江苏省泗洪楚天外国语学校07-08学年第二学期高二期中试卷

【关键字】数学邗江中学（集团）高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1、___▲___2、已知单数（是虚数单位），则||= ▲___．3、观察式子，，，则可以归纳出▲___．4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设是▲5、若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有▲种(用数字作答)．6、若，则的值为▲．已知的期望E=8.9，则y的值为▲8、已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩9、如果单数满足，那么的最大值是▲．10、6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为▲．(用数字作答)12、四面体中，，▲．13、甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是▲．(用数字作答)14、三角形三边的长都是整数，且，如果，这样的三角形共有_____▲_______个二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、已知单数z＝b－2i(b为实数)，且是实数．（1）求单数；（2）若单数在复平面上对应的点在第四象限，试求实数的取值范围．16、已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为．（1）求的值；（2）求展开式中的常数项．18、用数学归纳法证明:19、如图，在三棱柱中，，，且．（1）求棱与BC所成的角的大小；（2）在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为．20、（1）扬州有三个旅游景点——瘦西湖、个园、何园，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；n≥）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且（2）某城市有n（n为奇数，3该游客是否游览这n个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．高二数学期中试卷（理科）参考答案 一、填空题二、解答题 15、（1）∵i b b i i i i b i 54522)2)(2()2)(2(23-++=+-+-=- 又 ∵i -23是实数 ∴054=-b ∴4=b ………………6分 （2）∵i a a a i a ai i ai z )2(8)124(])2(4[)24()(2222-+++-=-+=+-=+…10分 又 ∵2)(ai z +在第四象限∴⎩⎨⎧<->++-0)2(801242a a a ∴22<<-a ………………14分16、（1）∵=42nn CC 1431234)3)(2)(1(2)1(=⨯⨯⨯----n n n n n n ………………4分∴展开式中的常数项为 452108109===C C T ………………14分17、（1）设),,(z y x n =为平面D C A 11的一个法向量 ∵)0,4,0(11=C A ,)3,2,1(1-=D A∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅03204111z y x D A n y C A n ∴⎩⎨⎧==z x y 30取1=z ，得 )1,0,3(=n设直线1DB 与平面D C A 11所成角为θ ∵1DB =)0,2,1(-∴10235103,cos sin 111=⋅=⋅⋅=><=DB n DB n DB n θ∴二面角111C D A B --的大小的正弦值为654553。

江苏省南菁高级中学2017—2018学年第二学期期中考试高二数学试卷一、（本题包括14小题，每题5分，共70分,请将答案写在答题卡上）1．i 为虚数单位，复数21i-的虚部为 ▲ ． 2．0133333333333...C C C C ++++ 除以9的余数是 ▲ ． 3．已知集合A ＝{1，3，zi }，i 为虚数单位，B ＝{5}，A ∪B ＝A ，则复数z －＝ ▲ ．4．某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为 ▲ （用数字作答）．5．用数学归纳法证明 “当n 为正奇数时，n n y x +能被y x +整除”，当第二步假设)(12*∈-=N k k n 命题为真时，进而需证=n ▲ 时，命题亦真.6．马路上有10盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有 ▲ 种．7．在52()x x+展开式中系数最大的项是 ▲ ．8．设(5n x 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝992， 则展开式中x 3的系数为 ▲ ．9．设等边ABC ∆的边长为a ,P 是ABC ∆内任意一点,且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为1d 、2d 、3d ,则有321d d d ++为定值a 23；由以上平面图形的特性类比到空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为a ,P 是正四面体ABCD 内任意一点,且P 到平面ABC 、平面ABD 、平面ACD 、平面B C D 的距离分别为1h 、2h 、3h 、h 4，则有321h h h +++h 4为定值 ▲ ．10．若(x ＋1)4(x ＋4)8＝a 0(x ＋3)12＋a 1(x ＋3)11＋a 2(x ＋3)10＋…＋a 11(x ＋3)＋a 12， 则413511log (...)a a a a ++++= ▲ ．11．某停车场有6个停车位，现停进了4辆不同的轿车，考虑到进出方便，要求任何三辆车不能连续停放在一起，共有 ▲ 种停法．（用数字作答）．12．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8 张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有 ▲ 种. （用数字作答）13．已知数列{}n a 的各项分别为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则9899a a +的值为 ▲ ．14．已知两个正数,a b ，可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ，在,,a b c 三个数中取两个较大的数，按上述规则再扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作。

