当前位置：文档之家 › 初值的选取对迭代法的影响实验报告

初值的选取对迭代法的影响实验报告

  • 格式：doc
  • 大小：89.50 KB
  • 文档页数：4

初值的选取对迭代法的影响
实验目的：通过具体的数值实验，体会选取不同的初值对同一迭代法
的影响。
实验内容：用牛顿迭代法求方程013xx在x=1.5附近的根。
实验要求：
（1）对牛顿迭代公式： 131231kkkkkxxxxx，编写程序进行实验，分
别取00x，5.10x迭代10次，观察比较其计算值，并分析原因。
（2）用MATLAB内部函数solve直接求出方程的所有根，并与（1）
的结果进行比较。
试验过程：
①首先保存牛顿切线法的MATLAB程序为M文件，命名为
newtonqx.m.
function
[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)
x(1)=x0;
for i=1: gxmax
x(i+1)=x(i)-fnq(x(i))/(dfnq(x(i))+eps);
piancha=abs(x(i+1)-x(i));
xdpiancha= piancha/( abs(x(i+1))+eps); i=i+1;
xk=x(i);yk=fnq(x(i)); [(i-1) xk yk piancha xdpiancha]
if (abs(yk) k=i-1; xk=x(i);[(i-1) xk yk piancha xdpiancha]
return;
end
end
if i>gxmax
disp('请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax。')
k=i-1; xk=x(i);[(i-1) xk yk piancha xdpiancha]
return;
end
[(i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha]';
②建立名为fnq.m的M文件
function y=fnq(x)
y=x^3-x-1;
③建立名为dfnq.m的M文件
function y=dfnq(x)
y=3*x^2-1;
a．当初始值取00x时，迭代次数为10，要求精度为310，在MATLAB
工作窗口输入程序为
[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(0,1e-3,1e-3,10)
运行后输出结果如表1-1
表1-1
k
kx k

y

1kkxx 1/kkkxxx

1.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 1.0000
2.0000 -0.5000 -0.6250 0.5000 1.0000
3.0000 -3.0000 -25.0000 2.5000 0.8333
4.0000 -2.0385 -7.4320 0.9615 0.4717
5.0000 -1.3903 -2.2970 0.6482 0.4662
6.0000 -0.9116 -0.8460 0.4787 0.5251
7.0000 -0.3450 -0.6960 0.5666 1.6421
8.0000 -1.4278 -2.4827 1.0827 0.7583
9.0000 -0.9424 -0.8946 0.4853 0.5150
10.0000 -0.4049 -0.6615 0.5375 1.3272
由以上可知初始值取00x时，迭代次数为10时，迭代次数超过给定

的最大值gxmax。根的近似值xk=-0.4049，函数值yk=-0.6615，偏差
piancha=0.5375和相对偏差xdpiancha=1.3272。
b．当初始值01.5x，迭代次数为10，要求精度为310，在MATLAB
工作窗口输入程序为
[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(1.5,1e-3,1e-3,10)
运行后输出结果如表1-1
表1-2
k
kx k

y

1kkxx 1/kkkxxx

1.0000 1.3478 0.1007 0.1522 0.1129
2.0000 1.3252 0.0021 0.0226 0.0171
3.0000 1.3247 0.0000 0.0005 0.0004
由以上可知初始值取01.5x时，迭代次数为10时，迭代次数k=3。根

