广东省汕头市2018-2019学年高二数学上册期末测试题2

2018-2019广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．52．i是虚数单位，复数z=a+i（a∈R）满足z2+z=1﹣3i，则|z|=（）A．或B．2或5 C． D．53．设向量与的夹角为θ，且，则cosθ=（）A．B．C．D．4．已知，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A ．4 B．C．D．26．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+a n+1，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．8．在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为a，含x7项的系数为b，则=（）A．B． C．D．9．设实数x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为（）A．B．10 C．8 D．510．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A．B．C．D．11．已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B 分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3 B．2 C．D．12．已知函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，则使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．二项式的展开式中含x项的系数为．14．若x，y满足，则的取值范围是．15．如图，已知正三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABC 的距离为1，且AB=3，则球O的表面积为．16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上的一点，若，，则双曲线C的离心率是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N+，有2S n=a n2+a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，设{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．18．甲、乙两家商场对同一种商品展开促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示转盘，当指针指向阴影部分（图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有4个白球，4个红球和4个篮球的盒子中一次性摸出3球（这些球初颜色外完全相同），如果摸到的是3个不同颜色的球，即为中奖．（Ⅰ）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？说明理由；（Ⅱ）记在乙商场购买该商品的顾客摸到篮球的个数为X，求X的分布列及数学期望．19．如图，几何体EF﹣ABCD中，DE⊥平面ABCD，CDEF是正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，△ACB的腰长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）求二面角B﹣AF﹣C的大小．20．已知抛物线y2=2px（p＞0），过点C（﹣2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，且=12（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当以AB为直径的圆的面积为16π时，求△AOB的面积S的值．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）有两个不同的零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个零点分别为x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立，求λ的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（Ⅰ）把C1的参数方程式化为普通方程，C2的极坐标方程式化为直角坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2焦点的极坐标（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）．23．设函数．（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求实数a的取值范围．2018-2019广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集体合A和B，由此以求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}={﹣1，0，3，8}，∴A∩B={﹣1，0，3}，∴A∩B中元素的个数是3．故选：B．2．i是虚数单位，复数z=a+i（a∈R）满足z2+z=1﹣3i，则|z|=（）A．或B．2或5 C． D．5【考点】复数求模．【分析】把复数z代入z2+z化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解得到a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵复数z=a+i，∴z2+z=（a+i）2+a+i=（a2+a﹣1）+（2a+1）i=1﹣3i，∴，解得a=﹣2．复数z=a+i=﹣2+i．则|z|=．故选：C．3．设向量与的夹角为θ，且，则cosθ=（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件求得，=的坐标，再根据cosθ=计算求得它的值．【解答】解：∵向量与的夹角为θ，且，∴==（2，1），则cosθ===﹣，故选：A．4．已知，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意和二倍角的正切公式求出tan2θ的值，由两角差的正切公式求出的值．【解答】解：由得，==，所以===，故选D．5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）A．4 B．C．D．2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×1=1，底面周长为：2+2×=2+2，故棱柱的表面积S=2×1+2×（2+2）=6+4，故选：B．6．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+a n+1，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}为等差数列，设公差为d，则当n≥2时，b n﹣b n﹣1=a n+a n+1﹣a n﹣1﹣a n=a n+1﹣a n+a n﹣a n﹣1=2d为常数，则数列{b n}为等差数列，即充分性成立，若数列{b n}为等差数列，设公差为b，则n≥2时，b n﹣b n﹣1=a n+a n+1﹣a n﹣1﹣a n=a n+1﹣a n﹣1=d为常数，则无法推出a n﹣a n﹣1为常数，即无法判断数列{a n}为等差数列，即必要性不成立，即“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”充分不必要条件，故选：A7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的b，a，i的值，观察a的取值规律，可得当i=40时不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，a=﹣4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=2满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣，a=﹣，i=3满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=4满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣1，a=﹣1，i=5…观察规律可知，a的取值周期为3，由于40=3×13+1，可得：满足条件i＜40，执行循环体，b=﹣4，a=﹣4，i=40不满足条件i＜40，退出循环，输出a的值为﹣4．故选：C．8．在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为a，含x7项的系数为b，则=（）A．B． C．D．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，即可得出结论．【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，∴=﹣，故选D．9．设实数x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为（）A．B．10 C．8 D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域为：z=x2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然A到原点距离的平方最小，由，可得A（3，1），则z=x2+y2的最小值为：10．故选：B．10．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．11．已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF⊥x轴，∴设M（﹣c，0），则A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率k=﹣，则AE的方程为y=﹣（x﹣a），令x=0，则y=，即N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=，则2（c﹣a）=a+c，即c=3a，则离心率e==3，故选：A12．已知函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，则使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求出+2x，再由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，解之即可求出使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2，∴+2x，当x=0时，f′（x）=0，f（x）取最小值，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∵f（x）=ln（e x+e﹣x）+x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴f（2x）＞f（x+3）等价于|2x|＞|x+3|，整理，得x2﹣2x﹣3＞0，解得x＞3或x＜﹣1，∴使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．二项式的展开式中含x项的系数为70．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x项的指数为1求出r的值，再计算含x项的系数．【解答】解：二项式的展开式中，通项公式为T r+1=••=•，令4﹣=1，解得r=4；所以展开式中含x项的系数为=70．故答案为：70．14．若x，y满足，则的取值范围是．【考点】基本不等式．【分析】由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．∴．∴的取值范围是．故答案为：．15．如图，已知正三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABC 的距离为1，且AB=3，则球O的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积．【解答】.解：设正△ABC的外接圆圆心为O 1，知O1A=，在Rt△OO1A中，∵球心O到平面ABC的距离为1，∴OA==2，∴球O的表面积为4π×22=16π．故答案为：16π．16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上的一点，若，，则双曲线C的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义，结合三角形中线长的计算，建立方程，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：设=2m，则2m﹣m=2a，∴m=2a，∵，∴利用三角形中线长的计算可得16a2+4a2+4c2=2（16a2+4a2），∴c=a，∴e==，故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N+，有2S n=a n2+a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，设{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用2a n+1=2S n+1﹣2S n整理得a n+1﹣a n=1，进而计算可得结论；（2）通过分母有理化可知b n=﹣，并项相加即得结论．【解答】（1）解：∵2S n=a n2+a n，∴2S n+1=a n+12+a n+1，∴2a n+1=2S n+1﹣2S n=（a n+12+a n+1）﹣（a n2+a n）=a n+12+a n+1﹣a n2﹣a n，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）=a n+1+a n，∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=1，数列是公差为1的等差数列，又∵2a1=2S1=，∴a1=1，∴a n=n；（2）证明：∵a n=n，∴b n====﹣=﹣，∴T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣＜1．18．甲、乙两家商场对同一种商品展开促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示转盘，当指针指向阴影部分（图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有4个白球，4个红球和4个篮球的盒子中一次性摸出3球（这些球初颜色外完全相同），如果摸到的是3个不同颜色的球，即为中奖．（Ⅰ）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？