2006数学三考研试题和答案
2006年数学三试题分析、详解和评注
一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）()11lim 1.
n
n -+??=
（()f x
，
()2f （（B
（[]0,3{P （为()()121,,,
,2
x
n
f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样
本，其样本方差为2
S ，则2
2.
ES
=
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，
x
?为自变量x 在点0
x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在
点0
x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则
(A) 0d y y
<
0d y y
d y <（
在
[ （n
收
敛
11
2n n n a ∞
+=∑（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个
不同的解1
2
(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通
解是
[ ]
（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记
110010001P ?? ?= ?
???
，则
C =C =（2
2
μ>
三 （15）（本题满分7分） 设()1sin
,,0,0
1arctan x
y y y
f x y x y xy x
π-=->>+,求
(Ⅰ)
()()
lim ,y g x f x y →+∞
=；
(Ⅱ)
()
0lim x g x +
→.
（16）（本题满分7分） 计算二重积
分d D
x y
，其中D 是由直线
,1,0
y x y x ===所围成的平面区域.
（
（83
（（20）（本题满分13分） 设
4维
向
量组
()()()T
T
T
1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+
()
T
4
4,4,4,4a α
=+，
问a 为何值时1
2
3
4
,,,αααα线性相关?当1
2
3
4
,,,αααα线性相
关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()
T
T
121,2,1,0,1,1α
α=--=-是线性方程组0Ax =的两个
解
((；
（令Y (Ⅰ((Ⅲ)
1,42F ??- ???
.
（23）（本题满分13分） 设总体X 的概率密度为
(),01,;1,12,
0,x f x x θθθ<
=-≤
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<，1
2
n
,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值1
2
,...,n
x x x 中小于1的个
数.
1 以
n →∞
??
【评注】对于幂指函数的极限，总是将其化
为指数函数后求解.
完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第2节【例23】，《数学复习指南》（经济
类）P.30【例1.41】.
2…. 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()e f x
f x '=，两边对x 求导得
()()
()
2e
()e
f x f x f x f x '''==，
又
.
3 ，
()
22(1,2)
(1,2)
(4)22
z f x y y y
?'=-?-=-?，
所以
()
()()
1,21,21,2d d d 4d 2d z z z
x y x y x
y
????=+
=-??????
.
方法二：对()
2
24z f x y =-微分得
()
222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，
故
()
()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z
f x y x y
'=-=-.
【评注】本题为基本题型.
完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数
.
为
AX .
完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代
数》第1讲【例6】，《数学复习指南》（经济类）P.287【例2.12】.
5……【分析】利用X Y与的独立性及分布计算.
【详解】由题设知，X Y与具有相同的概率密度
1
,3
()3
0,
x
f x
?
≤≤
?
=?
??
0
其他
.
则{}
{}{}
max,11,1
P X Y P X Y
≤=≤≤{}{}
11
P X P Y
=≤≤
{}
()2
1
2
11
1d
39
P X x
??
=≤==
?
??
?.
【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
则{}
{}{}1
max,11,1
9
S
P X Y P X Y
S
≤=≤≤==
阴.
完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第3讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）P.431【例2.31】Ｐ.442【例2.50】
6,………【分析】利用样本方差的性质2ES DX
=
即可.
【详解】因为
()d e d 02
x
x EX xf x x x +∞
+∞
--∞
-∞
===?
?
，
22
2
220
00
()d e d e d e 2e d 2
x
x x
x x EX x f x x x x x x x x
+∞
+∞
+∞+∞
---+∞--∞
-∞
====-+?
?
??
5.2
7…….【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.
【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ?>时，
00d ()d ()0
y y f x x f x x ''?>==?>，故应选(Ａ).
【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日中值定理求解：
0000()()(),y f x x f x f x x x x
ξξ'?=+?-=?<<+?
