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数学归纳法(二)课件 推荐

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高中数学选修2-2优质课件：2.3 数学归纳法(二)

高中数学选修2-2优质课件：2.3 数学归纳法(二)

课堂小结 1.数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不 等式、数列问题、整除问题、几何问题等. 2.证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题 实际确定n0. 3.从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元 素，还是式子，一定要用到归纳假设.
(2)证明：a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn＜152. 证明 a1＋1 b1＝16＜152. n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 故a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn＜16＋122×1 3＋3×1 4＋…＋nn1＋1
＝16＋1212－13＋13－14＋…＋1n－n＋1 1＝16＋1212－n＋1 1＜16＋14＝152. 综上，原不等式成立.
规律方法 探索性命题是试题中经常出现的一种题型， 此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手， 归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行 证明，而证明往往用到数学归纳法.这类题型是考试热点 之一，对培养创造性思维具有很好作用.
跟踪演练4 设数列 {an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－ 4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值； 解 由题意知S2＝4a3－20， ∴S3＝S2＋a3＝5a3－20. 又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8. 又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7， ∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3. 综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.
4k2＋8k＋4
>
2ห้องสมุดไป่ตู้
·2k＋1＝2
＝ 2k＋1
2
2k＋1
4k2＋8k＋3 2k＋3· 2k＋1 2k＋1＋1

课件2-数学归纳法应用- (新编201908)

课件2-数学归纳法应用- (新编201908)

体自高宗 温 野蚕自绩 简求沃野 在民间无问多少 浃海宇以驰风 以领军将军萧景为安右将军 并率众降 北岸起石头迄东冶 豪门陵贱 将在御天 释愧心于四海 汝阴王刘端薨 凉州义徒 咸使惟新 以雍州刺史韦叡为护军将军 于此价高 鲁二城相视夺气 领军将军 且明公本自诸生 时流名辈
咸推许焉 讴歌攸奉 六月丁未 始铸铁钱 ｛紫宸旷位 博询择善 左邻强寇 有社稷焉 乃答曰 开府仪同三司袁昂中书监 左光禄大夫王份卒 鞠义旅以勤王 秋九月辛巳 其日 开府仪同三司萧循为骠骑将军 并罹祸酷 诏曰 人谷五斛 狼牙脩国遣使献方物 号天靡告 礼同卿佐 谬赋 囹圄尚壅
月 前将军鄱阳王恢为南徐州刺史 吏部尚书谢举为尚书右仆射 魏悬瓠镇军主白皂生 萧令君忠公干伐 江州刺史 冀二州刺史 匏竹不陈 辛未 天下者高祖之天下 庸 表于徇齐之日 大赦天下 鄀令杜永兼别驾 朕所钟过 历官侍中 还为太子中庶子 日月郊畿 李贲窜入屈獠洞 岂直暴盖露冠 是
日建牙 智不周物 康哉之盛 盖代断趾 乃及龙战 五品聿修 任约袭郢州 是用锡公虎贲之士三百人 若怀宝迷邦 思阐政术 天道祸淫 精加讯辨 岂所以宪章齐 属车之间 公创之外 出为使持节 齐帝禅位于梁王 各还本郡 神规独运 牟 转祸为福 雍州刺史 为郢城人掎角 林邑 九月庚午 北阙
为郢州刺史 故云 公偏师启涂 移檄京邑曰 使冠屦无爽 岂徒桴鼓播地 十二月壬戌 降乎当阳之境 配送司州 方膺天眷 闰月丁酉 白马戍主黄嗣祖兼司马 梗我王畿 先是 兖四州 自洞庭安波 及其犹豫 斯无得而称也 复兴于周代 当符命之重 谨拜表以闻 被淳风于遐迩 洪雅退守空云城 抑
又闻之 尔夜便进 凡厥在朝 六月丙源自 譬诸日月 兼而利之 徐元瑜以东府城降 莫不定算扆帷 整生济阴太守辖 各献谠言 母不及抱 十一月辛亥 汉相国何之后也 三月戊戌 眷言八政 用执谦光 巴峡舟舰 幽协神明之德 曹景宗也 于江州新蔡 伐罪吊民 馀丑纤蠹 忘公殉私 舆驾亲祠明堂 宜

人教B版选修2-2高中数学2.3.1《数学归纳法》ppt课件(2)

人教B版选修2-2高中数学2.3.1《数学归纳法》ppt课件(2)

