(完整版)全等三角形的经典模型(一)

11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。

表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。

例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。

求证：△ABC ≌△DCB 。

A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。

证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。

“ASA ”。

表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。

例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。

ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。

事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。

证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。

圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。

圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手(旋转)模型、对角互补模型、半角模型。

模型1、切线长模型1)切线长模型(标准类)条件：P 为⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B 。

结论：①△OAP ≌△OBP ；②∠AOB +∠APB =180°；③OP 垂直平分AB ；2)切线长模型(拓展类)条件：AD ，CD ，BC 是⊙O 的切线，切点分别为A ，E ，B 。

结论：①△AOD ≌△EOD ；②△BOC ≌△EOC ；③AD +BC =DC ；④∠DOC =90°；1(2022春·成都市九年级期中)如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于点C ，D ．若△PCD 的周长为⊙O 半径的3倍，则tan ∠APB 的值为()A.125B.3513C.2313D.512【答案】A 【分析】连接OA 、OB ，OP ，在PB 上取点F ，使OF =PF ，连接OF ，求出PA =PB =32r ，证明△POA ≌△POB SSS ，得出∠APO =∠BPO ，证明∠OFB =∠APB ，设OF =PF =x ，则BF =32r -x ，根据勾股定理得出x 2=r 2+32r -x2，求出x =1312r ，得出BF =32r -1312r =512r ，tan ∠APB =tan ∠OFB =125即可．【详解】解：连接OA 、OB ，OP ，在PB 上取点F ，使OF =PF ，连接OF ，如图所示：根据切线长定理可知，CA =CE ，DB =DE ，PA =PB ，∴PC +CD +PD =PA +PB =2PA =3r ，∴PA =PB =32r ，∵PA =PB ，OA =OB ，PO =PO ，∴△POA ≌△POB SSS ，∴∠APO =∠BPO ，∴∠APB =2∠BPO ，∵OF =PF ，∴∠FOP =∠FPO ，∴∠OFB =∠OPB +∠POF =2∠OPB ，∴∠OFB =∠APB ，设OF =PF =x ，则BF =32r -x ，∵PB 为⊙O 的切线，∴OB ⊥PB ，∴∠OBF =90°，∴OF 2=OB 2+BF 2，即x 2=r 2+32r -x 2，解得：x =1312r ，∴BF =32r -1312r =512r ，∴tan ∠APB =tan ∠OFB =OB BF =r 512r =125，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，切线长定理，三角形全等的判定和性质，求正切值，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理，得出PA =PB =32r ．2(2022·内蒙古鄂尔多斯·统考二模)如图，AB 为半圆O 的直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，连接OD 、OC ，下列结论：①∠DOC =90°，②AD +BC =CD ，③S △AOD ：S △BOC =AD 2：AO 2，④OD ：OC =DE ：EC ，⑤OD 2=DE •CD ，正确的有()A.B. C. D.【答案】C 【分析】连接OE ，由AD ，DC ，BC 都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE =DA ，CE =CB ，由CD =DE +EC ，等量代换可得出CD =AD +BC ，选项②正确；由AD =ED ，OD 为公共边，利用HL 可得出直角三角形ADO 与直角三角形EDO 全等，可得出∠AOD =∠EOD ，同理得到∠EOC =∠BOC ，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC 为直角，选项①正确；由∠DOC 与∠DEO 都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO 与三角形DOC 相似，由相似得比例可得出OD 2=DE •CD ，选项⑤正确；由△AOD ∽△BOC ，可得S ΔAOD S ΔBOC=AD OB 2=AD AO 2=AD 2AO 2，选项③正确；由△ODE ∽△OEC ，可得OD OC =DE OE，选项④错误．【详解】解：连接OE ，如图所示：∵AD 与圆O 相切，DC 与圆O 相切，BC 与圆O 相切，∴∠DAO =∠DEO =∠OBC =90°，∴DA =DE ，CE =CB ，AD ∥BC ，∴CD =DE +EC =AD +BC ，选项②正确；在Rt △ADO 和Rt △EDO 中OD =OD DA =DE ，∴Rt △ADO ≌Rt △EDO (HL )，∴∠AOD =∠EOD ，同理Rt △CEO ≌Rt △CBO ，∴∠EOC =∠BOC ，又∠AOD +∠DOE +∠EOC +∠COB =180°，∴2(∠DOE +∠EOC )=180°，即∠DOC =90°，选项①正确；∴∠DOC =∠DEO =90°，又∠EDO =∠ODC ，∴△EDO ∽△ODC ，∴OD CD =DE OD，即OD 2=DC •DE ，选项⑤正确；∵∠AOD +∠COB =∠AOD +∠ADO =90°，∠A =∠B =90°，∴△AOD ∽△BOC ，∴S ΔAOD S ΔBOC =AD OB 2=AD AO 2=AD 2AO 2，选项③正确；同理△ODE ∽△OEC ，∴OD OC =DE OE，选项④错误；故选：C ．【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．3(2022·四川成都·模拟预测)已知：如图，BE 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于H ，弦ED ∥OC ，连接CD ，并延长交BE 的延长线于点A .，(1)证明：CD 是⊙O 的切线；(2)求证：DE ·OC =12BE 2．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】(1)连接OD ，通过证△CBO ≌△CDO 来得到∠CDO =∠CBO ，由于BC 且⊙O 于B ，根据切线的性质知∠CBO =90°，从而得到∠CDO =90°，问题得到证明；(2)连接BD ，根据圆周角定理得到∠BDE =90°，求得∠BDE =∠OBC ，根据平行线的性质得到∠BED =∠BOC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】(1)∵ED ∥OC ，∴∠COB =∠DEO ，∠COD =∠EDO ，∵OD =OE ，∴∠DEO =∠EDO ，∴∠COB =∠COD ，在△BCO 和△DCO 中，OB =OD∠COB =∠COD OC =OC∴△BCO ≌△DCO (SAS )，∴∠CDO =∠CBO ，∵BC 为圆O 的切线，∴BC ⊥OB ，即∠CBO =90°，∴∠CDO =90°，又∵OD 为圆的半径，∴CD 为圆O 的切线；(2)如下图，连接BD，∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE =90°，∴∠BDE =∠OBC ，∵DE ⎳OC ，∴∠BED =∠BOC ，∴△BDE ∽△CBO ，∴DE OB =BE OC，∴DE ·OC =BE ·OB ，∵OB =12BE ，∴DE ·OC =12BE 2．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，解本题的关键是熟练掌握切线的判定方法．模型2. 燕尾模型条件：OA ，OB 是⊙O 的半径，OC =OD 。