江苏省马坝高级中学2017-2018学年第二学期期中考试高二英语试题第I卷选择题（共85分）第一部分：听力（共两节，每小题1分，满分20分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What does the woman ask the man?A.What to wear for a party.B.Whether to attend a partyC.How to make friends at a party2.What color does the man prefer?A.OrangeB.PinkC.Yellow3.Where does the conversation probably take place?A.In a labB.In a hospitalC.In a classroom4.Why is the boy unhappy?A. He feels lonelyB.He missed the flightC.He will be separate from his parents5.What does the woman think is the most important to friendship?A.UnderstandingB.SimilarityC.Honesty第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听下面一段对话，回答第6和第7题。

6.Why does the woman refuse to eat Pizza?A.She dislikes itB.It is too expensiveC.The restaurant is too far away7.Where are the speakers going to eat tonight?A.To a Chinese restaurantB.To an Indian restaurantC.To a Greek restaurant听下面一段对话，回答第8和第9题。

2021-2022学年江苏省苏州外国语学校高二下学期期中数学试题一、单选题1．某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（ ） A ．54种 B ．45种C ．45A 种 D ．45C 种【答案】C【分析】利用排列，排列数的概念即得.【详解】由题可知不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数， 所以不同的报名方法有45A 种. 故选：C.2．若离散型随机变量X 的分布列如下图所示．则实数a 的值为（ ）A ．2a =-或13a = B ．2a =-C ．13a = D ．2a =或13a =-【答案】C【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意，2241030(41)31a a a a a a -≥⎧⎪+≥⎨⎪-++=⎩，解得13a =，所以实数a 的值为13.故选：C3．在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若2x 项的系数为270，则实数a 的值为（ ）A ．12 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】写出展开式通项，令x 的指数为2，求出参数的值，代入通项后可得出关于a 的等式，即可解得a 的值.【详解】展开式通项为()()()5225104155C C 1rrrrr rr r T ax x a x ----+=⋅-=-，依题意1042r -=，则2r =，当2r =时，()523355C 1C 10270rr r a a a -===-，所以3a =， 故选：C.4．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（ ） A ．0.54 B ．0.32 C ．0.84 D ．0.86【答案】D【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A ，买到的灯泡是乙厂产品为事件B ， 则()0.6P A =，()0.4P B =，记事件:C 从该地市场上买到一个合格灯泡，则()0.9P C A =，()0.8P C B =， 所以，()()()()()()()0.60.90.40.8P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+=⨯+⨯ 0.86=.故选：D.5．某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ） A ．65 B ．110 C ．780 D ．1560【答案】D【分析】首先将6个人分为4组，再将4组进行全排列即可求出结果.【详解】6人分成4组有两种方案：“2211+++”、“3111+++”共有22364622C C C A ⋅+种方法， 4组分配到4个大门有44A 种方法；根据乘法原理不同的分配方法数为：22346464221560C C C A A ⎛⎫⋅+⋅= ⎪⎝⎭. 故选：D6．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为433,,544，那么三人中恰有两人通过的概率为（ ） A ．2180B ．2780C ．3380D ．2740【答案】C【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,,A B C ，显然,,A B C 为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件ABC ABC ABC ++，且,,ABC ABC ABC 互斥，∴所求概率()()()()P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC++=++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++1334134313354454454480=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故选：C.7．若经过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则下列正确的选项是（ ） A ．ln b a < B ．ln b a > C ．ln a b < D ．ln a b >【答案】B【分析】设切点00(,ln )P x x ，根据切线经过点(,)a b ，得到001ln ab x x +=+，令()()ln 0a f x x x x =+>，转化为1y b =+与()()ln 0af x x x x=+>有两个不同的交点求解. 