说明理由；（Ⅱ）记在乙商场购买该商品的顾客摸到篮球的个数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用几何概率计算公式即可得出．（II）利用超几何分布列的性质即可得出．【解答】解：（I）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A，食言的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πr2（r为圆盘的半径），阴影区域的面积为．所以，设顾客去乙商场一次摸出3个不同颜色的球为事件B，则一切等可能得结果有种；所以．因为P（A）＜P（B），所以顾客在乙商场中奖的可能性大些．（Ⅱ）由题意知，X的取值为0，1，2，3．则，P（X=1）==，，，所以X的分布列为P故ε的数学期望．19．如图，几何体EF﹣ABCD中，DE⊥平面ABCD，CDEF是正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，△ACB的腰长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）求二面角B﹣AF﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）证明AC⊥BC．DE⊥BC．得到CF⊥BC．即可证明BC⊥平面ACF．推出BC⊥AF．（Ⅱ）以点D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABF的法向量，平面ACF的一个法向量，设二面角B﹣AF﹣C的大小为θ，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（I）证明：因为△ACB是腰长为的等腰直角三角形，所以AC⊥BC．因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥BC．又DE∥CF，所以CF⊥BC．又AC∩CF=C，所以BC⊥平面ACF．所以BC⊥AF．（Ⅱ）解：以点D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系：因为△ACB是腰长为的等腰直角三角形，所以，．所以，．所以DE=EF=CF=2．则点A（2，0，0），F（0，2，2），C（0，2，0），B（2，4，0）．则．设平面ABF的法向量为，则由得得得令x=1，得是平面ABF的一个法向量；易知平面ACF的一个法向量；设二面角B﹣AF﹣C的大小为θ，则，又θ∈（0°，180°），解得θ=60°．故二面角B﹣AF﹣C的大小为60°．20．已知抛物线y2=2px（p＞0），过点C（﹣2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，且=12（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当以AB为直径的圆的面积为16π时，求△AOB的面积S的值．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（I）设l：x=my﹣2，代入y2=2px，得y2﹣2pmx+4p=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理结合，求解p，即可得到抛物线方程．（Ⅱ）由联立直线与抛物线方程，得到y2﹣4my+8=0，利用弦长公式，以AB为直径的圆的面积为16π，求出圆的直径，推出，求解m，求解原点O（0，0）到直线的距离，然后求解三角形的面积．【解答】解：（I）设l：x=my﹣2，代入y2=2px，得y2﹣2pmx+4p=0，（*）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pm，y1y2=4p，则，因为，所以x1x2+y1y2=12，即4+4p=12，解得p=2．所以抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）由（I）（*）化为y2﹣4my+8=0，则y1+y2=4m，y1y2=8．又，因为以AB为直径的圆的面积为16π，所以圆的半径为4，直径|AB|=8．则，得（1+m2）（16m2﹣32）=64，得m4﹣m2﹣6=0，得（m2﹣3）（m2+2）=0，得m2=﹣2（舍去）或m2=3，解得．当时，直线l的方程为，原点O（0，0）到直线的距离为，且|AB|=8，所以△AOB的面积为；当时，直线l的方程为，原点O（0，0）到直线的距离为，且|AB|=8，所以△AOB的面积为．综上，△AOB的面积为4．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）有两个不同的零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个零点分别为x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立，求λ的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同跟等价于函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．利用导数研究函数的单调性极值与最值，画出图象即可得出．（Ⅱ）由（I）可知x1，x2分别为方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，因此原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．因此原式等价于．即恒成立．令，则不等式在t∈（0，1）上恒成立．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（I）依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同跟等价于函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又，即当0＜x＜e时，g'（x）＞0；当x＞e时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．从而．又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→∞，在x→+∞时，g（x）→0，所以g（x）的草图如下：可见，要想函数与函数y=a在图象（0，+∞）上有两个不同交点，只需．（Ⅱ）由（I）可知x1，x2分别为方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2）．因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于．因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，则，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h'（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调递增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意；当λ2＜1时，可见当t∈（0，λ2）时，h'（t）＞0；当t∈（λ2，1）时，h'（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调递增，在t∈（λ2，1）时单调递减．又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式1+λ＜lnx1+λlnx2恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（Ⅰ）把C1的参数方程式化为普通方程，C2的极坐标方程式化为直角坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2焦点的极坐标（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数θ，化为普通方程．由ρ=1，得ρ2=1，再将代入ρ2=1，可得C2的直角坐标方程．（Ⅱ）由，解得，再化为极坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数θ，化为普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，即C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，由ρ=1，得ρ2=1，再将代入ρ2=1，得x2+y2=1，即C2的直角坐标方程为x2+y2=1．（Ⅱ）由，解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为．23．设函数．（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求实数a的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】（Ⅰ）当a=5时，，即|2x+1|+|2x﹣2|≥5，讨论x 的取值，去掉绝对值，求出x的取值范围；（Ⅱ）由题意|2x+1|+|2x﹣2|﹣a≥0恒成立，即|2x+1|+|2x﹣2|≥a，求出|（2x+1）+（2x﹣2）|的最小值，即得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，，令|2x+1|+|2x﹣2|﹣5≥0，得|2x+1|+|2x﹣2|≥5，则或或，解得x≤﹣或∅或．故函数f（x）的定义域是；（Ⅱ）由题设知，当x∈R时，恒有|2x+1|+|2x﹣2|﹣a≥0，即|2x+1|+|2x﹣2|≥a．又|2x+1|+|2x﹣2|≥|（2x+1）+（2x﹣2）|=3，∴a≤3，故实数a的取值范围是（﹣∞，3]．。

潮阳区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．2． 若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f ′（x ）＞0的解集为（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞）C ．（2，+∞）D ．（﹣1，0）3． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（ ）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N ==4． 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）A ．14B ．12C ．D ．5． 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（ ）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．6． 已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ） A ．1或﹣3 B ．﹣1或3 C ．1或3D ．﹣1或﹣37． “互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．408． （+）2n （n ∈N *）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）A ．120B ．210C ．252D ．459． 已知全集为R ，集合{}|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()R A B =ð（ ）A ．{}2,0,2-B ．{}2,2,4-C ．{}2,0,3-D ．{}0,2,4 10．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（）A．80＋20πB．40＋20πC．60＋10πD．80＋10π11．如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（）A．4 B．5 C．32D．3312．函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）B．（1，+∞）C．[1，2）∪（2，+∞）D．[1，+∞）二、填空题13．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．14．已知命题p ：实数m 满足m 2+12a 2＜7am （a ＞0），命题q ：实数m满足方程+=1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为 ．15．设函数()()()31321x a x f x x a x a x π⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，，，若()f x 恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．16．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）17．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．18．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm 和4cm ,侧棱长为2cm ,则其表面积为__________2cm .三、解答题19．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金． （1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？20．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ． （Ⅰ）求证：AB ⊥SC ；（Ⅱ）设D ，F 分别是AC ，SA 的中点，点G 是△ABD 的重心，求证：FG ∥平面SBC ； （Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A ﹣FD ﹣G 的余弦值．21．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++<．22．（本小题满分12分） 已知函数21()x f x x +=，数列{}n a 满足：12a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭（N n *∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.23．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中，侧棱1A A ^底面ABCD ，//AB DC ，AB AD ^，1AD CD ＝＝，12AA AB ＝＝，E 为棱1AA 的中点.（Ⅰ）证明：11B C ^面1CEC ；（II ）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A，求线段AM 的长.11124．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．潮阳区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】A 【解析】2． 