定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理

1．定积分

(1)定积分的相关概念：

在()bafxdx中，∫叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数．

(2)定积分的性质：

①∫ba1dx＝b－a；

②abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)；

③ab[f(x)±g(x)]dx＝abf(x)dx±abg(x)dx；

④abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx.

(3)定积分的几何意义：

①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分()bafxdx的几何意义是由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．

②一般情况下，定积分()bafxdx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

2．微积分基本定理

如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则()bafxdx＝F(b)－F(a)．这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式．通常称F(x)是f(x)的一个原函数．

为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．

1. ()bafxdx与()baftdt相等吗？相等．

2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？

3．定积分[()()]bafxgxdx (f(x)>g(x))的几何意义是什么？

提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．

1．(2013·江西高考)若S1＝221xdx，S2＝211dxx，S3＝21exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )

A．S1

2．已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是( )

A．10t20 B．5t20 C.103t20 D.53t20

解析：选B S＝0010ttdt＝0250tt＝5t20.

3．设f(x)＝ x2x≥02xx<0，则11()fxdx的值是( )

A. 121xdx B. 112xdx

C. 021xdx＋102xdx D. 012xdx＋120xdx

解析：选D 11()fxdx＝012xdx＋120xdx.

4．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．

解析：220xdx＝32103x＝83.

5．(2013·湖南高考)若20Txdx＝9，则常数T的值为________．

解析：20Txdx＝3103Tx＝13T3＝9，解得T＝3.

考点一 定积分的计算

[例1] 求下列定积分：

(1) 120(2)xxdx； (2) 0(sincos)xxdx；

(3) 2211(e)xdxx; (4) 201xdx.

[自主解答] (1) 120(2)xxdx＝120()xdx＋102xdx＝31103x＋210x＝－13＋1＝23.

(2) 0(sincos)xxdx＝0sinxdx－0cosxdx＝(cos)0x－sin0x＝2.

(3) 2211(e)xdxx＝221exdx＋211dxx＝221e12x＋2ln1x＝12e4－12e2＋ln 2－ln 1

＝12e4－12e2＋ln 2. (4)|x－1|＝ 1－x0≤x<1，x－1 1≤x≤2，故10(1)xdx＝10(1)xdx＋21(1)xdx

＝2102xx＋2212xx＝12＋12＝1.

【互动探究】

若将本例(1)中的“－x2＋2x”改为“－x2＋2x”，如何求解？

解：1202xxdx表示y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．

由y＝－x2＋2x，得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，故1202xxdx表示圆(x－1)2＋y2＝1的面积的14，即1202xxdx＝14π.

定积分的求法

(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．

(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．

(3)若y＝f(x)为奇函数，则()aafxdx＝0.

1. 201sin2xdx＝________.

解析：201sin2xdx＝20sincosxxdx＝40cossindxxx＋24sincosdxxx

＝sincos40xx＋2cossin4xx＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.

2．若20sincosdxaxx＝2，则实数a＝________.

解析：∵(asin x－cos x)′＝sin x＋acos x，∴46212243(34)d4()d22xxxxvtt＝(sincos)20axx＝ asinπ2－ cosπ2－(asin 0－cos 0)＝a＋1＝2，∴a＝1.

3. 3209dxx＝________.

解析：由定积分的几何意义知，3209dxx是由曲线y＝9－x2，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故3209dxx＝π·324＝9π4.

考点二 定积分物理意义的应用

[例2] (1)(2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( C

)

A．1＋25ln 5 B．8＋25ln113

C．4＋25ln 5

D．4＋50ln 2

1)由v(t)＝7－3t＋151＋t＝0，可得t＝4t＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为04v(t)dt＝047－3t＋151＋tdt＝7t－32t3＋25ln1＋t 40＝4＋25ln 5.

(2)一物体在力F(x)＝ 10 0≤x≤23x＋4 x>2(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为( B )

A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J

[自主解答](2)力F(x)做功为2010dx＋42(34)dxx＝10x 20＋243422xx＝20＋26＝46.

一物体做变速直线运动，其v -t曲线如图所示，则该物体在12 s～6 s间的运动路程为________．

解析：由图象可知，v(t)＝ 2t，0≤t<1，2，1≤t<3，13t＋1，3≤t≤6，所以12 s～6

s间的运动路程s＝331122322222021022132()d,de33363kxxxxkxxxxxxxxkxxx则＝1122dtt＋312dt＋6311d3tt＝t2112＋2t31＋16t2＋t63＝494.

高频考点 考点三 利用定积分求平面图形的面积

1．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下几个命题角度：

(1)知图形求曲线围成图形的面积；(2)知函数解析式求曲线围成图形的面积；

(3)知曲线围成图形的面积求参数的值．

[例3] (1)(2012·湖北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43

C.32 D.π2

(2)(2011·新课标全国卷)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )

A.103 B．4 C.163 D．6

(3)(2012·山东高考)设a>0.若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.

[自主解答] (1)由题意知二次函数f(x)＝－x2＋1，它与x轴所围图形的面积为11()dfxx＝102()dfxx＝2 120(1)dxx＝2x－13x3 10＝21－13＝43.

(2)作出曲线y＝x，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．

由 y＝x，y＝x－2得交点A(4,2)．因此y＝x与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为

40(2)dxxx＝402dxxx＝3224212032xxx＝23×8－12×16＋2×4＝163.

(3)由题意知0daxx＝a2.又332222,033axxx则＝a2.即23a32＝a2，所以a＝49.

1．曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形的面积是( )

A.13 B.23 C．1 D.43

解析：选A 解方程组 y＝x2，y2＝x，得两曲线的交点为(0,0)，(1,1)．所以120dxxx＝332121033xx＝13，即曲线y＝x2和曲线y2＝x围成的图形的面积是13.

2．由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________．

解析：如图所示，由y＝x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)．