【详解】解：设切点00(,ln )P x x ， 因为ln y x =， 所以1y x'=， 所以点P 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 又因为切线经过点(,)a b ， 所以()0001ln b x a x x -=-，即001ln a b x x +=+， 令()()ln 0af x x x x=+>，则1y b =+与()()ln 0af x x x x=+>有两个不同的交点， ()221a x a f x x x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立， 所以()f x 单调递增，不合题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 所以()()min ln 1f x f a a ==+， 则1ln 1b a +>+，即ln b a >， 故选：B8．已知函数()e 21xf x ax =--在区间()1,1-内存在极值点，且()0f x <在R 上恰好有唯一整数解，则实数a 的取值范围是( )A ．22e 1e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．e 1e ,22-⎛⎫⎪⎝⎭ C ．22e 11e 1e ,,4e 222⎡⎫--⎛⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．22e 1e 1e 1e ,,4e 2e 22⎡⎫---⎛⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ 【答案】D【分析】求出f (x )的导数，根据a 的范围，讨论导数正负，从而判断f (x )单调性和极值；根据f (x )有唯一极值点x =ln2a 可知()ln 21,1a ∈-，分别讨论ln2a =0、ln2a ∈(-1，0)、ln2a ∈(0，1)三种情况f (x )<0的整数解情况即可求出a 的范围．【详解】∵()e 21xf x ax =--，∴()e 2x f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x ∴在()1,1-上单调递增，不存在极值点，不合题意； 当0a >时，令()0f x '=，解得ln2x a =，当(),ln 2x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增； ()f x ∴的极小值点为ln2x a =，无极大值点；()f x 在()1,1-上存在极值点，∴()ln 21,1x a =∈-， 当ln20a =，即12a =时，()()00f x f ≥=，则()0f x <在R 上无解，不合题意； 当1ln 20a -<<时，∵f (0)=0，故要使()0f x <恰有唯一整数解，则该整数解为1x =-，()10f ∴-<，()20f -≥，21ln 201210e 1410e a a a ⎧⎪-<<⎪⎪∴+-<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，解得22e 1e 14e 2e a --≤<； 当0ln 21a <<时，∵f (0)=0，故要使()0f x <恰有唯一整数解，则该整数解为1x =，()10f ∴<，()20f ≥，20ln 21e 210e 410a a a <<⎧⎪∴--<⎨⎪--≥⎩，解得e 1e 22a -<<；综上所述，实数a 的取值范围为22e 1e 1e 1e ,,4e 2e 22⎡⎫---⎛⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭． 故选：D ．【点睛】本题关键是确定f (x )有唯一的极值点x =ln2a ，根据极值点范围，结合()0f x <在R 上恰好有唯一整数解，数形结合列出不等式组即可求出a 的范围． 二、多选题 9．若2022220220122022(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果正确的是（ ）A ．01220221a a a a +++⋯+=B ．20220242022132a a a a ++++⋯+=C ．202212220220222a a a ++⋯+= D ．20212322320224044a a a a +++⋯+=【答案】ABD【分析】根据二项式展开式和系数的性质，逐项分析即可得出答案. 【详解】令1x =可得()2022012202211a a a a +++⋯+=-=，①，故A 正确；令1x =-可得：2022012320223a a a a a -+-+⋯+=，②①+②可得：()2022024*******a a a a +++⋯+=+，故20220242022132a a a a ++++⋯+=，故B 正确；令0x =可得：2022011a ==，③令12x =可得：2022120220220222a a aa +++⋯+=，④ 把③代入④即可得出：202212220221222a a a ++⋯+=-，故C 错误； 两边对x 求导得12202122021203224044(12)232022x a a x a x a x --=+++⋯+．令1x =可得20212322320224044a a a a +++⋯+=，故D 正确.故选：ABD10．下列说法正确的是（ ）A ．设离散型随机变量X 等可能取1，2，3，…，n ，若(4)0.3P X <=，则10n =B ．设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则15(2)32P X ==C ．设离散型随机变量η服从两点分布，若(1)2(0)P P ηη===，则1(0)3P η== D ．设随机变量x 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(02)0.3P X <<=【答案】AC【分析】直接利用离散型随机变量，排列组合数，正态分布的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】解：由题意知，对于A ：3(4)(1)(2)(3)0.3P X P X P X P X n<==+=+===，10n ∴=，故A 正确； 对于B ：设随机变量X 服从二项分布1(6,)2B ，则26241115(2)()(1)2264P X C ==⨯-=，B 错误；对于C ，因为(1)2(0)P P ηη===且(1)(0)1P P ηη=+==，∴1(0)3P η==，故C 正确；对于D ，随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，∴正态曲线的对称轴是2x =．