【答案】C【解析】解：由题，f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=2x ﹣2﹣，令2x ﹣2﹣＞0，整理得x 2﹣x ﹣2＞0，解得x ＞2或x ＜﹣1，结合函数的定义域知，f ′（x ）＞0的解集为（2，+∞）． 故选：C ．3． 【答案】A 【解析】试题分析：通过列举可知{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±±，所以M P N =⊆.考点：两个集合相等、子集．1 4． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知函数定义域为),0(+∞，2'222()x x a f x x++=，因为函数2()2ln 2f x a x x x=+-（a R ∈）在定义域上为单调递增函数0)('≥x f 在定义域上恒成立，转化为2()222h x x x a =++在),0(+∞恒成立，10,4a ∴∆≤∴≥，故选A. 1考点：导数与函数的单调性． 5． 【答案】D【解析】当OC ⊥平面AOB 平面时，三棱锥O ABC -的体积最大，且此时OC 为球的半径．设球的半径为R ，则由题意，得211sin 6032R R ⨯⨯︒⋅=6R =，所以球的体积为342883R π=π，故选D ． 6． 【答案】A【解析】解：两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，所以=≠，解得 a=﹣3，或a=1． 故选：A ．7． 【答案】B 【解析】试题分析：设从青年人抽取的人数为800,,2050600600800x x x ∴=∴=++，故选B ． 考点：分层抽样． 8． 【答案】B【解析】【专题】二项式定理．【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n ，可求常数项．【解答】解：由已知（+）2n （n ∈N *）展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，又展开式的通项为=，令5﹣=0解得k=6，所以展开式的常数项为=210；故选：B【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n ，利用通项求特征项．9． 【答案】A 【解析】考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 10．【答案】【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．依题意得（2r ×2r ＋12πr 2）×2＋5×2r ×2＋5×2r ＋πr ×5＝92＋14π，即（8＋π）r 2＋（30＋5π）r －（92＋14π）＝0， 即（r －2）[（8＋π）r ＋46＋7π]＝0， ∴r ＝2，∴该几何体的体积为（4×4＋12π×22）×5＝80＋10π.11．【答案】D 【解析】试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直，面AEFG ⊥面,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,根据几何体的性质得：AC GC ==GE ==4,BG AD EF CE ====,所以最长为GC =考点：几何体的三视图及几何体的结构特征． 12．【答案】C【解析】解：要使函数f （x ）有意义，则，即，解得x ≥1且x ≠2， 即函数f （x ）的定义域为[1，2）∪（2，+∞）．故选：C ．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．二、填空题13．【答案】≤a＜1或a≥2．【解析】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．14．【答案】[，]．【解析】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a，实数m满足方程+=1表示的焦点在y轴上的椭圆，则，，解得1＜m＜2，若p是q的充分不必要条件，则，解得，故答案为[，]．【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p ，q 的等价条件是解决本题的关键．15．【答案】11[3)32⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦，，【解析】考点：1、分段函数；2、函数的零点.【方法点晴】本题考查分段函数，函数的零点，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想、数形结合思想和转化化归思想，综合性强，属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想，对()3x g x a =-于轴的交点个数进行分情况讨论，特别注意：1.在1x <时也轴有一个交点式，还需31a ≥且21a <；2. 当()130g a =-≤时，()g x 与轴无交点，但()h x 中3x a =和2x a =，两交点横坐标均满足1x ≥.16．【答案】必要而不充分 【解析】试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 17．【答案】3-【解析】作出可行域如图所示：作直线0l ：30x y +=，再作一组平行于0l 的直线l ：3x y z a +=-，当直线l 经过点5(,2)3M 时，3z a x y -=+取得最大值，∴max 5()3273z a -=⨯+=，所以max 74z a =+=，故3a =-．18．【答案】12320 【解析】考点：棱台的表面积的求解.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C 103=120，奖金的可能取值是0，30，60，240，∴一等奖的概率P （ξ=240）=，P（ξ=60）=P（ξ=30）=，P（ξ=0）=1﹣∴变量的分布列是ξ0 30 60 240∴E ξ==20（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣四次抽奖是相互独立的∴中奖次数η～B（4，）∴Dη=4×【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．20．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴SA⊥AB，又AB⊥AC，SA∩AC=A，∴AB⊥平面SAC，又AS⊂平面SAC，∴AB⊥SC．（Ⅱ）证明：取BD中点H，AB中点M，连结AH，DM，GF，FM，∵D，F分别是AC，SA的中点，点G是△ABD的重心，∴AH过点G，DM过点G，且AG=2GH，由三角形中位线定理得FD∥SC，FM∥SB，∵FM∩FD=F，∴平面FMD∥平面SBC，∵FG⊂平面FMD，∴FG∥平面SBC．（Ⅲ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，∵SA=AB=2，AC=4，∴B（2，0，0），D（0，2，0），H（1，1，0），A（0，0，0），G（，，0），F（0，0，1），=（0，2，﹣1），=（），设平面FDG的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取y=1，得=（2，1，2），又平面AFD的法向量=（1，0，0）， cos＜，＞==．∴二面角A ﹣FD ﹣G的余弦值为．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．21．【答案】（1）131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭或；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭或；（2）由于{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，其前项和为()1114414n -<+.考点：数列与裂项求和法．1 22．【答案】【解析】（1）∵211()2x f x x x+==+，∴11()2n n n a f a a +==+.即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=. （5分） （2）∵数列{}n a 是等差数列，∴1()(22)(1)22n n a a n n nS n n ++===+， ∴1111(1)1n S n n n n ==-++. （8分） ∴1231111n n T S S S S =++++ 11111111()()()()1223341n n =-+-+-++-+111n =-+1nn =+. （12分） 23．【答案】【解析】【命题意图】本题考查直线和平面垂直的判定和性质、直线和平面所成的角、两点之间的距离等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力24．【答案】 【解析】解：（1）如图（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，设长方体体积为V 1，小三棱锥的体积为V 2，则根据图中所给条件得：V 1=6×4×4=96cm 3，V 2=••2•2•2=cm 3，∴V=v 1﹣v 2=cm 3（3）证明：如图，在长方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，连接AD ′，则AD ′∥BC ′因为E ，G 分别为AA ′，A ′D ′中点，所以AD ′∥EG ，从而EG ∥BC ′， 又EG ⊂平面EFG ，所以BC ′∥平面EFG ；2016年4月26日。

2018-2019学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小愿，每小题5分，瀹分60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）若命题P：∃x0∈R，使得sin x0＝﹣，则（）A．￢p：∀x∈R，都有sin x＞﹣B．￢p：∀x∈R，都有sin x＜﹣C．￢p：∃x0∈R，使得sin x0≠﹣D．￢p：∀x∈R，都有sin x≠﹣2．（5分）设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论一定成立的是（）A．a﹣c＞b﹣d B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．＞3．（5分）根据所给数列前五项的规律，判断数列1，，，，3…，3共有（）个项A．27B．9C．13D．144．（5分）△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知sin A：sin B＝3：5，c ＝2b﹣a，则cos B＝（）A．B．C．D．5．（5分）＝（2，m，0），＝（1，3，n﹣1），若∥，则m+2n＝（）A．6B．7C．8D．96．（5分）平面内有定点A、B及动点P，设命题M：“||P A|﹣|PB||为定值”，命题N：“P点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线”，则（）A．M是N的必要不充分条件B．M是N的充分不必要条件C．M是N的充要条件D．M是N的既不充分也不必要条件7．（5分）空间直角坐标系o﹣xyz中，有四个点，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（3，4，5），则D到平面ABC的距离为（）A．3B．C．D．48．（5分）△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a＝15，b＝24，A＝46°，则此三角形解的个数为（）A．一解B．二解C．无解D．解的个数不确定9．（5分）如图，四面体S﹣ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD＝3AE，则＝（）A．++B．++C．++D．++10．（5分）如图，为测一塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB 为45°，再沿AC方向前行20（﹣1）米到达D点，测得∠ADB为30°，则塔高AB 为（）米A．40B．20C．40D．2011．（5分）双曲线M：﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为，则过P （0，1）点且与双曲线M相切的直线l的方程为（）A．y＝±+1B．y＝±x+1C．y＝±x+1D．y＝±x+1 12．（5分）数列{a n}是正项等比数列，满足a n a n+1＝4n，则数列{}的前n项和T n＝（）A．B．C．D．二、填空：本大题共8小题，每小题5分，淌分40分.请将答案填在答题卡相应位置13．（5分）设原命题：“若a+b≤1，则a，b中至少有一个不大于”，则①逆命题是“若a，b中至少有一个不大于，则a+b≤1”②否命题是“若a+b≤1，则a，b中至少有一个大于”③逆否命题是“若a，b中至少有一个不大于，则a+b＞1”则叙述正确的命题序号为．14．（5分）变量x、y满足，则z＝﹣5x+y的最大值为．15．（5分）过点P（3，0）且斜率为k＝的直线l被椭圆C：+＝1所截得的线段长为．16．（5分）数列{a n}满足a1＝﹣1，a2＝3，a n＝a n+1﹣a n+2，则a7＝．17．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB＝3，AD＝AA1＝2，E点在棱D1C1上，且D1E＝D1C1，则直线AE与DB1所成角的余弦值为．18．（5分）设抛物线M：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线方程为x＝﹣1，过点P（p，0）的斜率为k的直线l交抛物线M于A、B二点，|AF|+|BF|＝10，则直线l的斜率k＝．19．（5分）三数成等差数列，和为6，适当排列后，成等比数列，则此三数之积为．20．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝，BC＝CD＝DA＝1，S△ABD、S△BCD分别表示△ABD、△BCD的面积，则S2△ABD+S2△BCD的最大值为．三、解答题：本题共有5个小题，每个小题10分，共50分，请将详细解答过程写在答题卡上，须写出文字说明、证明过程和演算步聊21．（10分）△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a•cos B＝b•sin A．（1）求角B的大小；（2）若b＝，ac＝2，求a+c的值．22．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E、F分别是CD、AB的中点，将△AED沿折痕AE折起，使点D旋转到D1的位置，使平面AED1与平面ABCE垂直，利用建好的空间直角坐标系，使用空间向量坐标法，完成下列问题（改换坐标系或不使用空间向量坐标法不给分）（1）证明：BE⊥平面AED1；（2）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．23．（10分）等差数列{a n}满足a1＝3，2a3＝a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n•3n﹣1”求数列{b n}的前n项和S n．