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山东省高密市第三中学高中数学2.1函数的单调性教案新人教B版必修1

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§2.1.3函数的单调性（课前预习案）
一、新知导学
1．一般地，设函数()yfx的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的 ___ ，
当改变量21xxx＞0时，有 ，那么就称函数()yfx在区间M上是增函数，
当改变量21xxx＞0时，有 __ ，那么就称函数()yfx在区间M上是减函数。
2．如果一个函数在某个区间M上是 或 ，就说这个函数在这个区间M上具
有单调性，区间M称为 .
3．用定义证明单调性的步骤为：
（1）取值：即设x1，x2是该区间的任意两个值，且x1（2）作差变形：即作差△y=y2-y1，并用因式分解、配方、有理化、通分等方法将差式向
有利于判断差的符号的方向变形；
（3）判断（符号）：确定差的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
（4）下结论：根据定义作出结论。
即：取值——作差变形——判断（符号）——下结论。

二、课前自测
1.对于函数f(x) =2x-1
从左至右图象上升还是下降? ______，在区间____________ 上， f(x)的值随着 x的增大而
________ ．
2.对于函数 f(x) = -2x+1
从左至右图象上升还是下降? ______，在区间____________ 上，f(x)的值随着 x的增大而
________ ．
3.对于函数f(x) = x2-2x
在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 __________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 __________ ．

§2.1.3函数的单调性（课堂探究案）

重点处理的问题（预习存在的问题）：
一、学习目标：
1.熟练掌握增函数，减函数的定义，会求函数的单调区间；
2.会证明函数的单调性，会利用函数单调性解决有关的问题。
二、学习重难点：

备课札记
学习笔记
2
3

跟进练习：
已知函数1()1fxx，
（1）求函数的定义域；（2）用定义证明在定义域上是减函数。

思考题（选做）
判断函数9()fxxx在(0,3)上的单调性。

例3.（1）若函数2)1(2)(2xaxxf在区间]3,(上是减函数，则实数
a
的取值范围是 。

(2)已知()fx是定义在[-1,1]上的增函数，且(2)(1)fxfx,则x的取值
范围是 。

跟进练习：
（1）若函数22()21fxxaxa在(,2]上为增函数，在区间[2,)

上是减函数，则(2)f的值为（ ）
A.—1 B.7 C.3 D.随a的变化而定
（2）已知函数()gx为R上的减函数，且()(12)gtgt，则实数t的取值
范围是 。

备课札记
学习笔记

四、课堂检测
1.若一次函数y=kx+b在（-∞，+∞）上是减函数，则点（k,b）在直角坐
标平面的（ ）
A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面
2．函数y=x2-6x+10在区间（2，4）上是（ ）

备课札记
学习笔记
4

§2.1.3函数的单调性（课后拓展案）
5

班级：_ __ 姓名：________ 时间：2015.9.17
1．函数()fx在区间（-4，7）上是减函数，则(3)yfx的递减区间是（ ）
A.（—2，3） B.（—1，10） C.（—1，7） D.（—4，10）
2．设（a,b）(c,d) 都是函数()fx的单调增区间，且12(,),(,),xabxcd若x1＞x2，则
1
()fx

与2()fx的大小关系是（ ）
A.f (x1) ＞f (x2) B.f (x1)＜f (x2) C.f (x1)=f (x2) D.不能确定
3．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）

A.3yx B.21yx C.1yx D.2yx

4．已知函数()fx是区间（0，+∞）上的减函数，那么2(1)faa与3()4f的大小关系
是 .
5．函数12)(2axxxf在)1,(上是减函数，则实数a的取值范围
是 .
6．下列四个命题中，正确命题的序号为 。
①函数y=2x2+x+1在（0，+∞）上不是增函数；

②函数11yx在(,1)(1,)上是减函数；

③函数254yxx的单调区间为[—2，+∞）；
④已知()fx在R上为增函数，若a+b＞0，则有f (a)+f (b)＞f (-a)+f (-b).
7. 如果二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+5在区间（12，1）上是单调函数，求f(2)的取值范围。

8. 已知函数()fx是定义在（—6，8）上的单调递增函数，且(21)fm＜(3)fm，求实
数m的取值范围。
6

思考题（选做）
已知函数f (x)在实数集中满足：f (xy)=f (x)+f (y)，且f (x)在定义域内是减函数
（f(0)≠ 0）。
（1）求f (1)的值；
（2）若f (2a-3)＜0，试确定a的取值范围。

