2020年高考数学理科陕西卷

∴综上,有： 时, 在 上单调递减, 上单调递增； 时, 在 上的单调递增
（2）由（1）,令 有 , 存在两个极值点 、 即
由题意知： ,
∴
令 ,即 和 时, ,所以有 在区间内分别单调递减
∴ 时,有 ,即
由①②两式消去 得 ,
整理得 ,
解得 或 （舍去）,
∴ ．
故选C．
9.已知sinα、cosα是方程5x2﹣ x﹣2＝0的两个实根,且α∈（0,π）,则cos（α+ ）＝（）
A. B. ﹣ C. D. ﹣
【答案】D
【解析】
根据韦达定理可得 , ,结合 ,可得 ,根据两角和的余弦公式可得 ,由此可得结果.
（2）（点差法）：设 , , 的中点为 ,椭圆 的右焦点为 ,直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,则： ,∴ ,∴ , ,∴ ,即： ,故不存在.
21.设函数 ．
（Ⅰ）讨论 在区间 上的单调性；
（Ⅱ）若 存在两个极值点 、 ,且 ,求 的取值范围．
【答案】（1） 时, 在 上单调递减, 上单调递增； 时, 在 上的单调递增；（2）
【解析】
（1）利用导函数 ,讨论在 、 时 的取值范围及其对应的单调区间即可；（2）由 存在两个极值点,即可得 ,同时可用 表示出 、 ,进而代入函数式得到 ,利用导函数研究其单调性,结合单调区间边界值即可确定 的范围
【详解】（1）由题意,得
当 时, ： 时, 在 上单调递减； 时, 无递减区间
当 时, ： 时, 在 上单调递增； 时, 在 上的单调递增
【答案】-13
【解析】
作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移,可得当x＝y＝1时,z＝2x+y取得最小值．

2020年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西高三二模理科第1题5分 2020年陕西咸阳高三二模文科第2题5分 2020年陕西咸阳高三二模理科第2题5分 已知复数z =41+i（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）． A. 2B. 2iC. −2D. −2i2、【来源】 2020年陕西高三二模理科第2题5分已知集合A ={x |−1⩽x <1} ,B ={y |y =x 2,x ∈A }，则 A ∪B = （ ）． A. {x |−1⩽x <1} B. {x |−1⩽x ⩽1} C. {x |−1<x <1} D. {x |−1<x ⩽1}3、【来源】 2020年陕西高三二模理科第3题5分若变量x ，y 满足约束条件{x +y ⩾3x −y +1⩽0x +2y −6⩽0，则目标函数z =2x −y 的最小值是（ ）．A. −3B. 0C. 13D. 1034、【来源】 2020年陕西高三二模理科第4题5分已知向量a →，b →满足a →=(1,√3)，(a →−2b →)⊥a →，则b →在a →上的投影为（ ）． A. −1B. 1C. −12D. 125、【来源】 2020年陕西高三二模理科第5题5分已知函数f(x)={−ln⁡x,0<x⩽1−x2+4x−3,x>1，若f(f(a))=1，则满足条件的实数a的个数是（）．A. 1B. 2C. 3D. 46、【来源】 2020年陕西高三二模理科第6题5分设X∼N(0,1)，其正态分布密度曲线如图所示，点A(1,0)，点B(2,0)，点C(2,1)，点D(1,1)，向正方形ABCD内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（）．（注：X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9973）A. 0.8641B. 0.6587C. 0.5228D. 0.97857、【来源】 2020年陕西高三二模理科第7题5分在公差不为0的等差数列{a n}中，a1=1，a32=a4a6，则a2=（）．A. 711B. 511C. 311D. 1118、【来源】 2020年陕西高三二模理科第8题5分2019~2020学年4月陕西西安碑林区西安市第三中学高一下学期月考第3题4分已知0<α<β<π2，且cos⁡(α−β)=6365，sin⁡β=1213，则sin⁡α=（）．A. −35B. 35C. −45D. 459、【来源】 2020年陕西高三二模理科第9题5分2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三零模理科第6题5分若将函数f(x)=2sin⁡(3x +π4)的图象向右平移a(a >0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为（ ）． A. π4 B. 5π4 C. π12 D. 5π1210、【来源】 2020年陕西高三二模理科第10题5分在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =BC =AC =a ，AA 1=b ，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且a +b =2，则该球的表面积的最小值为（ ）． A. 7π3 B. 13π4 C. 52π21 D.16π711、【来源】 2020年陕西高三二模理科第11题5分已知抛物线C:y 2=4x ，点M (3,0)，直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AB |=8，则△AMB 的面积为（ ）．A. 4B. 4√2C. 4√3D. 812、【来源】 2020年陕西高三二模理科第12题5分已知函数f (x )=xe x +12x 2+x +a ，g (x )=xln⁡x +1，若存在x 1∈[−2,2]，对任意x 2∈[1e 2,e]，都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）． A. [−3−1e−2e 2,e −3−2e 2] B. (−3−1e −2e 2,e −3−2e 2)C. [e−3−2e2,32]D. (e−3−2e2,32)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西高三二模理科第13题5分如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是．14、【来源】 2020年陕西高三二模理科第14题5分在(x+1)(ax+1)5的展开式中，x2的系数为15，则a=．15、【来源】 2020年陕西高三二模理科第15题5分在△ABC，D为AC的中点，且AD:BD:AB=1:√7:3，若BC=√7，则△ABC的周长为．16、【来源】 2020年陕西高三二模理科第16题5分已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过双曲线C的左焦点F作一斜率为√2的直线交双曲线C的左支于A，B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，则双曲线C的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年陕西高三二模理科第17题12分如图，正四棱锥P−ABCD的底边长为2，侧棱长为√3，M为PC上一点，且PM=3CM，点E，F 分别为AD，BC上的点，且AE=BF=3ED．(1) 证明：平面MEF//平面PAB．(2) 求锐二面角P−EF−M的余弦值．18、【来源】 2020年陕西高三二模理科第18题12分已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2S n=a n a n+1(n∈N∗)．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 若数列{b n}满足b n=a2n，令T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋅⋅⋅+a n b n，求证：T n<n⋅2n+1．19、【来源】 2020年陕西高三二模理科第19题12分某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取100份，统计得出如下2×2列联表：(1) 根据上述列联表，是否有85%的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？(2) 现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取9人，然后再从这9人中随机抽取3人，求这三位市民中男女都有的概率．(3) 以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取10人，用X表示这10人中优秀的人数，求随机变量X的期望和方差．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n=a+b+c+d）．20、【来源】 2020年陕西高三二模理科第20题12分已知函数f(x)=e x(x2+ax+1)(a∈R)．(1) 求函数f(x)的极值．(2) 当3<a<4时，若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求证：−5e3<f(x1)f(x2)<−3e4．21、【来源】 2020年陕西高三二模理科第21题12分已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，点P的坐标为(0,32)，且椭圆C上任意一点到点P的最大距离为√7．(1) 求椭圆C的标准方程．(2) 若过点(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M为椭圆C长轴上的一点，求△MAB面积的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年陕西高三二模理科第22题10分2020年陕西高三二模文科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=82+ty=4t2+t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin⁡θ．(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．(ρ>0)与直线l和曲线C分别交于A，B两点，求|AB|的值．(2) 若射线θ=π4选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年陕西高三二模理科第23题10分2020年陕西高三二模文科第23题10分设函数f(x)=|x−1|+|x−t|(t>0)的最小值为1．(1) 求t的值．(2) 若a3+b3=t(a,b∈R∗)，求证：a+b⩽2．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 A;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】3.5;14 、【答案】−3或1;215 、【答案】5+√7;16 、【答案】√3;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √1010．;18 、【答案】 (1) a n=n．;(2) 证明见解析．;19 、【答案】 (1) 没有．;(2) 56．;(3) 期望5.5，方差2.475．;20 、【答案】 (1) 当a<0时，函数f(x)的极大值为2−ae ，极小值为2+ae a+1；当a=0时，无极值；当a>0时，函数f(x)的极大值为2+ae a+1，极小值为2−ae．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x24+y2=1．;(2) 3√32．;22 、【答案】 (1) 直线l的普通方程为x+y−4=0(x≠0)，曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2y=0．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) t=2．;(2) 证明见解析．;。