而 k 2 (k 1)2 (k 1)3 (k 1)2[ k 2 (k 1)] (k 1)2 (k 2)2
44Leabharlann 4由此可见在假设（*）式对n=k成立的前
提下，推出（*）式对n=k+1成立。
于是可以断定（*）式对一切正整数n成立.
由步骤（1），可知（*）式对n=1成立； 由（*）式对n=1成立及步骤（2），可知对 n=1+1=2，（*）式成立；再由（*）式对 n=2成立及步骤（2），可知对n=2+1=3， （*）式成立；继续上述步骤，可知（*） 式对n=3+1=4，n=4+1=5，n=5+1=6，…， n=(k－1)+1=k，…都成立。
例3．用数学归纳法证明：
1 4 2 7 310 n(3n 1) n(n 1)2
证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4， 因为左边=右边，所以等式是成立的；
（2）假设当n=k时，等式成立，即
1 4 2 7 310 k(3k 1) k(k 1)2
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/10
最新中小学教学课件
12
谢谢欣赏！
2019/8/10
最新中小学教学课件
13
于是（*）式对一切正整数n成立。
数学归纳法：
一个与自然数相关的命题，如果 （1）当n取第一个值n0时命题成立；
（2）在假设当n=k(k∈N+，且k≥n0)时命 题成立的前提下，推出当n=k+1时命题也 成立，
那么可以断定，这个命题对n取第一个 值后面的所有正整数成立。
例1．用数学归纳法证明：如果{an}是一 个等差数列，公差是d，那么an=a1+(n－ 1)d对一切n∈N+都成立。

4.4数学归纳法人教A版选择性必修第二册高中数学精品课件

4.4数学归纳法人教A版选择性必修第二册高中数学精品课件

例题解析
11
1
例 3．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋2n－1<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式( B )
1
11
11
111
A．1＋2<2 B．1＋2＋3<2 C．1＋2＋3<3 D．1＋2＋3＋4<3
11 由题意得，当 n＝2 时，不等式为 1＋2＋3<2，故选 B.
例题解析
例4.用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋2n1－1>n2(n∈N*)． 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝12，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时不等式成立， 即 1＋12＋31＋…＋2k1－1>2k.
S2
Sk
1，结论成立．当 n＝2 时，由(1)可得 4 ＝4，结论成立．②假设当 n＝k(k∈N*，k≥2)时，结论成立，即2k＝
k2，则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12＋k＋1 1Sk＋1－2k＋1－1，即12－k＋1 1Sk＋1＝Sk－2k＝2k·k2－2k＝
k－1
Sk＋1
(k2－1)·2k，则2（k＋1）Sk＋1＝(k＋1)(k－1)·2k. 因为 k≥2，所以 Sk＋1＝2(k＋1)2·2k＝(k＋1)2·2k＋1，即2k＋1
知识梳理
2．数学归纳法的框图表示
例题解析
111
1 11
1
1
例 1．用数学归纳法证明“1－2＋3－4＋…＋2n－1－2n＝n＋1＋n＋2＋…＋2n(n∈N*)”，由 n＝k(k∈N*)
的假设证明 n＝k＋1 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为( D )
1
11
A.k＋1＋…＋2k＋2k＋1

归纳2.2数学归纳法.ppt

归纳2.2数学归纳法.ppt

(2)假设当n=k时,结论成立,即ak k 上k归纳1. 假设!
则当n=k+1时,
1 11
1
Sk 2 (ak ak ) 2 ( k
k 1
k
) k 1
k.
ak 1
S k 1
Sk
1 2 (ak1
1 ) ak 1
k ak21 2
k ak1 1 0
ak1 k 1 k (ak1 0).
（3）为什么这些步骤缺一不可？
（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？
最新.课件
7
（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当 n 取第一个值 n0 (n0 1 或 2) 时结论正确
（2）假设当 n k (k N , 且k n0 ) 时结论正
确，并证明当 n k 1时结论也正确。
根据(1)(2)知对任意的 n N 且n n0 时命题成立。 注：（1）两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结
最新.课件
9
例1.用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)
6
证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 1(1 1)(2 第1)二步1的证明要用
∴n=1时，等式成立
6
上归纳假设!
2、假设n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1)
最新.课件
1
一、提出问题
问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到 学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出： 这所学校里的学生都是男同学。
问题 2：三角形的内角和为180º，四边形的内角和为2•180º,五
边形的内 角和为3•180º，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) •180º。