(4)0.9P X <=，所以()41(4)0.1P X P X >=-<= (04)0.8P X ∴<<=，(02)(24)0.4P X P X ∴<<=<<=，D 错误；故选：AC ．11．甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用1A ，2A 表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B ，C 表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．()15|21P B A = B ．()212|21P C A = C ．()1742P B =D ．()4384P C =【答案】BCD【分析】在各自新的样本空间中求出()1|P B A ，()2|P C A 判断A ，B ；利用全概率公式计算()P B ，()P C 判断C ，D 作答.【详解】在事件1A 发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则()25127C 10|C 21P B A ==，A 不正确；在事件2A 发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则()1143227C C 12|C 21P C A ==，B 正确；因1253(),()88P A P A ==，()110|21P B A =，()24272C 6|C 21P B A ==， 则()()()12215103617||821821(2)()4P B P B A P B A P A P A =+=⨯+⨯=，C 正确；因()212|21P C A =，()1152127C C 10|C 42P C A ==，则()()()121251031243||821821()8)(4P C P C A P C A P A P A =+=⨯+⨯=，D 正确.故选：BCD12．设()f x '为定义在R 上的函数()f x 的导函数，下列说法正确的是（ ） A ．若()()0f x f x x'->恒成立，则()()3443f f > B ．若()f x 是奇函数且满足()20f =，当0x >时，()()220xf x x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是()()2,02,-+∞C ．若()()1f x f x '<-，()04f =，则不等式()31e xf x <+的解集为(),0∞- D ．若()()()2e 0xxf x x f x x '+=>，()1e f =，则()f x 在()0,∞+上单调递增【答案】ABD【分析】构造函数()()f xg x x=，利用导数研究()g x 的单调性，进而判断A ； 构造函数()()2G x x f x =，利用导数研究()G x 的单调性，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断B ；构造函数()()e e 3x xF x f x =--，利用导数研究()F x 的单调性，进而得出()0F x <即可判断C ；构造函数()()e xh x xf x =-，利用导数研究()h x 的单调性，进而得出()()10h x h ≥=即可判断D.【详解】()()0f x f x x'->，即()()0xf x f x x '->， 设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'=，当0x >时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0,∞+上单调递增， ∴()()43g g >，∴()()4343f f >，∴()()3443f f >，故A 正确． 设()()2G x x f x =，则()()()22G x x f x xf x ''=+． ∵当0x >时，()()220xf x x f x '+>，即()0G x '>，∴函数()G x 在()0,∞+上单调递增．∴()f x 为奇函数， ∴()G x 也为奇函数，∴()G x 在(),0∞-上单调递增．∴()20f =，∴()()220G G -=-=，∴函数()0G x >的解集为()()2,02,-+∞．又()20x f x >等价于()0f x >，∴()0f x >的解集为()()2,02,-+∞，故B 正确．()31ex f x <+等价于()3e e x x f x <+， 即()e e 30x x f x --<，令()()e e 3x xF x f x =--，则()()()()()e e e e 1x x x xF x f x f x f x f x '''=+-=+-⎡⎤⎣⎦．∵()()1f x f x '<-，即()()10f x f x '+-<，且e 0x >，∴()0F x '<，故函数()F x 在R 上单调递减， 又()04130F =--=，故()0F x <的解集是()0,∞+，故C 错误． 由题意得()()2e x xf x f x x-'=，设()()e x h x xf x =-， 则()()()e 1e e e x xxxx h x f x xf x x x-''=--=-=． 当()0,1x ∈时，()0h x '<，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>， ∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴()()()1e 10h x h f ≥=-=，∴()0f x '≥， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增，故D 正确． 故选：ABD. 三、填空题13．若3323C 5A n n =，则正整数n =___________. 【答案】8【分析】根据排列数和组合数的运算性质直接计算即可.【详解】因为3323C 5A n n =，所以()()()()221223512321n n n n n n --⨯=--⨯⨯，解得：8n =. 故答案为：8.14．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从6名医生和2名护士共8名医务工作者中选出队长1人､副队长1入､普通医务工作者2人组成4人医疗服务队，轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有___________种不同的选法. 【答案】660【分析】分只有1名护士和有2名护士两种情况，结合计数原理即可求出结果.【详解】分两类：①只有1名护士，共有：132264480C C A =种选法；②有2名护士，共有：2264180C A =种；故共有480180660+=种选法. 故答案为：660.15．