两种）：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算1.运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）2.运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律）3.运算顺序：A.高级→低级;B.（同级）“左”→“右”;C.(有括号)“小”→“中”→“大”第二章 代数式★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念分类： 1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。