《数学实验》实验报告——迭代法

迭代法解线性方程组数值分析实验报告一、实验目的本次实验旨在深入研究和掌握迭代法求解线性方程组的基本原理和方法，并通过数值实验分析其性能和特点。

具体目标包括：1、理解迭代法的基本思想和迭代公式的推导过程。

2、掌握雅克比（Jacobi）迭代法、高斯赛德尔（GaussSeidel）迭代法和超松弛（SOR）迭代法的算法实现。

3、通过实验比较不同迭代法在求解不同类型线性方程组时的收敛速度和精度。

4、分析迭代法的收敛性条件和影响收敛速度的因素。

二、实验原理1、线性方程组的一般形式对于线性方程组＄Ax ＝ b$，其中＄A$ 是＄n×n$ 的系数矩阵，＄x$ 是＄n$ 维未知向量，＄b$ 是＄n$ 维常向量。

2、迭代法的基本思想迭代法是从一个初始向量＄x^｛（0)｝＄出发，按照某种迭代公式逐步生成近似解序列＄＼｛x^｛（k)｝＼｝＄，当迭代次数＄k$ 足够大时，＄x^｛（k)｝＄逼近方程组的精确解。

3、雅克比迭代法将系数矩阵＄A$ 分解为＄A ＝ D L U$，其中＄D$ 是对角矩阵，＄L$ 和＄U$ 分别是下三角矩阵和上三角矩阵。

雅克比迭代公式为：＄x^｛（k+1)｝＝ D^｛－1}（b ＋（L ＋ U)x^｛（k)｝）＄。

4、高斯赛德尔迭代法在雅克比迭代法的基础上，每次计算新的分量时立即使用刚得到的最新值，迭代公式为：＄x_i^｛（k+1)｝＝（b_i ＼sum_{j=1}＾｛i-1}a_{ij}x_j^｛（k+1)｝＼sum_{j=i+1}＾｛n}a_{ij}x_j^｛（k)｝）／a_{ii}＄。

5、超松弛迭代法在高斯赛德尔迭代法的基础上引入松弛因子＄＼omega$，迭代公式为：＄x_i^｛（k+1)｝＝ x_i^｛（k)｝＋＼omega(（b_i ＼sum_{j=1}＾｛i-1}a_{ij}x_j^｛（k+1)｝＼sum_{j=i}＾｛n}a_{ij}x_j^｛（k)｝）／ a_{ii} x_i^｛（k)｝）＄。

MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告实验目的：比较MAAB计算方法中迭代法、牛顿法和二分法的优缺点，探究它们在求解方程中的应用效果。