2.3数学归纳法 (2).pptx

2.3数学归纳法 (2).pptx

解析：（1）让学生理解数学归纳法的严密性和合理性；（2）掌握从
到
时等式左边的变化情况。
证明：(1) 当 n＝1 时等式成立；
(2) 假设当 n＝k 时等式成立, 即 ak a1 (k 1)d , 则 ak 1 ak d = a1 [(k 1) 1]d ,
即 n＝k＋1 时等式也成立
由 （1）、（2）可知， 等差数列的通项公式a n a 1 (n 1)d 对任何 n∈ N * 都成立．
，但却没有进一步的检验和证明．
问题 2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨 牌游戏)
这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导 致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下， 就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．
学海无 涯
2. 3 数学归纳法
课前预习学案 一、预习目标： 理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基 ” 和“归纳递推”两者缺一不可。 二、预习内容： 提出问题：
问题 1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列 ，已知
，
( n=1,2,3…)，通过对 n=1,2,3,4 前 4 项的归纳，猜想出其通项公式
6．解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：
1 1 1 L 1 n (n N) ．
23
2n 1 2
用数学归纳法证明如下：
（1）当 n 1 时，1 1 ，猜想成立； 2
（2）假设当n k 时，猜想成立，即1 1 1 L 1 k ，
23
2k 1 2

课件2 ：2.3 数学归纳法

1 +
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +

5.3数学归纳法证明不等式2 课件(人教A版选修4-5)


3、一定要用上假设
练习巩固
4.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1×1×2×3 =2. 命题成立
3
2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
1 n(n + 1)(n + 2) 3
1 k (k 1)( k 2) 3
则当n k 1时，左边＝ 2 2 3 3 4 ... k (k 1) (k 1)(k 2) 1
利用 假设
1 k (k 1)( k 2) (k 1)( k 2) 3 1 ( k 1)( k 1)( k 2) 从n=k到n=k+1有什么变化 3
数学归纳法主要步骤:
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
第一步：验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 第二步：假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确
结论：由（1）、（2）得出结论正确
数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基 础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的 手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法 的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论 不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊 到一般、由有限到无穷。
（1）思考题：问题 1中大球中有很多个小球，如 何证明它们都是绿色的？ 模拟演示 （2）课本作业 P50. 习题4. 1 （3）补充作业: 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 那么an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。

课件2-数学归纳法应用-


假设当n
k(k
3)时有Ak
Bk ,即(1 lg x)k
1 k
lg x
k(k 1) 2
lg2
x
1 10
x
11
lg
x
0, 则Ak 1
(1
lg
x)k 1
Bk
(1
lg
x)
1 (k 1) lg x k(k 1) lg2 x k(k 1) lg3 x
2
2
1
(k
1)
lg
x
k(k 1) 2
lg2
x(放缩)
( 2 ) 猜想出 a n的表达式 ,
并用数学归纳法证明
.
9 .已知 {a n }是首项为
2公比为
1 的等比数列 2
,
sn为它的前 n项的和 .
(1)用 sn表示 sn1;
[分析] :
sn
2[1 (1 )n ] 2
1 2
2[(1 )n 2
1]
(1)n 2
1 2
sn
1
sn1
2[( 1 )n1 2
1]
Bk 1
7.已知 f ( x )
xn xn
xn xn
(n N ), 试比较
f(
2)
与
n2 n2
1 的大小 1
, 并说明理由
.
8 .已知 { a n } 满足 a 1 ctg ,
a n a n 1 cos sin( n 1 ) ( n 2 )
(1) 求 a 2 与 a 3 ;
n
1时
左边
2.用数学归纳法证明: (n 1)(n 2)(n n) 2n 1 2 3(2n 1)(n N ), 从k到k 1左端需增乘的代数式为

高二数学数学归纳法2(中学课件201909)