的近似值xk= 1.3247，函数值yk= 9.2438e-007，偏差piancha=
4.8222e-004和相对偏差xdpiancha=3.6402e-004。
c.用solve函数直接计算方程013xx的所有根，在MATLAB工作窗
口输入程序
solve('x^3-x-1');roots([1 -1 -1])
运行后输出结果为
ans=-0.6180
1.6180
实验结果分析:
比较初始值分别为0x=0和1.5的两组结果，在0x=0处迭代10次，
迭代次数超过给定的最大值gxmax，得到根的近似值xk=-0.4049，函
数值yk=-0.6615。在0=1.5x处迭代3次就得到根的近似值，根的近似
值xk= 1.3247，函数值yk= 9.2438e-007。由此可见牛顿迭代法在初始
值接近于近似根处的迭代速度要比远离近似根初始值的迭代速度快
很多，而且近似值和函数近似值要精确很多，所以在进行牛顿迭代法
进行根的近似求解时，初始值的选择非常重要。
用MATLAB内部函数solve直接求出方程的所有根，得到
ans=-0.6180和1.6180，与（1）的结果进行比较时可以发现其两个根
分别和初始值和近似根差别很大时和接近近似根的两个值相差不大。
虽然用MATLAB内部函数solve直接求出方程的根的方法比较快，但是
其计算结果和用迭代法求方程的根的方法相比存在一定的误差，即没
有迭代法求解方程时精确值高。

合集下载

数值分析实验报告之迭代法求非线性方程的根

数值分析实验报告之迭代法求非线性方程的根

《数值分析》实验报告学院：数学与计算机学院专业：班级：姓名学号实验组实验时间指导教师成绩实验项目名称利用迭代法求方程的根实验目的1、掌握迭代法求根的数学原理。

2、掌握迭代法求根的计算机算法。

实验内容及要求内容：1、用迭代法求方程cosx5.0=x的近似根，要求误差不超过710-。

2．详细描述算法步骤并画出算法流程图形。

3．用表格列出迭代法的中间和最终结果。

要求：1、利用C语言，或Asp环境，或Matlab数学软件实现上述算法。

2、程序运行结果用表格显示出来3、保存程序运行结果，并结合算法进行分析。

4、要求实验报告最多两页，正反两面都要求打印。

实验原理将方程改写成x=)(xϕ,当方程在指定的区间上具有唯一的不动点(即迭代收敛)时，求原方程的零点就等价于求)(xϕ的不动点，选择一个初值x代入等式右端可得新的x的值，通过如此反复迭代后，求得的x的值会越来越逼近方程的根，一直迭代到误差满足要求即可。

实验仪器1、计算机一台。

2、安装IIS。

实验步骤Step1：选定满足迭代收敛的自变量的区间；Step2：选择迭代初值；Step3: 开始迭代，产生迭代后的新根，计算此时的误差；Step4: 如果误差不满足要求，返回Step3，否则输出结果，过程结束。

实验流程图开始选择迭代初值x确定收敛区间[a,b]迭代)(1kkxxϕ=+,2,1,0=k计算误差kkxx-+1结束误差是否小于7-10输出结果是否实验结果实验总结通过本次实验，我对迭代法求方程的根有了更深的认识，对其所用到的数学原理通过编程理解的更加清晰。

我是用Asp完成本次实验的，因为这样可以将结果很方便的用表格显示出来，让结果看起来比较清楚、明白和友好。

同时，我也用C语言编程实现过，结果是一样的，这也说明实验结果的正确性。

因为所给迭代方程是收敛的，不需要收敛性的验证，只要迭代达到误差的要求即可。

实验中遇到的一个问题是如何将结果中的小数点前的0补上去，让显示的更完整，通过网上查询，了解到可以根据对结果的判断将0加上去已达到完整显示，最终解决了这个问题。

数值分析迭代法数值分析实验报告jacobi迭代和seidel迭代分析

数值分析迭代法数值分析实验报告jacobi迭代和seidel迭代分析

数值分析迭代法数值分析实验报告 jacobi迭代和seidel迭代分析导读：就爱阅读网友为您分享以下“数值分析实验报告jacobi迭代和seidel迭代分析”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!数值分析实验报告一、实验目的1、了解熟悉jacobi迭代法和seidel迭代法的解法2、将原理与matlab语言结合起来，编程解决问题3、分析实验结果二、实验题目设线性方程组为2 2 31 201 31 x1 1 7 x801240 2 x 103 10 15 x 1 4考察用jacobi迭代法和seidel迭代法求解该线性方程组的收敛情况。