实验原理：1、迭代法：将方程转化为x=f(x)的形式，通过不断迭代逼近方程的根。

2、牛顿法：利用函数在特定点的切线逼近根的位置，通过不断迭代找到方程的根。

3、二分法：利用函数值在区间两端的异号性质，通过不断二分缩小区间，最终逼近方程的根。

实验步骤：1、选择一元方程进行求解，并根据方程选择不同的计算方法。

2、在迭代法中，根据给定的初始值和迭代公式，进行迭代计算，直到满足预设的迭代精度要求。

3、在牛顿法中，选择初始点，并根据切线方程进行迭代计算，直到满足预设的迭代精度要求。

4、在二分法中，选择区间，并根据函数值的异号性质进行二分，直到满足预设的迭代精度要求。

5、根据计算结果，比较三种方法的求解效果，包括迭代次数、计算时间、求解精度等指标。

实验结果与分析：通过对多个方程进行测试，得到了以下实验结果：1、迭代法的优点是简单易懂，适用范围广，但当迭代公式不收敛时会导致计算结果不准确。

2、牛顿法的优点是收敛速度较快，但需要计算函数的一阶导数和二阶导数，对于复杂函数较难求解。

3、二分法的优点是收敛性较好，不需要导数信息，但收敛速度较慢。

4、对于线性方程和非线性方程的求解，牛顿法和迭代法通常比二分法更快速收敛。

5、对于多重根的方程，二分法没有明显优势，而牛顿法和迭代法能更好地逼近根的位置。

6、在不同的方程和初值选择下，三种方法的迭代次数和求解精度略有差异。

7、在时间效率方面，二分法在收敛速度较慢的同时，迭代次数较少，牛顿法在收敛速度较快的同时，迭代次数较多，而迭代法对于不同方程有较好的平衡。

结论：1、对于不同类型的方程求解，可以根据具体情况选择合适的计算方法。

2、迭代法、牛顿法和二分法各有优缺点，没有绝对的最优方法，需要权衡各种因素选择最适合的方法。

3、在实际应用中，可以根据方程的特点和精度要求综合考虑不同方法的优劣势，以获得较好的求解效果。

数学实验题目4 Newton 迭代法摘要0x 为初始猜测，则由递推关系产生逼近解*x 的迭代序列{}k x ，这个递推公式就是Newton 法。

当0x 距*x 较近时，{}k x 很快收敛于*x 。

但当0x 选择不当时，会导致{}k x 发散。

故我们事先规定迭代的最多次数。

若超过这个次数，还不收敛，则停止迭代另选初值。

前言利用牛顿迭代法求的根程序设计流程问题1（1 程序运行如下：r = NewtSolveOne('fun1_1',pi/4,1e-6,1e-4,10) r = 0.7391（2 程序运行如下：r = NewtSolveOne('fun1_2',0.6,1e-6,1e-4,10) r = 0.5885问题2（1 程序运行如下：否 是否是是定义()f x输入012,,,x N εε开 始1k =01()f x ε<0100()()f x x x f x =-'102||x x ε-<k N =输出迭代失败标志输出1x输出奇 异标志结 束01x x = 1k k =+ 否r = NewtSolveOne('fun2_1',0.5,1e-6,1e-4,10)r = 0.5671（2）程序运行如下：r = NewtSolveOne('fun2_2',0.5,1e-6,1e-4,20)r = 0.5669问题3（1）程序运行如下：①p = LegendreIter(2)p = 1.0000 0 -0.3333p = LegendreIter(3)p = 1.0000 0 -0.6000 0p = LegendreIter(4)p =1.0000 0 -0.8571 0 0.0857p = LegendreIter(5)p = 1.0000 0 -1.1111 0 0.2381 0②p = LegendreIter(6)p = 1.0000 0 -1.3636 0 0.4545 0 -0.0216r = roots(p)'r= -0.932469514203150 -0.6612 0.9324695142031530.6612 -0.238619186083197 0.238619186083197用二分法求根为：r = BinSolve('LegendreP6',-1,1,1e-6)r = -0.932470204878826 -0.661212531887755 -0.2386200573979590.2386 0.661192602040816 0.932467713647959（2）程序运行如下：①p = ChebyshevIter(2)p = 1.0000 0 -0.5000p = ChebyshevIter(3)p = 1.0000 0 -0.7500 0p = ChebyshevIter(4)p = 1.0000 0 -1.0000 0 0.1250p = ChebyshevIter(5)p = 1.0000 0 -1.2500 0 0.3125 0②p = ChebyshevIter(6)p = 1.0000 0 -1.5000 0 0.5625 0 -0.0313r = roots(p)'r = -0.965925826289067 -0.7548 0.9659258262890680.7547 -0.258819045102521 0.258819045102521用二分法求根为：r = BinSolve('ChebyshevT6',-1,1,1e-6)r = -0.965929926658163 -0.7755 -0.2588289221938780.2588 0.7020 0.965924944196429与下列代码结果基本一致，只是元素顺序稍有不同：j = 0:5;x = cos((2*j+1)*pi/2/(5+1))x =0.965925826289068 0.7548 0.258819045102521-0.258819045102521 -0.7547 -0.965925826289068（3）程序运行如下：①p = LaguerreIter(2)p = 1 -4 2p = LaguerreIter(3)p = 1 -9 18 -6p = LaguerreIter(4)p = 1 -16 72 -96 24p = LaguerreIter(5)p =1.0000 -25.0000 200.0000 -600.0000 600.0000 -120.000②p = LaguerreIter(5)p =1.0000 -25.0000 200.0000 -600.0000 600.0000 -120.000r = roots(p)'r =12.6432 7.8891 3.5964257710407111.4520 0.263560319718141用二分法求根为：r = BinSolve('LaguerreL5',0,13,1e-6)r = 0.263560314567722 1.4789 3.5964257656311507.0720 12.6490（4）程序运行如下：①p = HermiteIter(2)p = 1.0000 0 -0.5000p = HermiteIter(3)p = 1.0000 0 -1.5000 0p = HermiteIter(4)p = 1.0000 0 -3.0000 0 0.7500p = HermiteIter(5)p = 1.0000 0 -5.0000 0 3.7500 0②p = HermiteIter(6)p = 1.0000 0 -7.5000 0 11.2500 0 -1.8750r = roots(p)'r =-2.3587 2.3588 -1.3358490740136961.335849074013698 -0.4367 0.4366用二分法求根为：r = BinSolve('HermiteH6',-3,3,1e-6)r =-2.3516 -1.335849********* -0.43630.4366 1.335848983453244 2.3504所用到的函数function r = NewtSolveOne(fun, x0, ftol, dftol, maxit)% NewtSolveOne 用Newton法解方程f(x)=0在x0附近的一个根%% Synopsis: r = NewtSolveOne(fun, x0)% r = NewtSolveOne(fun, x0, ftol, dftol)%% Input: fun = (string) 需要求根的函数及其导数% x0 = 猜测根，Newton法迭代初始值% ftol = (optional)误差，默认为5e-9% dftol = (optional)导数容忍最小值，小于它表明Newton法失败，默认为5e-9 % maxit = (optional)迭代次数，默认为25%% Output: r = 在寻根区间内的根或奇点if nargin < 3ftol = 5e-9;endif nargin < 4dftol = 5e-9;endif nargin < 5maxit = 25;endx = x0; %设置初始迭代位置为x0k = 0; %初始化迭代次数为0while k <= maxitk = k + 1;[f,dfdx] = feval(fun,x); %fun返回f(x)和f'(x)的值if abs(dfdx) < dftol %如果导数小于dftol，Newton法失败，返回空值r = [];warning('dfdx is too small!');return;enddx = f/dfdx; %x(n+1) = x(n) - f( x(n) )/f'( x(n) )，这里设dx = f( x(n) )/f'( x(n) )x = x - dx;if abs(f) < ftol %如果误差小于ftol，返回当前x为根r = x;return;endendr = []; %如果牛顿法未收敛，返回空值function p = LegendreIter(n)% LegendreIter 用递推的方法计算n次勒让德多项式的系数向量Pn+2(x) = (2*i+3)/(i+2) * x*Pn+1(x) - (i+1)/(i+2) * Pn(x)%% Synopsis: p = LegendreIter(n)%% Input: n = 勒让德多项式的次数%% Output: p = n次勒让德多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %P0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %P1(x) = xp = [1 0];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为P0pMid = [1 0]; %初始化三项递推公式中项为P1for i = 0:n-2pMidCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Pn+1pMidCal(1:i+2) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的PnpBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd = (2*i+3)/(i+2) * pMidCal - (i+1)/(i+2) * pBkCal; %勒让德多项式三项递推公式Pn+2(x) = (2*i+3)/(i+2) * x*Pn+1(x) - (i+1)/(i+2) * Pn(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把勒让德多项式最高次项系数归一化function p = ChebyshevIter(n)% ChebyshevIter 用递推的方法计算n次勒让德-切比雪夫多项式的系数向量Tn+2(x) = 2*x*Tn+1(x) - Tn(x)%% Synopsis: p = ChebyshevIter(n)%% Input: n = 勒让德-切比雪夫多项式的次数%% Output: p = n次勒让德-切比雪夫多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %T0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %T1(x) = xp = [1 0];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为T0pMid = [1 0]; %初始化三项递推公式中项为T1for i = 0:n-2pMidCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Tn+1pMidCal(1:i+2) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的PnpBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd = 2*pMidCal - pBkCal; %勒让德-切比雪夫多项式三项递推公式Tn+2(x) = 2*x*Tn+1(x) - Tn(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把勒让德-切比雪夫多项式最高次项系数归一化function p = LaguerreIter(n)% LaguerreIter 用递推的方法计算n次拉盖尔多项式的系数向量Ln+2(x) = (2*n+3-x)*Ln+1(x) - (n+1)*Ln(x)%% Synopsis: p = LaguerreIter(n)%% Input: n = 拉盖尔多项式的次数%% Output: p = n次拉盖尔多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %L0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %L1(x) = -x+1p = [-1 1];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为L0pMid = [-1 1]; %初始化三项递推公式中项为L1for i = 0:n-2pMidCal1 = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Ln+1(x)pMidCal1(1:i+2) = pMid;pMidCal2 = zeros(1,i+3); %构造用于计算的Ln+1(x)pMidCal2(2:i+3) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的Ln(x)pBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd =( (2*i+3)*pMidCal2 - pMidCal1 - (i+1)*pBkCal )/ (i+2); %拉盖尔多项式三项递推公式Ln+2(x) = (2*n+3-x)*Ln+1(x) - (n+1)^2*Ln(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把拉盖尔多项式最高次项系数归一化function p = HermiteIter(n)% HermiteIter 用递推的方法计算n次埃尔米特多项式的系数向量Hn+2(x) = 2*x*Hn+1(x) - 2*(n+1)*Hn(x)%% Synopsis: p = HermiteIter(n)%% Input: n = 埃尔米特多项式的次数%% Output: p = n次埃尔米特多项式的系数向量if round(n) ~= n | n < 0error('n必须是一个非负整数');endif n == 0 %H0(x) = 1p = 1;return;elseif n == 1 %H1(x) = 2*xp = [2 0];return;endpBk = 1; %初始化三项递推公式后项为L0pMid = [2 0]; %初始化三项递推公式中项为L1for i = 0:n-2pMidCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的x*Hn+1(x)pMidCal(1:i+2) = pMid;pBkCal = zeros(1,i+3); %构造用于计算的Hn(x)pBkCal(3:i+3) = pBk;pFwd =2*pMidCal - 2*(i+1)*pBkCal; %埃尔米特多项式三项递推公式Hn+2(x) = 2*x*Hn+1(x) - 2*(n+1)*Hn(x)pBk = pMid; %把中项变为后项进行下次迭代pMid = pFwd; %把前项变为中项进行下次迭代endp = pFwd/pFwd(1); %把拉盖尔多项式最高次项系数归一化function r = BinSolve(fun, a, b, tol)% BinSolve 用二分法解方程f(x)=0在区间[a,b]的根%% Synopsis: r = BinSolve(fun, a, b)% r = BinSolve(fun, a, b, tol)%% Input: fun = (string) 需要求根的函数% a,b = 寻根区间上下限% tol = (optional)误差，默认为5e-9%% Output: r = 在寻根区间内的根if nargin < 4tol = 5e-9;endXb = RootBracket(fun, a, b); %粗略寻找含根区间[m,n] = size(Xb);r = [];nr = 1; %初始化找到的根的个数为1maxit = 50; %最大二分迭代次数为50for i = 1:ma = Xb(i,1); %初始化第i个寻根区间下限b = Xb(i,2); %初始化第i个寻根区间上限err = 1; %初始化误差k = 0;while k < maxitfa = feval(fun, a); %计算下限函数值fb = feval(fun, b); %计算上限函数值m = (a+b)/2;fm = feval(fun, m);err = abs(fm);if sign(fm) == sign(fb) %若中点处与右端点函数值同号，右端点赋值为中点b = m;else %若中点处与左端点函数值同号或为0，左端点赋值为中点a = m;endif err < tol %如果在a处函数值小于tolr(nr) = a; %一般奇点不符合该条件，这样可以去除奇点nr = nr + 1; %找到根的个数递增k = maxit; %改变k值跳出循环endk = k + 1; %二分迭代次数递增endendfunction X = powerX(x,a,b)% powerX 对给定向量(x1, x2,..., xn)返回增幂矩阵(x1^a, x2^a,..., xn^a; x1^a+1, x2^a+1,..., xn^a+1; ...; x1^b, x2^b,..., xn^b;)%% Synopsis: X = powerX(x,a,b)%% Input: x = 需要返回增幂矩阵的向量% a,b = 寻根区间上下限%% Output: X = 增幂矩阵(x1^a, x2^a,..., xn^a; x1^a+1, x2^a+1,..., xn^a+1; ...; x1^b, x2^b,..., xn^b;)if round(a) ~= a | round(b) ~= berror('a,b must be integers');elseif a >= berror('a must be smaller than b!');endx = x(:)';row = b-a+1;col = length(x);X = zeros(row, col);for i = b:-1:aX(b-i+1,:) = x.^i;Endfunction [f, dfdx] = fun1_1(x)f = cos(x) - x;dfdx = -sin(x) - 1;function [f, dfdx] = fun1_2(x)f = exp(-x) - sin(x);dfdx = -exp(-x) - cos(x);function [f, dfdx] = fun2_1(x)f = x - exp(-x);dfdx = 1 + exp(-x);function [f, dfdx] = fun2_2(x)f = x.^2 - 2*x*exp(-x) + exp(-2*x);dfdx = 2*x - 2*exp(-x) + 2*x*exp(-x) - 2*exp(-2*x);function y = LegendreP6(x)p = LegendreIter(6);X = powerX(x,0,6);y = p*X;function y = ChebyshevT6(x)p = ChebyshevIter(6);X = powerX(x,0,6);y = p*X;function y = LaguerreL5(x)p = LaguerreIter(5);X = powerX(x,0,5);y = p*X;function y = HermiteH6(x)p = HermiteIter(6);X = powerX(x,0,6);y = p*X;思考题（1）由于Newton法具有局部收敛性，所以在实际问题中，当实际问题本身能提供接近于根的初始近似值时，就可保证迭代序列收敛，但当初值难以确定时，迭代序列就不一定收敛。