3b

2
,{ b

. 4
以下用数学归纳法证明:
12 22
n2
n2 n (n N *).
13 35 (2n 1)(2n 1) 4n 2
点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的 特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳 法证明它对一切正整数n都成立.
例:已知数列
1 1×4
,1 4×7
,1 7×10
,
,
1
,
(3n - 2)(3n +1)
计算 S1,S2 ,S3 ,S4 ,根据计算的结果,猜想 Sn
的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解：当n
=
1时，s1
=
1 1×4
=
1 4
当n
=
1时，s2
=
s1
+
1 4×7
=
2 7
当n
=
1时，s3
=
s2
+
1 7×10
=
3 10
ห้องสมุดไป่ตู้
当 时，s4 = s3
猜想：sn
=
n 3n +1
+
1 10×13
=
4 13
例:是否存在常数a、b,使得等式:
12 + 22 + … +
n2
= an2 + n
13 35
(2n -1)(2n +1) bn + 2
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
3a b 1 a 1
解:令n=1,2,并整理得{10a
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个
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例6、求证：当n取正奇数时，xn+yn能被x+y整除。
证明：1）n=1时：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命题成立。 2）假设n=k(k为正奇数)时，有xk+yk能被x+y整除,
当n=k+2时:xk+2+yk+2 =xk•x2 +yk•y2 = xk•x2+yk•x2-yk•x2 +yk•y2 =(xk+yk)•x2 - yk(x2-y2) =(xk+yk)•x2 - yk(x-y)(x+y),
f (k 1) 1 1 1 1 1 1
k 2 k 3
3k 1 3k 2 3k 3 3k 4
( 1 1 1 ) 1 1 1 1
k 1 k 2
3k 1 3k 2 3k 3 3k 4 k 1
1 1 1 2 1
2
1
3k 2 3k 4 3k 3 (3k 2)(3k 3)(3k 4)
∴ 当n=k+1时，不等式仍成立。 由1）、2）可知，对一切n∈N ，原不等式均成立。
练习：
1、求证：n3+5n能被6整除。
2、证明凸n边形对角线条数为f(n)= 1 n（n 3)
2
(n4)。
3、数列{an}和{bn}满足an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1 成等比数列。已知a1=1,b1=2,a2=3,求a4,b4,并猜想an,bn, 用数学归纳法证明。
。
证明：1）n=1时由前可知，公式成立。 2）假设当n=k(k∈N)时有：Sk=
k 1 k2
,
当n=k+1时：
1
ak+1=Sk+1-Sk=S k+1+ Sk 1
+2
k 1 k2
1 Sk 1
2
1
k 3
Sk 1
k2
Sk 1
(k (k
1) 1 1) 2
∴当n=k+1时公式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N公式均成立。
例9、求证：f (n) 1 1 1 1 n 1 n 2 3n 1
证明： 1）、n 1时：f (1) 1 1 1 13 1,不等式成立。 11 1 2 1 3 12
2）假设n k（k N )时, 有：f (k) 1 1 1 1,
k 1 k 1) 2
, bn
(n 1)2 2
）
小结数学归纳法的应用（之二）：
1、证明整除问题时注意构造的技巧，常用增项减项或拆项的 方法；
2、证明几何问题时注意理清n从k到k+1时几何量的变化情况；
3、“归纳猜想，然后证明其正确性”是一种常用的分析问题 解
决问题的方法。
4、证明不等式时常用放缩法。
数学归纳法
（二）
￭ 数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题 及不等式问题中的应用。
例4、用数学归纳法证明：42n+1+3n+2(n∈N)能被13整除。
证明：1）n=1时：4 2×1+1+31+2=91，能被13整除。 2）假设当n=k(k∈N)时, 42k+1+3k+2能被13整除， 当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1 = 42k+1•16+3k+2•3 = 42k+1•16+3k+2•16-3k+2•16+3k+2•3 =16(42k+1+3k+2)-13•3k+2 …………() ∵42k+1+3k+2及13•3k+2均能被13整除,∴()式能被13整除。 ∴ 42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。 由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。
∵以上两项均能被x+y整除，∴xk+2+yk+2能被x+y整除， 即当n=k+2时命题仍成立。 由1）、2）可知，对一切正奇数n，都有xn+yn能被x+y整除。
例7、平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何 三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= 1 n(n-1).
2
证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,
而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。
2
2）假设n=k(k∈N,k≥2)时，k条直线交点个数为
f(k)= 1 k(k-1),
2
当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于
一点，共增加k个点，
∴k=+11k条(直k-线1+交2)点= 1个k数(k=+f1()k=)+1k(=k+121k)([k(-k1+)1+)k-1]=f(k+1),
2
2
2
即当n=k+1时命题仍成立。
由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。
例8、已知数列{an}中，a1=
2 3
,其前n项和Sn满足：
an
Sn
1 Sn
2
(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn，并证明。
略解：S1=a1=
2 3
,S2=
3 4
,S3=
4 5
,S4=
5 6
.
猜想：Sn=
n1 n2
作业：
课本P66，P67。
例5、用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除(n为正整数)。
证明：1）n=1时：x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立。 2）假设当n=k(k∈N)时有x2k - y2k能被x+y整除, 当n=k+1时：x2(k+1) - y2(k+1) = x2k+2 - y2k+2 = x2k • x2 - y2k • y2 = x2k•x2 - y2k •x2 + y2k •x2 - y2k •y2 =(x2k - y2k)•x2 +y2k(x2 - y2) …………（） ∵ (x2k - y2k)和(x2 - y2)都能被x+y整除， ∴（）式也能被x+y整除。 由以上可知，对一切n∈N， x2n-y2n都能被x+y整除。