甲乙两队进行篮球决赛，采取五局三胜制，假设每一局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，如果甲队先赢一局，则甲赢下比赛的概率为___________.【答案】89【分析】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，分为前三局全胜，前四局胜三局，打完五局胜三局，进而求得答案.【详解】因为甲已经取胜一局，所以只需要考虑剩下的情况，若前三局甲胜，甲获胜的概率为22439⎛⎫= ⎪⎝⎭，若打完四局后甲获胜，第四局甲必须获胜，甲获胜的概率为12221833327C ⋅⋅⋅=，若打完五局后甲获胜，第五局甲必须获胜，甲获胜的概率为213221433327C ⎛⎫⋅⋅⋅=⎪⎝⎭，所以甲获胜的概率是48424892727279++==. 故答案为：89.16．设函数(),0ln ,0x a x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，已知12x x <，且()()12f x f x =，若21x x -的最小值为21e ，则a 的值为___________. 【答案】2【分析】设()()12f x f x t ==，则t a ≤-，可得出()21e tx x t a -=-+，t a ≤-，令()e t g t t a =--，t a ≤-，对实数a 的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数()g t 在(],a -∞-上的单调性，结合()2min 1e g t =可求得实数a 的值. 【详解】因为(),0ln ,0x a x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，所以，函数()f x 在(],0-∞、()0,∞+上均为增函数，设()()12f x f x t ==，则t a ≤-，且1x a t -=，2ln x t =，则()21e tx x t a -=-+，t a ≤-，令()e t g t t a =--，t a ≤-，则()e 1tg t '=-，①当0a -≤时，即0a ≥时，()e 10tg t '=-≤，()g t 在(],a -∞-上单调递减，()()2min 1e e a g t g a -=-==，解得2a =，合乎题意； ②当0a ->时，即0a <时，若0t <，则()0g t '<，若0t a <≤-，则()0g t '>， 函数()g t 在(],0-∞上单调递减，在(]0,a -上单调递增， ()()2min 101e g t g a ==-=，得211e a =-（舍去），综上，2a =. 故答案为：2.17．设函数()32398f x x x x =--+．(1)求f （x ）在1x =处的切线方程；(2)求f （x ）在[－2，4]上的最大值和最小值． 【答案】(1)1290x y +-=； (2)最大值是13，最小值是－19.【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出结果； （2）利用导数判断函数的单调性，进而结合单调性即可求出最值. 【详解】(1)由题意知，()13f =-，即切点为（1，－3），又()2369f x x x '=--，所以()112f '=-所以f （x ）在1x =处的切线方程为：312(1)y x +=--，即1290x y +-=；(2)()()()2369331f x x x x x =--=-+'，令()0f x '<得13x ；令()0f x '>得1x <-或3x >，故f （x ）的减区间为（－1，3），增区间为（－∞，－1）和()3,+∞， 函数f （x ）的极大值()113f -=，函数f （x ）的极小值()319f =-， 又()26f -=，()412f =-∴f （x ）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－1918．在二项式12nx ⎛ ⎝的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式的常数项；(3)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1)356316T x -=，326638T x -= (2)7212T =(3)7212T =选择①：01246n n n C C C ++=，即()11462n n n -++=， 即2900n n +-=，即()()1090n n +-=，解得9n =或10n =-（舍去）.选择②：024...256n n n C C C +++=，即12256n -=，解得9n =.展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，5452359163216T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，45354226916328T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)展开式的通项为()93189922199122kk k k k k k k T C xx C x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令31802k -=，得6k =，所以展开式中常数项为第7项，常数项为63792122T C -=⨯=； (3)由展开式的通项为()93189922199122kk k k kk k k T C xx C x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，假设第1k +项系数最大，则910199981992222k k k k k k k k C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，解得172033k ≤≤，且0,1,,9k =，所以6k =，即系数最大项为7212T =. 19．根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务.成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模､多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D 模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成，规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为35，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；（结果用分数表示） (2)求甲编写程序正确的个数X 的分布列和数学期望； (3)判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大. 