如果收敛，给出误差满足x(k) x(k 1)10 4的解。

三、实验原理将A 作如下分解A D L U这里a11D a22 0 a ,L 21 anna n100 a n2 0 0 a12 a1n 0 0 0 a2n ,0 00 0 JacobiU迭代矩阵为BJ D 1(L U)Seidel迭代矩阵为BS (D L) 1U它们的迭代格式都可化为x(k 1) Bx(k) g则迭代格式对任何初值都瘦脸的充要条件是迭代矩阵谱半径 (B) max k 1,其中， k是矩阵B的n个特征值，k 1,2 ，n 1 k nJacobi迭代矩阵的特征方程为det( I B J) 0Seidel迭代矩阵的特征方程为det( I B S) det( (D L) U) 0四、实验内容用matlab编写计算jacobi迭代矩程序，建立m文件如下：function[M]=BJ(A)D=diag(diag(A));L=tril(-A)+D;U=triu(-A)+D;M=inv(D)*(L+U);输入：>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];>> [M]=BJ(A)M:M =0 -0.0500 0.1500 0.0500-0.1667 0 0 -0.38890.0250 -0.0500 0 0.0500-0.2000 0 0.2000 00 0.050.150.05 0.166700 0.3889 则jacobi迭代矩阵为：BJ 0.025 0.0500.05 0.2 00.20用matlab求jacobi迭代矩阵的特征根的算法如下：>> A=[0 -0.05 0.15 -0.05;-0.67 0 0 -0.39;0.025 -0.05 0 0.05;-0.2 0 0.2 0];[V,D]=eig(A)V =-0.1892 + 0.0450i -0.1892 - 0.0450i -0.3812 -0.5005-0.9467 -0.9467 0.8867 0.5461 -0.1528 - 0.1181i -0.1528 + 0.1181i -0.2099 -0.0466 -0.1056 + 0.1325i -0.1056 - 0.1325i 0.1561 0.6701D =-0.1774 + 0.0864i 0 0 0 0 -0.1774 - 0.0864i 0 0 0 0 0.2194 0 0 0 0 0.1355 则最大特征根为：0.2194 则(BJ) 0.2194 1，所以jacobi迭代法收敛用matlab编程jacobi迭代法求根的算法：function [n,x]=jacobi(A,b,X,nm,w)%用雅克比迭代法求解方程组Ax=b%输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为最大迭代次数，w 为误差精度%输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数n=1;m=length(A);D=diag(diag(A)); %令A=D-L-U,计算矩阵DL=tril(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵LU=triu(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵UM=inv(D)*(L+U); %计算迭代矩阵g=inv(D)*b; %计算迭代格式中的常数项%下面是迭代过程while n<=nmx=M*X+g; %用迭代格式进行迭代if norm(x-X,2)<wdisp(…迭代次数为‟);ndisp(…方程组的解为‟);xreturn;%上面：达到精度要求就结束程序，输出迭代次数和方程组的解endX=x;n=n+1;end%下面：如果达到最大迭代次数仍不收敛，输出警告语句及迭代的最终结果（并不是方程组的解）disp(…在最大迭代次数内不收敛!‟);输入数据：>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];b=[1;2;10;-1];X=[0;0;0;0];>> nm=100;>> w=1e-4;>> [n,x]=jacobi1(A,b,X,nm,w)迭代次数为n =6方程组的解为x =0.06870.16450.2352-0.1667n =6x =0.06870.16450.2352-0.1667所以，满足精度的根为x = 0.0687 0.1645 0.2352用matlab编程计算seidel迭代矩阵算法为：function[M]=BS(A)D=diag(diag(A));L=tril(-A)+D;U=triu(-A)+D;M=inv(D-L)*U;输入：>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5]; >> [M]=BS(A)M =0 -0.0500 0.1500 0.0500 0 0.0083 -0.0250 -0.3972 -0.1667 迭代次数为6次0 -0.0017 0.0050 0.07110 0.0097 -0.0290 0.0042则seidel迭代矩阵为：0.150.05 0 0.05 00.0083 0.025 0.3972BS 0 0.00170.0050.0711 00.0097 0.0290.0042用matlab编程求得seidel矩阵的算法为：>> A=[0 -0.05 0.15 0.05;0 0.0083 -0.025 -0.3972;0 -0.0017 0.005 0.0711;0 0.0097 -0.029 0.0042];[V,D]=eig(A)V =1.0000 -0.1596 + 0.6750i -0.1596 - 0.6750i -0.91040 0.6965 0.6965 0.3924 0 -0.1250 + 0.0028i -0.1250 - 0.0028i 0.1313 0 0.0070 - 0.1348i 0.0070 + 0.1348i 0.0000D =0 0 0 0 0 0.0088 + 0.0768i 0 0 0 0 0.0088 - 0.0768i 0 0 0 0 -0.0001则特征根为 0 0.008+0.0768i 0.0088-0.0768i-0.0001则 (BS) 0.08 1，所以seidel迭代法收敛用seidel迭代法求根的算法为：function [n,x]=gaussseidel(A,b,X,nm,w)%用高斯-赛德尔迭代法求解方程组Ax=b%输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为最大迭代次数，w 为误差精度%输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数n=1;m=length(A);I=eye(m); %生成m*m阶的单位矩阵D=diag(diag(A)); %令A=D-L-U,计算矩阵DL=tril(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵LU=triu(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵U M=inv(D-L)*U; %计算迭代矩阵g=inv(I-inv(D)*L)*(inv(D)*b); %计算迭代格式中的常数项%下面是迭代过程while n<=nmx=M*X+g; %用迭代格式进行迭代if norm(x-X,2)<wdisp(…迭代次数为‟);ndisp(…方程组的解为‟);xreturn;%上面：达到精度要求就结束程序，输出迭代次数和方程组的解endX=x;n=n+1;end%下面：如果达到最大迭代次数仍不收敛，输出警告语句及迭代的最终结果（并不是方程组的解）disp(…在最大迭代次数内不收敛!‟);disp(…最大迭代次数后的结果为‟);x输入数据：>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];b=[1;2;10;-1];X=[0;0;0;0];nm=100;w=1e-4;[n,x]=gaussseidel(A,b,X,nm,w) 迭代次数为n =5方程组的解为x =0.06870.16450.2352-0.1667n =5x =0.06870.16450.2352-0.166满足精度的根为x =0.0687 0.1645 0.2352 -0.1667 迭代次数为5次五、实验分析从实验过程可以看到求出满足精度的根，seidel迭代要比jacobi迭代快，这是因为在jacobi迭代计算中，计算向量x(k 1)时是按分量的角标由小到大依次计算的。