浙江大学城市学院实验报告课程名称 科学计算实验项目名称 线性方程组的求解－迭代法实验成绩 指导老师（签名 ） 日期 2014/11/17一. 实验目的和要求1． 掌握Jacobi 迭代方法，Gauss-Seidel 迭代方法，SOR 迭代方法的编程思想，能够分别用分量形式和矩阵形式编写相关程序。

2． 观察SOR 迭代法中松弛因子变化情况对收敛的影响。

3． 了解Hilbert 矩阵的病态性和作为线性方程组系数矩阵的收敛性。

二. 实验内容和原理编程题2-1要求写出Matlab 源程序(m 文件)，并有适当的注释语句；分析应用题2-2，2-3，2-4要求将问题的分析过程、Matlab 源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。

2-1 编程注释设11121121222212,n n n n nn n a a a b a a a b A b a a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 对下述求解线性方程组的Matlab 程序添上注释语句，其中A 和b 分别为线性方程组的系数矩阵和右端向量；0x 为迭代初始向量(0)X ；max N 为容许迭代最大次数，eps 为迭代终止条件的精度(容许误差)，终止条件为前后两次迭代解的差的向量2-范数。

1） Jacobi 迭代：Jacobimethod(A,b,x0,Nmax,eps)2） Gauss-Seidel 迭代：GaussSeidelmethod(A,b,x0,Nmax,eps)2-2 分析应用题利用2-1中的程序来分析用下列迭代法解线性方程组：123456410100014101050141012101410501014120010146x x x x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 的收敛性，并求出使(1)()20.0001k k XX +-≤的近似解及相应的迭代次数，其中取迭代初始向量(0)X 为零向量。

0,1称为(f、迭代法函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，哪怕是对一个相当简单的函数进行迭代，都可以产生异常复杂的行为，并由此而衍生了一些崭新的学科分支，如分.同时，迭代在各种数值计算算法以及其它学科领域的诸多算法中处于核心的本实验的基本理论是分形几何学程序运行如下：练习2：利用迭代公式1(),0,1,...()n n g x x x n g x +=-=' 得到()^32g x x =-的迭代序列，其中01x =，10n =，程序运行如下：练习3：对给定的矩阵M ，数组f 和初始向量0x ，由迭代公式1n n x Mx f +=+得到的迭代序列如下：练习4：利用迭代公式11()x L D A X D b --=-+将方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++11111111.......................................b x a x a b x a x a n nn n n n 即Ax b =改成多种等价形式x Mx f =+做迭代，观察其收敛状况。

给定(){}1,2,2,(1,1,1),(2,2,1)A =-与(){}2,1,1,(1,1,1),(1,1,2)A =--，运行结果如下：练习5：同练习4，给定(){}1,2,2,(1,1,1),(2,2,1)A =-与(){}2,1,1,(1,1,1),(1,1,2)A =--，利用迭代公式111()()x I L Ux I L D b ---=-+-对方程组Ax b =做迭代。

程序运行如下：实验结果和结果分析：对于书上给出的例题程序，要实际上机亲自操作一次，从而了解不同命令的不同作用，对于相似的命令要区分明白他们的不同之处。

这一章小的命令比较多，也比较杂，需要分门别类区分开，并且分别运行一下。

书后的练习题离不开前面的例题，要在掌握好例题的情况下，多练习一些习题，加深记忆。

Mathematica 在迭代法解方程组非常方。

M A T L新编计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告 Prepared on 22 November 2020姓名 实验报告成绩评语：指导教师（签名）年 月 日说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。

实验一 方程求根一、 实验目的用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ，b]上，或某一点附近的实根。

