2015-2016学年江苏省南京市宁海中学高三(上)开学数学试卷
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2015-2016学年江苏省南京市宁海中学高三（上）开学数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．(★★★★)若A={a}，B={0，a 2}，A⊆B，则A=
{1} ．
2．(★★★★)命题：“∃x∈R，|x|≤0”的否定是 ∀x∈R，|x|＞0 ．
3．(★★★★)实数a，b∈R，i是虚数单位，若a+2i与2-bi互为共轭复数，则a+b=
4 ．
4．(★★★)双曲线x 2-y 2=2的右准线方程为
x=1 ．
5．(★★★★)某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间4，5）上的数据的频数为
30
．
6．(★★★★)图是一个算法的流程图，则输出的n= 9 ．
7．(★★★)现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ．
8．(★★★)求y= （x＞-1）的最小值为 9 ．
9．(★★★★)已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：
①若α⊥β，m⊥α，则m∥β； ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β； ③若m∥α，m⊥n，则n⊥α； ④若m∥α，m⊂β，则α∥β．
其中所有真命题的序号是 ② ．
10．(★★★★)将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象上所有点向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于
．
11．(★★★)设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和为S n．若S 2=3a 2+2，S 4=3a
4+2，则q= ．
12．(★★★★)已知正△ABC的边长为1， ，则 = -2 ．
13．(★★)在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0），M为线段AD上的动点．若AM≤2BM恒成立，则正实数t的最小值为 4 ．
14．(★★)在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是 -1 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．(★★★★)已知 ， ， ， ．
（Ⅰ）求cosβ的值；
（Ⅱ）求sinα的值．
16．(★★★)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60o，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：
（1）EF∥平面PBC；
（2）平面DEF⊥平面PAC．
17．(★★★)已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）． （1）若椭圆C的离心率为 ，右准线l的方程为x=4，求椭圆方程；
（2）若椭圆C的下顶点为B，P为椭圆C上任意一点，当P是椭圆C的上顶点时，PB最长，求椭圆C的离心率的范围．
18．(★★★)如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD，设∠COB=θ．
（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值；
（2）若要在景区内种植鲜花，其中在△AOD和△BOC内种满鲜花，在扇形COD内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．
19．(★★)设t＞0，已知函数f （x）=x 2（x-t）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数y=f（x）在点P（x 0，y 0）处的切线的斜率为k，当x 0∈（0，1时，k≥- 恒成立，求t的最大值；
（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y=f（x）的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．
20．(★★)（文科）已知数列{a n}的前n项的和为S n，点P（n，S n）（n∈N *）在函数f（x）=-x 2+7x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n的最大值；
（Ⅱ）令b n= （n∈N *），求数列{nb n}的前n项的和T n；
（Ⅲ）设c n= ，数列{c n}的前n项的和为R n，求使不等式R n＞ 对一切n∈N *都成立的最大正整数k的值．