因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0
()()f f x ξ''>，又
x ?>，
则
0()()d 0
y f x f x x y ξ''?=?>?=>，即0d y y <
定义一般教科书均有，类似例题见《数学
复习指南》（经济类）P.129【例5.1】，P.151【１（３）】.
8……… 【分析】从()22
lim
1
h f h h
→=入手计算(0)f ，利
用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -
+
''的存在性.
【详解】由()
2
2
lim 1h f h h
→=知，()2
lim 0h f h →=.又因为()f x 在
x =处连续，则
()20
(0)lim ()lim 0
x h f f x f h →→===.
令2
t h =，则()()22
(0)
1lim
lim (0)h t f h f t f f h
t
+
+→→-'===.
所以(0)f +
'存在，故本题选（C ）.
【评注】本题联合考查了函数的连续性和左
1
n ∞
=，
取(1)n
n
a
=-，则可排除选项（Ｃ）.
故（Ｄ）项正确.
【评注】 本题主要考查级数收敛的性质和
判别法，属基本题型.
完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）Ｐ.232习题八（2（3）题），《考研数学过关基本题型》（经济类）P.74【例1，例2】及练习.
10…..【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.
【详解】由于1
2
()()y x y x -是对应齐次线性微分方
程
()0
y P x y '+=的非零解，所以它的通解是 []
12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为
[]
1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).
【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：
*y y Y
=+.
其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.
相关性质和定理见《数学复习指南》（经济类）P.219.
11……【分析】 利用拉格朗日函数
(,,)(,)(,)
F x y f x y x y λλ?=+在0
(,,)x y λ（0λ是对应00
,x y 的参数λ
的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数
(,,)(,)(,)
F x y f x y x y λλ?=+，并记对应0
,x y 的参数λ的值为
λ，则
000000(,,)0(,,)0
x y F x y F x y λλ?'=??'=??， 即
0000000000(,)(,)0
(,)(,)0
x x y y f x y x y f x y x y λ?λ??''+=??''+=?? .
整为
(y x ?'若f 性问题，利用定义或性质进行判定.
【详解】 记1
2
(,,
,)
s B ααα=，则1
2
(,,
,)s A A A AB
ααα=.
所以，若向量组1
2
,,
,s
ααα线性相关，则()r B s <，从而
()()r AB r B s
≤<，向量组1
2
,,
,s
A A A ααα也线性相关，故应
选(Ａ).
【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.
完全类似例题及性质见《数学复习指南》
（经济类）P.309【例 3.7】，几乎相同试题见文登2006最新模拟试卷（数学一）Ｐ.２（11）.
13………【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得
110110*********,010010010001001001001B A C B A --????????
? ? ? ?=== ? ? ? ?
? ? ? ?????????
，
而
1110010001P --??
?= ?
???
，则有1
C PAP -=.故应选（Ｂ）.
【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵. （２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.
完全类似例题及性质见文登暑期辅导班
《线性代数》第2讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.290【例2.19】.
14….【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.
2
σ.
复习指南》（经济类）P.417【例2.7】.
15……. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作
为常量求解，此问中含,0∞
?∞∞
型未定式极限；第
(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.
【详解】(Ⅰ)
()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞?
?- ?
?==-
+
? ???
π= 1.36】，P.30【例1.40】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.8【例14】，P.9【例16】.
16 【分析】画出积分域，将二重积分化为累
次积分即可.
【详解】积分区域如右图.因
为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x 后y ”积分较容易，所以 1220
d d d d y
D
y xy x y y y xy x
-=-??
??
()3
112
22
002122d d 339
y y xy y y y y
=--==
??.
【评注】计算二重积分时，首先画出积分区域的图形，然后结合积分域的形状和被积函数的形式，选择坐标系和积分次序.
完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节【例8】，《数学复习指南》（经济类）P.181【例7.2】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.65【例1】，P.66【例3】及练习.
17…..【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.
【详
解
】
令
()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ
=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ
'=+-+=-+，且()0f π'=.
又
()cos sin cos sin 0
f x x x x x x x ''=--=-<，