并比较方法的优劣。

二、 实验原理(1)、二分法对方程0)(=x f 在[a ，b]内求根。

将所给区间二分，在分点2a b x -=判断是否0)(=x f ；若是，则有根2ab x -=。

否则，继续判断是否0)()(<•x f a f ,若是，则令x b =,否则令x a =。

否则令x a =。

重复此过程直至求出方程0)(=x f 在[a,b]中的近似根为止。

（2）、迭代法将方程0)(=x f 等价变换为x =ψ（x ）形式，并建立相应的迭代公式=+1k x ψ（x ）。

（3）、牛顿法若已知方程 的一个近似根0x ，则函数在点0x 附近可用一阶泰勒多项式))((')()(0001x x x f x f x p -+=来近似，因此方程0)(=x f 可近似表示为+)(0x f 0))(('0=-x x x f 设0)('0≠x f ,则=x -0x )(')(00x f x f 。

取x 作为原方程新的近似根1x ，然后将1x 作为0x 代入上式。

迭代公式为：=+1k x -0x )(')(k k x f x f 。

三、 实验设备：MATLAB 软件四、 结果预测 （1）11x = （2）5x = （3）2x =0,09052五、 实验内容（1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根，要求误差不超过3105.0-⨯。

（2）、取初值00=x ，用迭代公式=+1k x -0x )(')(k k x f x f ，求方程0210=-+x e x 的近似根。

迭代法求解方程问题实验报告姓名：殷伯旭 班级：信计0801班 学号：u200810065一． 实验目的运用数学知识与matlab 相结合，运用数学方法，建立数学模型，用matlab 软件辅助求解模型，解决实际问题。

二． 实验任务求方程1020x e x +-=的一个近似解，误差不超过410-，要求： 设计4种求解的迭代法，讨论其收敛性，并求出满足精度的近似解；三． 实验分析与求解题目要求设计四种迭代方法，我们考虑用书上的四种迭代思想：方法一：用Steffenson 迭代法，首先构造函数：2()10xe g x -=， 则迭代公式为：21(())k k k k k k kg x x x x +-=- 方法二：一般的迭代法，1210k k x e x +-=方法三：单点弦截法法，固定01()()()()0.25,f a b a f b f a a x x --==-， 其中端点120,a b ==，则迭代公式为：010()()()()k k k k k f x x x x x f x f x +=--- 方法四：双点弦截法法，迭代公式为：111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=--- 实验程序：function shiyan112%%%%%方法一: stefften 迭代x0=0.25;g0=(2-exp(x0))/10;gg0=(2-exp(g0))/10;x1=x0-(g0-x0)^2/(gg0-2*g0+x0);n1=0;while abs(x1-x0)>0.00001x0=x1;g0=(2-exp(x0))/10;gg0=(2-exp(g0))/10;x1=x0-(g0-x0)^2/(gg0-2*g0+x0);n1=n1+1;x(n1)=x1;endn1x0=x1%%%%%方法二: 一般迭代x20=0.25;x21=(2-exp(x20))/10;n2=0;while abs(x21-x20)>0.00001x20=x21;x21=(2-exp(x20))/10;n2=n2+1;endn2x20=x21%%%%%方法三: 单点弦截法x30=0.25;a=0;b=0.5;n3=0;fa=exp(a)+10*a-2;fb=exp(b)+10*b-2;x31=a-fa*(b-a)/(fb-fa);f30=exp(x30)+10*x30-2;f31=exp(x31)+10*x31-2;x32=x31-f31*(x31-x30)/(f31-f30); while abs(x32-x31)>0.00001x31=x32;f31=exp(x31)+10*x31-2;x32=x31-f31*(x31-x30)/(f31-f30);n3=n3+1;endn3x30=x32%%%%%%%方法四:双点弦截法x40=0.25;x41=0.5;n4=0;f40=exp(x40)+10*x40-2;f41=exp(x41)+10*x41-2;x42=x41-f41*(x41-x40)/(f41-f40);while abs(x42-x41)>0.00001x40=x41;x41=x42;f40=exp(x40)+10*x40-2;f41=exp(x41)+10*x41-2;x42=x41-f41*(x41-x40)/(f41-f40);n4=n4+1;endn4x40=x42运行结果：(1) 方法一: x =0.0905 ; 迭代次数: n1 = 2(2)方法二: x =0.0905 ; 迭代次数: n2 = 5(3) 方法三: x =0.0905 ; 迭代次数: n3 = 2(4) 方法四: x =0.0905 ; 迭代次数: n4 =33)实验总结通过自主学习matlab，编程能力有了较大提高，并将其应用于数值代数刚学的一种思想，在加深对该领域印象的同时对matlab有了更深一层的了解。