练习六

练习六
1.图6-17中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动.
开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米.问：当滑块A向下滑到O点
时，滑块B滑动了多少厘米？（第十届“华杯赛”总决赛口试题）

图6-17 图6-18
解：由题意得：AB²=AO²+OB²=20²+15²=25²，
可知连杆的长度等于25厘米．
当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是25厘米，
故滑块B滑动了25-15=10厘米．
2.一间大厅长、宽都是20米，大厅内用九块长为18米的板墙隔成宽2米的走廊以供举
办展览，试问参观者从入口到出口始终沿长廊的中心线行走，要走多少路？（如图6-18）
解：20×10=200（米）
答：要走200米。
3. 如图6-19，△ABC中，AB,BC边上的高分别不小
于其所在的边，则 ∠A= 45 度，
∠B= 90 度， ∠C= 45 度？
（第十一届“华杯赛”决赛模拟题）
解：在R△AHB中，AB≥AH≥BC， （1）
在Rt△CMB中，BC≥CM≥AB. （2）
由（1），（2）得AB=BC=AH=CM.
∴△ABC是等腰三角形.∠B=90°，
∠A=∠C=45°.
4. 炮兵测量角度时，使用“密位制”。已知，1周角=6000密位，
问10°等于多少密位？10密位等于多少度？
解：因为1周角就是360°
那么360°=6000密位
所以1°=6000/360 密位
1密位=（360/6000） °
那么10°=10*6000/360=166.67 密位
10密位=10*（360/6000）=0.6°

图6-19
5. 如图6-20，等腰三角形ABC中，BC的中点D把三角形ABC的周长分为15厘米和
24厘米两部分，则AB为多少厘米？
（第十一届“华杯赛”初一组决赛模拟题）
解：根据题意设AC=BC=2x厘米，AB=y厘米，则有
x+y=24，
3x=15，
或者
x+y=15，
3x=24，
由（1）得到，
x =5，
y=19；
由（2）得到，
x =8，
y=7.
故AB=19厘米或者AB=7厘米.
6. 如图6-21，在三角形ABC中，点D在BC上，且∠ABC= ∠ ACB ,∠ ADC= ∠ DAC,
∠ DAB=21°，求∠ABC 的度数，并且回答：图中哪些三角形是锐角三角形？（第十
二届“华杯赛”决赛题）

解：如图所示.
∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，而∠DAC=∠ADC=∠B+21°，∠B=∠C，
∴3×∠B+2×21°=180°，∴∠B=46°∠DAC=46°+21°=67°，
∠BAC=67°+21°=88°
∴△ABC和△ADC都是锐角三角形.
7. 每副三角板都有两块，其中一块的三个角分别是90 ° ，60 ° ，30 ° ，另一块
的三个角分别是90 ° 45 ° ， 45° ，试问用这一副三角板可以画出哪些大小不同的
角？
解：所有15°×n的角度（n为整数）

（1）
（2）

（1）
8. 如果给你一把长13厘米的尺子，请你在上面刻上四个刻度，使它可以量出1-13厘米
的任何整数厘米长的物体？（全国小学生数学竞赛试题）
解：可以在1cm，4cm，5cm，11cm处刻上刻度即可.
9.图6-22所示六边形的每个内角都是120°，其中四
边形的长度分别为1，9，9，8厘米，求这个六边形
的周长？（南京市第二届“兴趣杯”决赛试题）
解：如图添出5条线，可得出CG=9+1=10厘米，DH=10厘
米，从而EF=FH=2厘米，于是MF=8厘米，AM=8厘米.
10. 如图6-23，求∠1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4+
∠ 5+ ∠ 6+ ∠ 7=？
解：如图添线后，∠4+∠5=180°-∠8=∠9+∠10.故∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=
∠1+∠2+∠3+∠9+∠10+∠6+∠7=（5-2）×180°=540°.
11. 在三角形ABC中，D、E是BC边上的点，BD=AB,CE=AC，又∠DAE=1/3 ∠ BAC,
求∠ BAC的度数？（第七届“华杯赛”决赛题）

解：∠ADE=12 （180°-∠B）=90°-12 ∠B，同理∠AED=90°-12 ∠C.
于是∠DAE=12 （∠B+∠C），∠BAC=3∠DAE=32 （∠B+∠C）.
故32 （∠B+∠C）+∠B+∠C =180°
∴∠B+∠C =72° ∴∠BAC=108°
12. 两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”
（见图6-25），现平面上有W条直线，它们两两相交，并
且夹角只能是15 °，30 °，45 °，60 °，75 °，
90 °之一，问：
（1）W的最大值是多少？
（2）当W取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？
（第十届“华杯赛”初一组决赛题）
解：（1）W的最大值是12；
固定平面上一条直线，其他直线与此条直线的交角自这条固定直线起逆时针计算，只能
是15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°这一
种角度之一，所以，平面上最多有12条直线，否则，必有两条直线平行.
（2）当W取最大值时所有的“夹角”的和是3240度.
如图，将所有直线做平行移动，使它们交于同一个点，这样的平行移动显然不改变
两条直线的“夹角”.不妨设其中一条直线水平，从水平直线开始，逆时针将12条直线
分别记为第一条直线、第二条直线…….考虑第二条直线至第十二条直线与第一条直线的
夹角和是：
① 15+30+45+60+75+90+75+60+45+30+15=540；
考虑第三条直线至第十二条直线于第二条直线相交的“夹角”的和是：
② 15+30+45+60+75+90+75+60+45+30=540-15；
考虑第四条直线至第十二条直线于第三条直线相交的“夹角”的和是：
考虑第三条直线至第十二条直线于第二条直线相交的“夹角”的和是：
③ 15+30+45+60+75+90+75+60+45=540-15-30；
„„
第十二条直线于第十一条直线相交的“夹角”的和是：
⑾15;
将②和⑾、③和⑩、④和⑨、⑤和⑧、⑥和⑦配对，得到所有的“夹角”的和是3240
度.
答：（1）W的最大值是12；（2）当W取最大值时所有的“夹角”的和是3240度.