24．（10分）实数x、y满足条件．（1）求的取值范围；（2）当x+取得最小值时，求+的最小值．25．（10分）已知椭圆C：+＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1、F2，C过点M （1，﹣），离心率e＝．（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ为椭圆C过F1的弦，R为PF2的中点，O为坐标原点，求△RF1F2、△OF1Q 面积之和的最大值．2018-2019学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小愿，每小题5分，瀹分60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.1．【解答】解：∵命题P：∃x0∈R，使得sin x0＝﹣，”是特称命题￢p：∀x∈R，都有sin x≠﹣故选：D．2．【解答】解：A、∵a＞b，c＞d，∴﹣c＜﹣d，∴a+c与b+c无法比较大小，故本选项错误；B、∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b﹣d，故本选项正确；C、当a＞b，c＞d＞0时，ac＞bd，故本选项错误；D、当a＞b，c＞d＞0时，，故本选项错误．故选：B．3．【解答】解：数列1，，，，3…，3，可得a n＝，则＝3，即2n﹣1＝27，解得n＝14，故选：D．4．【解答】解：∵sin A：sin B＝3：5，∴由正弦定理可得：，可得：a＝b，∴c＝2b﹣a＝b，∴cos B＝＝＝．故选：A．5．【解答】解：∵＝（2，m，0），＝（1，3，n﹣1），∥，∴，且n﹣1＝0，解得m＝6，n＝1，∴m+2n＝8．故选：C．6．【解答】解：命题M是：“|P A|﹣|PB|是定值”，命题N是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的双曲线”，∵当一个动点到两个顶点距离之差的绝对值等于定值时，再加上这个值小于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是双曲线，没有加上的条件：“差的绝对值”不能推出，而点P的轨迹是以A．B为焦点的双曲线，一定能够推出|P A|﹣|PB|是定值，∴M是N成立的必要不充分条件．故选：A．7．【解答】解：∵空间直角坐标系o﹣xyz中，有四个点，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（3，4，5），∴＝（2，4，5），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），设平面ABC的法向量＝（x，y，z），则，取＝（1，1，1），∴D到平面ABC的距离为：d＝＝＝．故选：C．8．【解答】解：△ABC中，a＝15，b＝24，A＝46°，由正弦定理得，＝，∴sin B＝sin46°＞×sin45°＝×＞×0.7＞1，∴B的值不存在，此三角形无解．故选：C．9．【解答】解：四面体S﹣ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD＝3AE，∴＝＝+×＝++＝+（）+（）＝++．故选：B．10．【解答】解：Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°，得AC＝x，Rt△ABD中，AD＝x+20（﹣1），∠ADB＝30°，∴＝tan30°，＝，解得x＝20，则塔高AB为20米．故选：D．11．【解答】解：可得b＝1，⇒⇒a2＝2，∴双曲线M：．由可得（1﹣2k2）x2﹣4kx﹣4＝0．△＝16k2+16（1﹣2k2）＝0，且1﹣2k2≠0，k＝±1．∴直线l的方程为：y＝±x+1，故选：B．12．【解答】解：数列{a n}是正项等比数列，公比设为q（q＞0），由a n a n+1＝4n，可得a1a2＝a12q＝4，a2a3＝a12q3＝16，解得a1＝，q＝2，a n＝a1q n﹣1＝•2n﹣1＝2，则数列＝＝＝＝2（﹣），则前n项和T n＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．故选：A．二、填空：本大题共8小题，每小题5分，淌分40分.请将答案填在答题卡相应位置13．【解答】解：①逆命题是“若a，b中至少有一个不大于，则a+b≤1”，正确②否命题是“若a+b＞1，则a，b都不大于”，故②错误，③逆否命题是“若a，b中都不大于，则a+b＞1”，故③错误，故正确的是①，故答案为：①14．【解答】解：变量x、y满足的可行域如图，由图象可知：目标函数z＝﹣5x+y过点B（0，2）时z取得最大值，z max＝2，故答案为：2．15．【解答】解：过点P（3，0）且斜率为k＝的直线l的方程为y＝（x﹣3），代入椭圆C：+＝1可得x2﹣3x﹣8＝0，设弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝3，x1x2＝﹣8，即有弦长为|AB|＝•＝•＝．故答案为：．16．【解答】解：根据题意，{a n}满足a n＝a n+1﹣a n+2，则a n+2＝a n+1﹣a n，又由a1＝﹣1，a2＝3，则a3＝a2﹣a1＝3﹣（﹣1）＝4，a4＝a3﹣a2＝4﹣3＝1，a5＝a4﹣a3＝1﹣4＝﹣3，a6＝a5﹣a4＝（﹣3）﹣1＝﹣4，a7＝a6﹣a5＝（﹣4）﹣（﹣3）＝﹣1，故答案为：﹣117．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB＝3，AD＝AA1＝2，E点在棱D1C1上，且D1E＝D1C1，∴A（2，0，0），E（0，1，2），D（0，0，0），B1（2，3，2），＝（﹣2，1，2），＝（2，3，2），设直线AE与DB1所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AE与DB1所成角的余弦值为．故答案为：．18．【解答】解：∵抛物线M：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1，∴y2＝4x，故过点P（p，0）的斜率为k的直线l方程可设为：y＝k（x﹣2）．由⇒k2x2﹣（4k2+4）x+4＝0．△＝（4k2+4）﹣16k2＞0，，∵，|AF|+|BF|＝＝10．∴x1+x2＝4+，∴k＝±1．故答案为：±1．19．【解答】解：设三个数分别为a﹣d，a，a+d，则（a﹣d）+a+（a+d）＝3a＝6，即a＝2．因此三个数分别为2﹣d，2，2+d．若三数适当排列后，成等比数列，则有（2﹣d）2＝2（2+d）时，解得d＝0或d＝6，三个数分别为2，2，2或﹣4，2，8，乘积为﹣64或8；当（2+d）2＝2（2﹣d）时，解得d＝0或d＝﹣6，三个数分别为2，2，2或8，2，﹣4，乘积为﹣64或8．因此，三个数的乘积为﹣64或8．故答案为：﹣64或8．20．【解答】解：∵S△ABD＝•AB•AD•sin A＝sin A，S△BCD＝•CD•BC•sin C＝sin C，∵BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos A＝4﹣2cos A，BD2＝CD2+BC2﹣2CD•BC•cos C＝2﹣2cos C，∴4﹣2cos A＝2﹣2cos C，cos C＝cos A﹣1，则S2△ABD+S2△BCD＝sin2A+sin2C＝（1﹣cos2A）+（1﹣cos2C）＝1﹣cos2A﹣cos2C＝1﹣cos2A﹣（cos A﹣1）2＝﹣（cos A﹣）2+．∴当cos A＝时，则S2△ABD+S2△BCD取最大值．故答案为：．三、解答题：本题共有5个小题，每个小题10分，共50分，请将详细解答过程写在答题卡上，须写出文字说明、证明过程和演算步聊21．【解答】解：（1）∵a•cos B＝b•sin A，又∵由正弦定理，可得：a•sin B＝b•sin A，∴a•cos B＝a•sin B，∴tan B＝1，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵B＝，b＝，ac＝2，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：12﹣2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣2ac﹣＝（a+c）2﹣2×2﹣，∴解得：a+c＝4．22．【解答】（1）证明：以E为坐标原点，分别以EF，EC所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，∵AB＝6，AD＝3，E、F分别是CD、AB的中点，平面AED1与平面ABCE垂直，∴E（0，0，0），B（1，1，0），A（1，﹣1，0），C（0，1，0），．，，．∵，，∴BE⊥EA，BE⊥ED1，又EA∩ED1＝E，∴BE⊥平面AED1；（2）解：，，．设平面EAD1与平面EBD1的一个法向量分别为，．由，取y1＝1，得；由，取z2＝1，得．∴cos＜＞＝＝．由图可得，二面角A﹣D1E﹣C为钝二面角，∴二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为．23．【解答】解：（1）设公差为d的等差数列{a n}满足a1＝3，2a3＝a6．所以：，解得：d＝3，故：a n＝a1+3（n﹣1）＝3n．（2）由于：a n＝3n，所以：，则：①所以：②，①﹣②得：﹣2，整理得：．24．【解答】解：（1）实数x、y满足条件的可行域如图：A（，），B（2，3），的几何意义是可行域内的点与D（3，2）连线的斜率，可得DA的斜率取得最大值为＝，DB的斜率最小值为＝﹣，可得：的取值范围[﹣，]．（2）z＝x+经过A（，），与AC重合时，z取得最小值，可得：+的最小值为：1．25．【解答】解：（1）由e＝＝，设a＝2t，c＝t，t＞0，可得b＝t，椭圆方程为+＝1，代入M，可得+＝1，可得t＝1，则a＝2，b＝，c＝1，可得椭圆方程为+＝1；（2）由O，R分别为F1F2，PF2的中点，可得△RF1F2的面积为△PF1F2的面积的一半，即为△PF1O的面积，△RF1F2、△OF1Q面积之和设为S，则S＝S△PQO，当直线PQ的斜率不存在时，其方程为x＝﹣1，此时S△PQO＝×1×[﹣（﹣）]＝；当直线PQ的斜率存在时，设其方程为：y＝k（x+1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线PQ不与x轴重合，即k≠0；联立，解得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，△＝144（k2+1）＞0，故x1+x2＝﹣，x1x2＝，故|PQ|＝|x1﹣x2|＝＝，点O到直线PQ的距离d＝，S＝|PQ|d＝6，令u＝3+4k2∈（3，+∞），故S＝6＝＝∈（0，），故S的最大值为．赠送—初中英语总复习知识点归纳并列句and 和，并且， work hard, and you can pass the exam.but 但是he is rich but he is not happy.For 因为 I have to stay up late, for I have a lot of work to do. 状语从句当状语从句的引导词为If, when, before, after, until, as soon as 等，主句和从句有下列情况：英语句子中如果一看到 Thought----but----; because----so---这种结构,就是错误.倒装句so+助动词\BE动词\情态动词+另一主语，表示后者与前者一致。

潮阳区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知全集，集合，集合，则集合为R U ={|||1,}A x x x R =≤∈{|21,}xB x x R =≤∈U AC B （ ） A.B.C.D.]1,1[-]1,0[]1,0()0,1[-【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.2． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ）A ．（4，1，1）B ．（﹣1，0，5）C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）3． 已知全集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个4． 如图框内的输出结果是（）A ．2401B ．2500C ．2601D ．27045． 已知点P （1，﹣），则它的极坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．6． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．π7． 若a=ln2，b=5，c=xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（）A ．a ＜b ＜cB B ．b ＜a ＜cC C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a8． 数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ）A ．B ．C ．D ．9． 已知实数x ，y 满足有不等式组，且z=2x+y 的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值是（）A ．2B ．C ．D ．10．定义在上的偶函数满足，对且，都有R ()f x (3)()f x f x -=-12,[0,3]x x ∀∈12x x ≠，则有（ ）1212()()0f x f x x x ->-A ． B ．(49)(64)(81)f f f <<(49)(81)(64)f f f <<C. D ．(64)(49)(81)f f f <<(64)(81)(49)f f f <<11．函数y=2sin 2x+sin2x 的最小正周期（ ）A ．B ．C ．πD ．2π12．若如图程序执行的结果是10，则输入的x 的值是（）A ．0B ．10C ．﹣10D ．10或﹣10二、填空题13．已知过双曲线的右焦点的直线交双曲线于两点，连结，若22221(0,0)x y a b a b-=>>2F ,A B 11,AF BF ，且，则双曲线的离心率为（ ）1||||AB BF =190ABF ∠=︒A ．BC ．D5-6-【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ．15．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则值等于 ．16．log 3+lg25+lg4﹣7﹣（﹣9.8）0= ．17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n = ．　18．设函数()()()31321x a x f x x a x a x π⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，，，若()f x 恰有2个零点，则实数的取值范围是．三、解答题19．已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。