【答案】(1)81125(2)分布列答案见解析，数学期望：95(3)甲比乙闯关成功的概率要大【分析】（1）利用独立重复试验的概率求解；（2）根据甲只能正确完成其中6个，利用超几何分布求解； （3）由（1）（2）的结果比较. 【详解】(1)记事件A “乙闯关成功”，.所以()23233332815535125P C C A ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)甲编写程序正确的个数X 可能取0，1，2，3，21346433101013(0),(1)3010C C C P X P X C C ⋅======， 12463101(2)2C C P X C ⋅===，()36310136C P X C === 分布列为：数学期望E ()1311901233010265X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (3)甲闯关成功的概率11281263125P =+=> 所以甲比乙闯关成功的概率要大.20．为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本直径的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值. (1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；()0.6826P X μσμσ-<≤+≥；()220.9545P X μσμσ-<≤+≥；()330.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级. (2)将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品.从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数Y 的概率分布列和数学期望()E Y 及方差()D Y . 【答案】(1)性能等级为丙 (2)分布列见解析，()15E Y =，()49275D Y = 【分析】（1）由65μ=， 2.2σ=，根据表格数据求出()62.867.2P X <≤、()60.669.4P X <≤、()58.471.6P X <≤即可判断；（2）首先求出样本中次品的件数，由题意可知Y 的可能取值为0，1，2，即可求出所对应的概率，从而求出分布列，再根据期望与方差公式计算可得； 【详解】(1)解：因为65μ=， 2.2σ=， 所以()()6193116462.867.20.760.6826100P X P X μσμσ++++-<≤+=<≤==>，()()()10021112212260.669.40.90.9545100P X P X μσμσ-++++++-<≤+=<≤==<，()()()1002213358.471.60.950.9973100P X P X μσμσ-++-<≤+=<≤==<.因为设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.(2)解：因为260.6μσ-=，269.4μσ+=，所以样本中次品共10件，由题意可知Y 的可能取值为0，1，2.()2902100C 890C 110P Y ===，()1190102100C C 21C 11P Y ===，()2102100C 12C 110P Y ===. ∴次品件数Y 的分布列为：∴()892122101211011110111105E Y =⨯+⨯+⨯=+=.()22218912114901251105115110275D Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．已知函数()2ln 12a f x x x x x =--+，a ∈R .若函数()f x 在定义域内有两个不同的极值点12x x ，.(1)求实数a 的取值范围； (2)当02m <≤时，证明：12m x x a+>. 【答案】(1)10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)证明见解析．【分析】(1)()f x 在()0,∞+内有两个不同的极值点1x 、2x ，等价于()f x '在()0,∞+内有两个不同的零点1x 、2x .研究()f x '的单调性和零点情况即可求出a 的范围； (2)设1210x x a <<<，由(1)知11ln 0x ax -=且22ln 0x ax -=，则12121212ln ln ln ln x x x x a x x x x -===-，将a =1212ln ln x x x x --代入要证的不等式12m x x a +>，可将不等式化为1122121ln 01x x x x m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭->-，令()120,1x t x =∈，则不等式化为1ln 01t t m t --<+，问题转化为()1ln 01t g t t m t -=-<+在(0，1)恒成立即可．【详解】(1)函数()f x 定义域为()0,∞+，()f x 在()0,∞+内有两个不同的极值点1x 、2x ，等价于()ln f x x ax '=-在()0,∞+内有两个不同的零点1x 、2x ． 设()ln h x x ax =-，由()1axh x x-'=， 当0a ≤时，()0h x '>，()h x 在()0,∞+上单调递增，至多只有一个零点，不符题意； 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0h x '>，()h x 单调递增；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()0h x '<，()h x 单调递减，∴当1x a =时，()max 1ln 1f x f a a ⎛⎫''==-- ⎪⎝⎭，函数()f x '有两个零点，则必有max ()0f x '>，即ln 10a -->，解得10e a <<．