一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

推出△ACD≌△BAO
根据全等三角形的性质得到
CD=AO，AD=OB
由A点的坐标为（0，2），B点的坐标（4，0），得到
OA=2，OB=4，即可得到结论
y
A
24
O
CD
Bx
例.已知：在平面直角坐标系中．放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A 点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4，0），求C点的坐标。
解 如图2，当C点在第三象限时，过C作CD⊥y轴于D ： ，由（1）同理得△ACD≌△BAO，
∴CD=AO=2，AD=OB=4， ∴CD=2，OD=2 ∴C2（-2，-2）； 综上所述，C点的坐标为（2，6）；（-2，-2）
y
A
B
O2
x
C2 D
图2
再见
y
推出△ACD≌△BAO
DC
根据全等三角形的性质得到CD=AO，AD=OB 由A点的坐标为（0，2），B点的坐标（4，0），得到
A 2
O4B
x
OA=2，OB=4,即可得到结论；
例.已知：在平面直角坐标系中．放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A 点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4，0），求C点的坐标。
A 2
在△ACD与△BAO中，
∴CD=2，AD=4，
O4 B
x
ADC BOA ACD BAO
∴C1（2，6）；
图1
AC BA
例.已知：在平面直角坐标系中．放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A 点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4，0），求C点的坐标。
分析：
当C点在第三象限时，过C作CD⊥y轴于D， 根据余角的性质得到∠ACD=∠OAB