潮阳区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．复数z=（其中i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．﹣i B．﹣﹣i C．+i D．﹣+i3．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（）A．10个B．15个C．16个D．18个4．下列结论正确的是（）A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β．B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β．C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α5．设a=0.5，b=0.8，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c6．已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f （x）=（）A．x3+2x2B．x3﹣2x2C．﹣x3+2x2D．﹣x3﹣2x27．△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线上，则=（）A．B．C．D．±8．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．9． 函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）A ．（0，1）B ．（0，3）C ．（1，0）D ．（3，0）10．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假11．设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．￢p 或qD ．p 且￢q12．抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．3二、填空题13．= ．14．如图所示是y=f （x ）的导函数的图象，有下列四个命题： ①f （x ）在（﹣3，1）上是增函数； ②x=﹣1是f （x ）的极小值点；③f （x ）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数； ④x=2是f （x ）的极小值点．其中真命题为 （填写所有真命题的序号）．15．下列命题：①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个； ②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；③2()(21)2(21)f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数；④A R =，B R =，1:||f x x →，从集合A 到集合B 的对应关系f 是映射； ⑤1()f x x=在定义域上是减函数． 其中真命题的序号是 ．16．二面角α﹣l ﹣β内一点P 到平面α，β和棱l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是度．17．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．18．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.三、解答题19．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．20．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 为数列{}n a 的前项和，111a b ==，且3336b S =，228b S =（*n N ∈）．（1）求n a 和n b ； （2）若1n n a a +<，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T ．21．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =na n ﹣n （n ﹣1）． （1）求证：数列{a n }为等差数列，并分别求出a n 的表达式；（2）设数列的前n 项和为P n ，求证：P n ＜；（3）设C n =，T n =C 1+C 2+…+C n ，试比较T n 与的大小．22．（本小题满分12分）已知函数1()ln (42)()f x m x m x m x=+-+∈R ． （1）当2m >时，求函数()f x 的单调区间； （2）设[],1,3t s ∈，不等式|()()|(ln3)(2)2ln3f t f s a m -<+--对任意的()4,6m ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．23．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．24．如图：等腰梯形ABCD，E为底AB的中点，AD=DC=CB=AB=2，沿ED折成四棱锥A﹣BCDE，使AC=．（1）证明：平面AED⊥平面BCDE；（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．潮阳区外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．2．【答案】C【解析】解：∵z==，∴=．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．【答案】B【解析】解：a※b=12，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，所以满足条件的个数为4+11=15个．故选B4．【答案】B【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；D中选项也可能相交．故选：B．【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5．【答案】B【解析】解：∵a=0.5，b=0.8，∴0＜a＜b，∵c=log20.5＜0，∴c＜a＜b，故选B．【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．6．【答案】A【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．7．【答案】D【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线上，∴A与B为双曲线的两焦点，根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，则==±=±．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．8．【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=（x﹣3）e x，∴f′（x）=e x+（x﹣3）e x=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，即（x﹣2）e x＞0，∴x﹣2＞0，解得x＞2，∴函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题，是基础题目．9．【答案】B【解析】解：由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，3），故选B．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．10．【答案】B【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．11．【答案】C【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；故选C．【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．12．【答案】A【解析】解：由，得3x2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立，得3x2﹣4x﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，得m=﹣．所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．二、填空题13．【答案】2．【解析】解：=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．14．【答案】①【解析】解：由图象得：f（x）在（1，3）上递减，在（﹣3，1），（3，+∞）递增，∴①f（x）在（﹣3，1）上是增函数，正确，x=3是f（x）的极小值点，②④不正确；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数，不正确，故答案为：①．15．【答案】①②【解析】试题分析：子集的个数是2n，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③()241=-为偶函数，故错误.f x xx=没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误.对于④0考点：子集，函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2n个；对于奇函数来说，如果在0x =处有定义，那么一定有()00f =，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要根据定义()()()(),f x f x f x f x -=-=-，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A 中任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.116．【答案】 75 度．【解析】解：点P 可能在二面角α﹣l ﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P 在二面角α﹣l ﹣β的内部时，如图，A 、C 、B 、P 四点共面，∠ACB 为二面角的平面角，由题设条件，点P 到α，β和棱l 的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．故答案为：75． 【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关键．17．【答案】()0,2x π∃∈，sin 1≥【解析】试题分析：“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是()0,2x π∃∈，sin 1≥考点：命题否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题. 18．【答案】或 【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数是或．考点：等差数列的性质．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出150a d +=，所以60a =是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的一个易错点．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵f （x ）=x 3+3ax 2+bx ， ∴f'（x ）=3x 2+6ax+b ，又∵f （x ）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f （﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a ﹣b=0，解得：a=，b=1 经检验，合题意．（2）由（1）得f'（x ）=3x 2+4x+1，令f'（x ）=0得x=﹣或x=﹣1，又∵f （﹣2）=﹣2，f （﹣）=﹣，f （﹣1）=0，f （﹣）=﹣，∴f （x ）max =0，f （x ）min =﹣2．20．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=或1(52)3n a n =-，16n n b -=；（2）21n n +. 【解析】试题解析：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为，由题意得2(33)36,(2)8,q d q d ⎧+=⎨+=⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩或2,36.d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴21n a n =-，12n n b -=或1(52)3n a n =-，16n n b -=．（2）若+1n n a a <，由（1）知21n a n =-，∴111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111(1)2335212121n nT n n n =-+-++-=-++…．考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用. 21．【答案】【解析】解：（1）证明：∵S n =na n ﹣n （n ﹣1） ∴S n+1=（n+1）a n+1﹣（n+1）n … ∴a n+1=S n+1﹣S n =（n+1）a n+1﹣na n ﹣2n … ∴na n+1﹣na n ﹣2n=0 ∴a n+1﹣a n =2，∴{a n }是以首项为a 1=1，公差为2的等差数列 … 由等差数列的通项公式可知：a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1， 数列{a n }通项公式a n =2n ﹣1；… （2）证明：由（1）可得，…=…（3）∴，=，两式相减得…=，=，=，=，∴…∴…∵n∈N*，∴2n＞1，∴，∴…22．【答案】请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，解得a=0.03．（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个，如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=．【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和列举法的合理运用．24．【答案】【解析】（1）证明：取ED的中点为O，由题意可得△AED为等边三角形，，，∴AC2=AO2+OC2，AO⊥OC，又AO⊥ED，ED∩OC=O，AO⊥面ECD，又AO⊆AED，∴平面AED⊥平面BCDE；…（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，﹣1，0），A（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），，，，设面EAC的法向量为，面BAC的法向量为由，得，∴，∴，由，得，∴，∴，∴，∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…2016年5月3日。