易证ln x <令()ln m x x ，()1m x x '==， 当()0,4x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减，当()4,x ∞∈+时，()m x 单调递增， 故()()min 42ln 20m x m ==->，故()ln 0m x x >，得证． ∴2211111ln 0f a a a a a ⎛⎫'=-<-= ⎪⎝⎭，又()10f a '=-<，∴()f x '在11,a ⎛⎫ ⎪和211,a a ⎛⎫⎪上各有一个零点1x 、2x ，此时：故()f x 在定义域内有两个不同的极值点12x x ，时，a 的范围为10ea <<； (2)方法1：由(1)可知12x x ，是()ln h x x ax =-的两个零点，不防设1210x x a<<<， 由11ln 0x ax -=且22ln 0x ax -=，得12121212ln ln ln ln x x x x a x x x x -===-． ∵()()()111212221211221lnln ln 00*1x x x x x x x x m x x m m x a x x x ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭+>⇔->⇔->--． 令()120,1x t x =∈，则()()1*ln 0**1t t m t -⇔-<+， 记()1ln 01t g t t m t -=-<+，()0,1t ∈， 则()()()222111t m t g t t t --+'=+，令()()2211p t t m t =--+，02m <≤．又()2Δ4(1)4420m m m =--=-≤，则()0p t ≥，即()0g t '≥，∴()g t 在()0,1上单调递增，故()()10g t g <=，即()**成立． ∴不等式12mx x a+>成立． 方法2：欲证12m x x a +>，由02m <≤，10e a <<，则只需证：122x x a+>． 不妨设1210x x a<<<， 则11ln 0x ax -=且22ln 0x ax -=，则12121212ln ln ln ln x x x x a x x x x -===-，∴()()()111212221211221lnln ln 22020*1x x x x x x x x x x x a x x x ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭+>⇔->⇔->--， 令()120,1x t x =∈，则()()()21*ln 0**1t t t -⇔-<+，记()()21ln 1t g t t t -=-+，()0,1t ∈， 由()()()22101t g t t t -'=≥+，即()g t 在()0,1上单调递增，故()()10g t g <=，即()**成立.故12m x x a+>． 【点睛】本题第一问关键是找到x =1和x =21a ，判断210f a ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()10f '<，从而根据零点存在性定理判断()f x '在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点；第二问的关键是利用12x x ，是()ln f x x ax '=-的两个零点用12x x ，替换a ，再利用换元()120,1xt x =∈将双变量转化为单变量进行证明．22．已知函数()21ln 2f x x ax =-，()()21e 112xg x x ax a x =--+-，(1)讨论函数()y f x =的单调性；(2)若对于定义域内任意x ，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(],0-∞【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由参变量分离法可得出ln 1e 1xx a x+≤--对任意的0x >恒成立，构造函数()ln 1e 1x x m x x+=--，其中0x >，则()min a m x ≤，利用导数分析函数()m x 的单调性，求出函数()m x 的最小值，即可得出实数a 的取值范围.【详解】(1)解：函数()21ln 2f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()211ax f x ax x x -'=-=. 当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '>，此时函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无递减区间；当0a >时，由()0f x '>，可得0x <<；由()0f x '<，可得x >此时函数()f x的增区间为⎛ ⎝⎭，减区间为⎫+∞⎪⎝⎭.综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无递减区间； 当0a >时，函数()f x的增区间为⎛ ⎝⎭，减区间为⎫+∞⎪⎝⎭. (2)解：对任意的0x >，()()f x g x ≤，即()2211ln e 1122x x ax x ax a x -≤--+-，可得ln 1e 1xx a x+≤--对任意的0x >恒成立， 构造函数()ln 1e 1xx m x x+=--，其中0x >，则()min a m x ≤，()222ln e ln e x xx x xm x x x +'=+=， 构造函数()2e ln x h x x x =+，其中0x >，则()()212e 0xh x x x x'=++>， 所以，函数()h x 在()0,∞+上单调递增，因为1ln 202h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()1e 0h =>， 所以，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02000e ln 0xh x x x =+=，当00x x <<时，()0m x '<，函数()m x 单调递减，当0x x >时，()0m x '>，函数()m x 单调递增，所以，()000mine ln 11x x x m x x --=-，因为()02000e ln 0x h x x x =+=，则001ln 0000001111e ln ln e ln x x x x x x x x =-==，构造函数()e x p x x =，其中0x >，则()()1e 0xp x x '=+>，所以，函数()e xp x x =在()0,∞+上为增函数，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0112x <<，则01ln 0x >，由01ln001e elnx x x x =可得()001ln p x p x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，0001ln ln x x x ==-，所以，()0000ln ln e 0x x x x +==，可得00e 1xx =，所以，()()0000min0011e ln 1110x x x x m x x x -----=-=-=，0a ∴≤.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.。