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高中数学 2.1.3第2课时函数的单调性的应用课件 新人教B版必修1

高中数学 2.1.3第2课时函数的单调性的应用课件 新人教B版必修1


1．函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，且a为实数，则有
()
A．f(a)<f(2a)
B．f(a2)<f(a)
C．f(a2＋1)<f(a)
D．f(a2－a)<f(a)
[答案] C
[解析] ∵a2＋1－a＝(a－12)2＋34>0，∴a2＋1>a，∴f(a2＋
1)<f(a)．
2．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，
即函数 y＝x＋1x，x∈(0，＋∞)的单调减区间(0,1]，单调增 区间是(1，＋∞)．
函数的大致图象如图所示．
求函数 f(x)＝1－1 x的单调区间．
[解析] 设 x1、x2 是任意两个实数，且 x1<x2，则 Δx＝x2 －x1>0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝1－1 x2－1－1 x1 ＝1－xx22－1x－1 x1.
在区间(－∞，－2]上是减函数，则f(1)等于( )
A．－7
B．1
C．17ห้องสมุดไป่ตู้
D．25
[答案] D
[解析] 由题意知m8 ＝－2，∴m＝－16. ∴f(x)＝4x2＋16x＋5，∴f(1)＝25.
3．下列说法正确的是( ) A．y＝1x在定义域内为减函数 B．y＝(x＋2)2 在(－5，＋∞)上是增函数 C．y＝－1x在(－∞，0)上为增函数 D．y＝kx 不是增函数就是减函数
[解析] 设 x1、x2 是任意两个不相等的正数，且 x1<x2，则 Δx＝x2－x1>0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋x12)－(x1＋x11)＝(x2－x1)＋x1x－1x2x2＝(x2 －x1)x1xx12x－2 1.
高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性课件新人教B版必修1

高中数学第二章函数2.1.3函数的单调性课件新人教B版必修1


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知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
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12
1.函数单调性的概念 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间M⊆A. 如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当
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同样地,理解“都有”,我们也可以举例说明,y=x2在[-2,2]上,当x1=2,x2=-1时,有f(x1)>f(x2);当x1=1,x2=2时,有f(x1)<f(x2).从上例我们可 以看到对于x1<x2,f(x1)并没始终小于(或者大于)f(x2),因此就不能说 y=x2在[-2,2]上是增函数或减函数.
Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)
=
2 016 ������2+1
−
2 016 ������1+1
=
(2������20+161()���(������1���1-+������21)).
∵-1<x1<x2,
∴x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,∴Δy<0.
∴f(x)
=
2 016 ������+1
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【三维设计】高中数学 教师用书 第1部分 第二章 2.1.3 函数的单调性课件 新人教版B版必修1

【三维设计】高中数学 教师用书 第1部分 第二章 2.1.3 函数的单调性课件 新人教版B版必修1

第
2.1.3
二 2.1
函
章
数
函
的
函数 数
单 调 性
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二 考点三
观察下列函数图象
问题1：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值 如何变化？
提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大． 乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小． 丙图中，在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．
问题2：甲、乙两图中，若x1<x2，f(x1)与f(x2)的大小关系是 什么？
提示：甲图中，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)； 乙图中，若x1<x2，则f(x1)>f(x2)． 问题3：丙图中若x1<x2，f(x1)<f(x2)自变量x属于哪个区间？ 提示：[0，＋∞)．
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区 间M中的 任意 两个值x1，x2，改变量Δ x＝x2－x1>0 ， 则当 Δ y＝f(x2)－f(x1)>0 时，就称函数y＝f(x)在区间M 上是增函数，如图(1)；当 Δ y＝f(x2)－f(x1)<0 时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如图(2)．
[例2] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调 区间．
[思路点拨] 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象 → 求单调区间
[精解详析]
y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11， ，
x≥0， x＜0，
即 y＝－－xx－＋1122＋＋22，，
x≥0， x＜0.
函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，
“函数的单调性”教学设计(高中数学必修1第2.1.3节)

“函数的单调性”教学设计(高中数学必修1第2.1.3节)

“函数的单调性”教学设计（高中数学必修1第２.1.3节）【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下（1）函数的单调性起着承前启后的作用。

一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。

（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。

教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。