高二数学期中试题高二数学期中试题2018-2019学年广东省汕头市金山中学高二上学期期中考试数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．设，，则A ．B ．C ．D ．2．已知空间的两条直线及两个平面，β，下列四个命题中正确的是①若∥，⊥，则⊥ ；②若∥β，，β，则∥；若∥，∥，则∥；④若∥β，∥，⊥，则⊥β A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③3．已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于A ．20B ．18C ．16D ．144．已知三棱锥A －BCD 中，AD ⊥BC ，AD ⊥CD ，则有 A ．平面ABC ⊥平面ADC B ．平面ADC ⊥平面BCD C ．平面ABC ⊥平面BDC D ．平面ABC ⊥平面ADB5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与AC 所成的角等于 A ．60° B．45° C．30° D．90°6．如果执行下面的框图，输入N ＝5，则输出的数等于A ．B ．C ．D ． 7．“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．椭圆的左右焦点分别为，点P 在椭圆上，轴，且是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．9．如图，在等腰梯形中，,为中点.将与分别沿、折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为A ．B ．C ．D ．10．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2A ．B ．C ．1 D．11．已知方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．已知点P （1，1）及圆C ：，点M ，N 在圆C 上，若PM ⊥PN ，则|MN|的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝ _______14．已知正三棱锥S －ABC 的侧棱长为2，底面边长为1，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值等于______15．菱形ABCD 的边长为2，且∠BAD ＝60°，将三角形ABD 沿BD 折起，得到三棱锥A －BCD ，则三棱锥A －BCD 体积的最大值为____________16．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于_________三、解答题17．已知A 、B 、C 是ABC 的内角，分别是角A ，B ，C 的对边。

2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（4，0）D．（﹣4，0）2．“x2＞1”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在等差数列{a n}中，a1＝2，a3+a5＝10，则a7＝（）A．5B．8C．10D．144．命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∧（￢q）5．函数y＝x cos x﹣sin x在下面哪个区间上是增函数（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）6．若不等式的解集为R，则k的取值范围为（）A．（0，3）B．[0，3]C．（﹣3，0）D．（﹣3，0]7．已知经过椭圆＝1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为（）A．10B．20C．30D．408．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．489．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值10．函数y＝（x2﹣1）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．11．函数f（x）＝a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．12．已知定义在R上的函数g（x）满足g（x）+g'（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．e•g（2018）＞g（2019）B．e•g（2018）＜g（2019）C．g（2018）＞e•g（2019）D．g（2018）＜e•g（2019）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设f（x）＝xlnx，若f'（x0）＝2，则x0＝．14．已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为．15．设变量x，y满足的约束条件，则z＝32x﹣y的最大值．16．已知椭圆，＝1的左右两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）命题p：方程x2﹣x+a2﹣3a＝0有一正根和一负根；命题q：函数y＝x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴有公共点；若命题p∨q为真命题，而命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x＝﹣1．（1）求该抛物线C的方程；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到抛物线C的焦点的距离为5，求M点的坐标．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足b n＝S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知公差不为0的等数列{a n}中，a1＝2，且a2+1．a4+1．a8+1成等比数列．（1）求数列{a n}的公差；（2）设数列{b n}满足b n＝，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1＝的正整数n的值．21．（12分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（），点（2，1）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：以线段PQ为直径的圆恒过原点．22．（12分）已知函数f（x）＝a（x2﹣4）﹣lnx+ln2，其中a是实常数．（1）当a＝1时，求函数图象在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若f（x）在x＝4处取得极值，求a的值；（3）若f（x）≥0在[2，+∞）恒成立，求a的取值范围．2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（4，0）D．（﹣4，0）【分析】数形结合，注意抛物线方程中P的几何意义．【解答】解：抛物线y2＝﹣8x开口向右，焦点在x轴的负半轴上，P＝4，∴＝2，故焦点坐标（﹣2，0），答案选B．【点评】考查抛物线标准方程特征．2．“x2＞1”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由得：二次不等式的解法有：“x2＞1”⇔“x＜﹣1或x＞1“，由命题间的充分必要条件有：“x＜﹣1或x＞1“是“x＞1”的必要不充分条件，得解【解答】解：解不等式“x2＞1”，得：“x＜﹣1或x＞1“，又“x＜﹣1或x＞1“是“x＞1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题3．在等差数列{a n}中，a1＝2，a3+a5＝10，则a7＝（）A．5B．8C．10D．14【分析】由题意可得a4＝5，进而可得公差d＝1，可得a7＝a1+6d，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a1＝2，a3+a5＝10，∴2a4＝a3+a5＝10，解得a4＝5，∴公差d＝＝1，∴a7＝a1+6d＝2+6＝8故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．4．命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∨q D．p∧（￢q）【分析】由于命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，而命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．【解答】解：命题p：由于对已知∀x∈R，x2≥0，则x2+1≥1＞0，则命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，￢p为假命题；命题q：由于对∀θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1，则命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ＝1.5为假命题，￢q为真命题．则p∧q、￢p∧q、￢p∨q为假命题，p∧（￢q）为真命题．故选：D．【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．复合命题的真值表：5．函数y＝x cos x﹣sin x在下面哪个区间上是增函数（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是增函数．【解答】解：y'＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x欲使导数为正，只需x与sin x符号总相反，分析四个选项知，B选项符合条件，故选：B．【点评】考查判断函数单调性的方法．一般可以用定义法，导数法，其中导数法判断函数的单调性比较简便．6．若不等式的解集为R，则k的取值范围为（）A．（0，3）B．[0，3]C．（﹣3，0）D．（﹣3，0]【分析】可分k＝0与k≠0讨论解决，当k≠0时，利用可得k的范围，二者取其并即刻．【解答】解：∵不等式的解集为R，∴当k＝0时，﹣＜0，满足题意；当k≠0时，有解得﹣3＜k＜0，综上所述，﹣3＜k≤0．故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，分k＝0与k≠0讨论是关键，突出考查恒成立问题，属于中档题．7．已知经过椭圆＝1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为（）A．10B．20C．30D．40【分析】△AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF1B的周长．【解答】解：∵F1，F2为椭圆+＝1的两个焦点，∴|AF1|+|AF2|＝10，|BF1|+|BF2|＝10，∴△AF1B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝10+10＝20．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化．8．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．48【分析】利用等比中项的性质求得a3a5＝a2a6，进而根据a3+a5＝20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q 可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．【解答】解：a3a5＝a2a6＝64，∵a3+a5＝20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64＝0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5＝16，a3＝4，∴q＝＝＝2，∴a1＝＝＝1，∴S5＝＝31．故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，等比数列的等比中项的性质的应用．解题过程中巧妙的构造出一元二次方程，较快的求得a3和a5，进而求得a1和q．9．下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“＝”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“＝”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x＝2时取最大值．故选：B．【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．10．函数y＝（x2﹣1）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的函数奇偶性，值域即可判断．【解答】解：因为f（﹣x）＝（x2﹣1）e|x|＝f（x），所以f（x）为偶函数，所以图象关于y轴对称，故排除B，当x→+∞时，y→+∞，故排除A当﹣1＜x＜1时，y＜0，故排除D故选：C．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数奇偶性，值域，属于基础题．11．函数f（x）＝a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n＝1，整体代入可得＝（）（m+n）＝3++，由基本不等式可得．【解答】解：当x﹣1＝0即x＝1时，a x﹣1﹣2恒等于﹣1，故函数f（x）＝a x﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，﹣1），由点A在直线mx﹣ny﹣1＝0上可得m+n＝1，由m＞0，n＞0可得＝（）（m+n）＝3++≥3+2＝3+2当且仅当＝即m＝﹣1且n＝2﹣时取等号，故选：D．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及指数函数的性质，属基础题．12．已知定义在R上的函数g（x）满足g（x）+g'（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．e•g（2018）＞g（2019）B．e•g（2018）＜g（2019）C．g（2018）＞e•g（2019）D．g（2018）＜e•g（2019）【分析】令h（x）＝e x g（x），根据函数的单调性判断出h（2018）＞h（2019）即可．【解答】解：令h（x）＝e x g（x），则h′（x）＝e x（g（x）+g′（x））＜0，故h（x）在R递减，故h（2018）＞h（2019），即g（2018）＞eg（2019），故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设f（x）＝xlnx，若f'（x0）＝2，则x0＝e．【分析】由题意求导f′（x）＝lnx+1，从而得lnx0+1＝2；从而解得．