数值方法迭代法解线性方程组实验报告

数值方法迭代法解线性方程组实验报告

附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性，还应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。

矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论

矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论

四川建筑科学研究BUILDING SCIENCE RESEARCH OFSICHUAN1999年　第3期　No.3　1999矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论陈建兵 摘　要　矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要应用。

矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法。

但是,选用不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量,而不一定收敛于第一阶。

本文讨论了初始向量的选取问题。

关键词　矩阵迭代法　乘幂法　特征值　特征向量　∞—范数　线性无关DISCUSSION ON THE SELECTION OF INITIAL VECTOR INEXPLORING MATRIX EIGENVALUE AND CHARACTERISTIC VECTOR BY THE METHOD OF MATRIX ITERATIONCheng Jianbing(Civil Engineering Institute of Tongji University,　Shanghai　200092)Abstract: In the analysis of dynamics,the matrix eigenvalue and characteristic vector has been played in an important role.Matrix iteration is a numeric method of exploring the primary grade of matrix eigenvalue and characteristic vector,but the computation result will be converged on different grades,rather than primary one,by the selection of different initial vectors.Therefore,the selection of initial vector has been discussed in this paper. Keywords: matrix iteration,multiplication-power method,eigenvalue,characteristic vector,∞-norm,nonelinear correlation1　引言 矩阵的特征值与特征向量在结构动力学中有重要的应用,但高阶矩阵特征值与特征向量的精确值不易用解析法求得,因此,它的数值方法非常重要。