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1；故f′（x0）＝2可化为lnx0+1＝2；故x0＝e；故答案为：e【点评】本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．14．已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为．【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点坐标为（±c，0）．利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b＝c，再用平方关系可算出a＝c，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点坐标为（±c，0），其中c＝∴一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝c，即b＝c，因此，a＝＝c，由此可得双曲线的离心率为e＝＝故答案为：【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与焦距的关系，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．15．设变量x，y满足的约束条件，则z＝32x﹣y的最大值9．【分析】设m＝2x﹣y，作出不等式组对应的平面区域，根据指数函数的单调性只要求出m的最大值即可得到结论．【解答】解：设m＝2x﹣y，得y＝2x﹣m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x﹣m，由平移可知当直线y＝2x﹣m，经过点C时，直线y＝2x﹣m的截距最小，此时m取得最大值，由，解得，即C（1，0）．将C的坐标代入m＝2x﹣y，得m＝2，此时z＝32x﹣y的最大值z＝32＝9，即目标函数z＝32x﹣y的最大值是9．故答案为：9．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．已知椭圆，＝1的左右两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为．【分析】依题意，在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，|F1P|+|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝4，利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值，从而可求得△PF1F2的面积．【解答】解：∵椭圆＝1，∴a＝6，b＝3，c＝5．又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，F1、F2为左右焦点，∴|F1P|+|PF2|＝2a＝12，|F1F2|＝10，|F1F2|2＝（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°＝144﹣3|F1P|•|PF2|＝100，∴|F1P|•|PF2|＝．∴＝|F1P|•|PF2|sin60°＝．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）命题p：方程x2﹣x+a2﹣3a＝0有一正根和一负根；命题q：函数y＝x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴有公共点；若命题p∨q为真命题，而命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【分析】方程x2﹣x+a2﹣3a＝0有一正根和一负根，由韦达定理得：a2﹣3a＜0，即0＜a＜3，函数y＝x2+（2a﹣3）x+1的图象与x轴有公共点，则△＝（2a﹣3）2﹣4≥0，即a或a，列不等式组求解即可【解答】解：当命题p为真时，由韦达定理得：a2﹣3a＜0，即0＜a＜3，当命题求q为真时，则△＝（2a﹣3）2﹣4≥0，即a或a，又命题p∨q为真命题，而命题p∧q为假命题，则命题p、q一真一假，即或，即实数a的取值范围为：a≤0或或a≥3，故答案为：（∪（，）∪[3，+∞）【点评】本题考查了二次方程根的问题及二次函数有零点问题，复合命题及其真假，属简单题18．（12分）已知抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x＝﹣1．（1）求该抛物线C的方程；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到抛物线C的焦点的距离为5，求M点的坐标．【分析】（1）设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），由准线方程可得p，进而得到抛物线的方程；（2）运用抛物线的定义，可得M的横坐标，进而得到M的坐标．【解答】解：（1）抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x＝﹣1，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），可得﹣＝﹣1，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到抛物线C的焦点的距离为5，由抛物线的定义可得x M+1＝5，即x M＝4，可得M的坐标为（4，±4）．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于基础题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足b n＝S n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）求出数列的首项，利用数列的第n项与前n项和的关系求解数列的通项公式．（2）化简通项公式，然后求解数列的和即可．【解答】解：（1）∵，∴当n＝1时，；当n≥2时，，又∵，∴．…（6分）（2）由已知，，∴T n＝b1+b2+b3+…+b n＝（22+23+24+…+2n+1）﹣2n＝．…（12分）【点评】本题考查数列求和，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知公差不为0的等数列{a n}中，a1＝2，且a2+1．a4+1．a8+1成等比数列．（1）求数列{a n}的公差；（2）设数列{b n}满足b n＝，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1＝的正整数n的值．【分析】（1）设公差为d，运用等比数列的中项性质，以及等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；（2）求得b n＝＝，b n b n+1＝＝3（﹣），运用裂项相消求和，化简整理，解方程即可得到所求值．【解答】解：（1）公差d不为0的等数列{a n}中，a1＝2，且a2+1．a4+1．a8+1成等比数列，即有（a4+1）2＝（a2+1）（a8+1），即（3+3d）2＝（3+d）（3+7d），解得d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1；（2）b n＝＝，b n b n+1＝＝3（﹣），b1b2+b2b3+…+b n b n+1＝3（﹣+﹣+…+﹣）＝3×（﹣）＝，解得n＝20．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（），点（2，1）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：以线段PQ为直径的圆恒过原点．【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出椭圆的几何量，即可得到椭圆方程；（2）①椭圆C的右焦点F（，0）．设切线方程为y＝k（x﹣），利用点到直线的距离公式，求出K得到直线方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，得到PQ，然后求解三角形的面积．②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝﹣．利用•＝0，推出OP⊥OQ；（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx+m，通过＝，将直线PQ方程代入椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，结合m2＝2k2+2，•＝0，推出结果．【解答】解：（1）由题意，得c＝，即a2﹣b2＝3，又+＝1，解得a2＝6，b2＝3．所以椭圆的方程为+＝1；（2）①椭圆C的右焦点F（，0）．设切线方程为y＝k（x﹣），即kx﹣y﹣k＝0，由＝，解得k ＝±，所以切线方程为y ＝±（x ﹣）．由方程组可得5x 2﹣8x +6＝0，即有x 1+x 2＝，x 1x 2＝，所以|PQ |＝•＝•＝，因为O 到直线PQ 的距离为，所以△OPQ 的面积为•＝；②（i ）若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝或x ＝﹣．当x ＝时，P （，），Q （，﹣）．因为•＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝﹣时，同理可得OP ⊥OQ ，即有（ii ）若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx +m ，即kx ﹣y +m ＝0．因为直线与圆相切，所以＝，即m 2＝2k 2+2；将直线PQ 方程代入椭圆方程，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则有x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝，因为•＝x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝（1+k 2）•+km （﹣）+m 2，将m 2＝2k 2+2代入上式可得•＝0，所以以线段PQ 为直径的圆恒过原点．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力 22．（12分）已知函数f （x ）＝a （x 2﹣4）﹣lnx +ln 2，其中a 是实常数． （1）当a ＝1时，求函数图象在点（2，f （2））处的切线方程； （2）若f （x ）在x ＝4处取得极值，求a 的值；（3）若f （x ）≥0在[2，+∞）恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，根据函数极值的意义，得到关于a的方程，解出即可；（3）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间，求出函数的最小值，根据f（x）min≥0，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣4﹣lnx+ln2，f′（x）＝2x﹣，故f（2）＝0，f′（2）＝，故切线方程是：y＝（x﹣2），即y＝x﹣7；（2）f′（x）＝2ax﹣，由题意f′（4）＝8a﹣＝0，解得：a＝；（3）f′（x）＝，①a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在[2，+∞）递减，而f（2）＝0，故f（x）≤0在[2，+∞）恒成立，不合题意；②a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝，令＞2，解得：0＜a＜，故0＜a＜时，＞2，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：2＜x＜，故f（x）在[2，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣4a+ln2+lna，问题转化为只需﹣4a+ln2+lna≥0，（0＜a＜），即只需1﹣8a+3ln2+lna≥0（0＜a＜），令h（a）＝1﹣8a+3ln2+lna≥0（0＜a＜），h′（a）＝﹣8+＞0，h（a）在（0，）递增，而h（）＝0，故h（a）＜0在（0，）恒成立，故0＜a＜不合题意，a≥时，≤2，故f（x）在[2，+∞）递增，故只需f（2）≥0即可，而f（2）＝0，满足题意，综上，a≥．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

潮州市2018—2019学年度第一学期高二期末考试数学答案（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13． 18 14． －5 15．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,23 16．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2解释：1、选C ；由B =135°，C =15°得A =30°，由正弦定理Bb A a sin sin =可得2321223=⨯=b ．2、选A ；依题意可q p ⇒成立，反之不成立．3、选C ；由11=a ，84=a 可得公比2=q ，故32516==q a a ．4、选A ；易知选项A 正确，选项B 、C 、D 都错误． 5、选B；由等差数列性质可知，()()()322212333231232221131211333a a a a a a a a a a a a ++=++++++++()189322322212==++=a a a a 6、选D ；1445y x x =+-()75541542554154=+-⋅-≥+-+-=x x x x ，当且仅当54154-=-x x ， 即23=x 时等号成立，故函数最小值为77、选D ；画出可行域，由图可知，仅在点()0,2处取得最大值6 8、选B；∵()()022>=+⋅-⋅-⋅=-⋅-=⋅∴0cos >B ，即B 为锐角. 同理0>⋅，0>⋅，∴△BCD 是锐角三角形9、选A ；依题意可得ABC ∆是腰长为2，顶角为120°的等腰三角形，故由余弦定理可得底边为 10、选A；设AM与CN所成角为θ，则52252500210c o =⨯+++=θ．11、选C ；由椭圆与双曲线有共焦点可得，双曲线中，44222=-+=m m c ，即2=c ，由一个焦点F 到双曲线的两条渐近线的距离之和为32可得，322=b ，即3=b ，从而1=a ，2=ac． 12、选D ；由11{}n n a a ++是等差数列可得1q =，故1n a =，11na =。

潮南区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，若x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（e ﹣1，1）C ．（0，e ﹣1）D ．（1，e ） 2． 已知向量(,2)a m = ，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅= ，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）AB ． C． D．3． 已知，y 满足不等式430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．132C ．12D ．15 4． 设a=60.5，b=0.56，c=log 0.56，则（ ） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a5． 如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）A． B． C．+ D．++16． 已知函数f （x ）=若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）7． 二项式(1)(N )nx n *+?的展开式中3x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力． 8． 若命题“p ∧q ”为假，且“≦q ”为假，则（ ） A ．“p ∨q ”为假B ．p 假C ．p 真D ．不能判断q 的真假9． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）A ．k360°+463°B ．k360°+103°C ．k360°+257°D ．k360°﹣257°10．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则r=（ ）A ．B ．C ．D ．11．若方程C ：x 2+=1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ）A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆B ．∀a ∈R ﹣，方程C 表示双曲线C ．∃a ∈R ﹣，方程C 表示椭圆D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线12．直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC === ,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）二、填空题13．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．14．已知偶函数f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（﹣1）=．15．17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．16．已知数列{a n}中，2a n，a n+1是方程x2﹣3x+b n=0的两根，a1=2，则b5=．17．（sinx+1）dx的值为．18．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．三、解答题19．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．20．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）若四边形BCCB1是正方形，且A1D=，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值．122．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？（2）试求方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．23．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）已知函数f（x）=x+，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；（2）已知函数g（x）=和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h（x2）=g（x1）成立，求实数a的值．24．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；10n（单位：元），求X的分布列及数学期望．潮南区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，所以f（x）=lnx+e，f′（x）=，x＞0．∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞）可判断：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上单调递增，g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0，∴x0∈（1，e），g（x0）=0，∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（1，e）故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．2．【答案】A【解析】考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.3．【答案】C考点：线性规划问题．【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：（1）线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．（2）目标函数的意义，有的可以用直线在y轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．（3）线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定．4．【答案】A【解析】解：∵a=60.5＞1，0＜b=0.56＜1，c=log0.56＜0，∴c＜b＜a．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的表面积S=S+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+．△PAC故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．6．【答案】A【解析】解：函数f （x ）=的图象如下图所示：由图可得：当k ∈（0，1）时，y=f （x ）与y=k 的图象有两个交点， 即方程f （x ）=k 有两个不同的实根， 故选：A7． 【答案】B【解析】因为(1)(N )n x n *+?的展开式中3x 项系数是3C n ，所以3C 10n =，解得5n =，故选A ． 8． 【答案】B【解析】解：∵命题“p ∧q ”为假，且“≦q ”为假， ∴q 为真，p 为假； 则p ∨q 为真， 故选B ．【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．9． 【答案】C【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k ∈Z ）即：k360°+257°，（k ∈Z ）故选C【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．10．【答案】 C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R= 故选C ．【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．11．【答案】 B【解析】解：∵当a=1时，方程C ：即x 2+y 2=1，表示单位圆∴∃a ∈R +，使方程C 不表示椭圆．故A 项不正确；∵当a ＜0时，方程C ：表示焦点在x 轴上的双曲线∴∀a ∈R ﹣，方程C 表示双曲线，得B 项正确；∀a ∈R ﹣，方程C 不表示椭圆，得C 项不正确∵不论a 取何值，方程C ：中没有一次项∴∀a ∈R ，方程C 不能表示抛物线，故D 项不正确 综上所述，可得B 为正确答案 故选：B12．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，当01t <≤时，()2122f t t t t =⋅⋅=，当12t <≤时，()112(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合，故选C.考点：分段函数的解析式与图象.二、填空题13．【答案】814．【答案】 1 ．【解析】解：f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （1）=f （5）=1， f （x ）是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）=1． 故答案为：1．15．【答案】【解析】解：∵f （x ）=a xg （x ）（a ＞0且a ≠1），∴=a x ， 又∵f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），∴（）′=＞0，∴=a x 是增函数，∴a＞1，∵+=．∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．综上得a=2．∴数列{}为{2n}．∵数列{}的前n项和大于62，∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，即2n+1＞64=26，∴n+1＞6，解得n＞5．∴n的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．16．【答案】﹣1054．【解析】解：∵2a n，a n+1是方程x2﹣3x+b n=0的两根，∴2a n+a n+1=3，2a n a n+1=b n，∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．则b5=2×17×（﹣31）=1054．故答案为：﹣1054．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【答案】2．【解析】解：所求的值为（x﹣cosx）|﹣11=（1﹣cos1）﹣（﹣1﹣cos（﹣1））=2﹣cos1+cos1=2．故答案为：2．18．【答案】98 【解析】【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好．三、解答题19．【答案】【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x 2+（y+7）2=25，所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．…因为直线l 被圆所截得的弦长是，所以，弦心距为，即圆心到所求直线l 的距离为．…因为直线l 的斜率为2，所以可设所求直线l 的方程为y=2x+b ，即2x ﹣y+b=0．所以圆心到直线l 的距离为，…因此，解得b=﹣2，或b=﹣12．… 所以，所求直线l 的方程为y=2x ﹣2，或y=2x ﹣12．即2x ﹣y ﹣2=0，或2x ﹣y ﹣12=0．… 【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．20．【答案】【解析】设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，则t=，∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；∴时，t取得最小值，此时x=9∴税率t的最小值为．【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！21．【答案】【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点，∵D为AB的中点，∴DO∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点，四边形BCCB1是正方形，且A1D=，1∴CD⊥AB，CD==，AD=1，∴AD2+AA12=A1D2，∴AA1⊥AB，∵，∴，∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC，∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC，∵底面△ABC是等边三角形，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），A（1，0，），D（，0，），A1（1，2，），=（，﹣2，﹣），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ，则sinθ===．∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为．22．【答案】【解析】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，其中p、q都是整数的点有6×6=36个，点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=；（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；若方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）＞0，解可得p2+q2≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π，即方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率，P2=．【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．23．【答案】【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增，f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=；f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]．（2）y=g（x）==2x+1+﹣8设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=﹣8，由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，]；当2≤u≤3，即≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[，1]；由g（0）=﹣3，g（）=﹣4，g（1）=﹣，得g（x）的值域为[﹣4，﹣3]．因为h（x）=﹣x﹣2a为减函数，故h（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]．根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集，从而有，所以a=．24．【答案】【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000，当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000，∴．（II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，X。