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷（理科数学）（使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设5i z =+，则()i z z +=（）A .10iB.2iC.10D.2-2.集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A.{}1,4,9 B.{}3,4,9 C.{}1,2,3 D.{}2,3,53.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A.2- B.73C.1D.25.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.6.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.16B.13C.12D.237.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+ B.1- C.32D.19.已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A.“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B.“3x =-”是“//a b”的必要条件C.“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D.“1x =-+”是“//a b”的充分条件10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.212.已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818.记n S为数列{}n a的前n项和，且434n nS a=+．（1）求{}n a的通项公式；（2）设1(1)nn nb na-=-，求数列{}n b的前n项和为n T．19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD，4,2AD AB BC EF====，ED FB==M为AD的中点．（1）证明：//BM平面CDE；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21.已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案（含解析）一、选择题题号123456789101112答案ADDBCABBCACC1.【答案】A【解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=，故选：A2.【答案】D【解析】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð，故选：D3.【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D.4.【答案】B【解析】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.5.【答案】C【解析】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.6.【答案】A 【解析】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()2e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选：A.7.【答案】B【解析】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.8.【答案】B【解析】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 13⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+⎪-α⎝⎭，故选：B .9.【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥ ，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.10.【答案】A【解析】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11.【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则7sin sin 2A C +=.故选：C.12.【答案】C【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===24AB AP ====.故选：C二、填空题13.【答案】5【解析】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.14.【答案】64【解析】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==-甲，)12h r r ==-乙，所以((2121163143S S h V h V h S S h ++-===++甲甲甲乙乙乙.故答案为：64.15.【答案】64【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.16.【答案】715【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤，故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤，故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=.故答案为：715.三、解答题（一）必考题17.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；【解析】（1）根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=，用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18.【答案】（1）14(3)n n a -=⋅-；（2）(21)31nn T n =-⋅+【解析】（1）当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.（2）111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅ ()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19.【答案】（1）证明见解析；（2）4313【解析】（1）因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；（2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF =，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅，则43sin ,13m n =，故二面角F BM E --的正弦值为13.20.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程为22143x y +=.（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k kk=-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.21.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）12a ≤-.【解析】（1）当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数，故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.（2）()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x+-=-+'+-=-+->++，设()()()1ln 101a xs x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+，当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<，故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立；同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a ≤-.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】（1）221y x =+；（2）34a =.【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.（2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为222x s y a s⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =.[选修4-5：不等式选讲]23.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;（2）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=.。

陕西省2020版高考数学二模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·牡丹江期末) 若复数是纯虚数，则实数的值为（）A . 1或2B . 或2C .D . 22. （2分）(2020·海南模拟) 对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（）A .B .C .D .3. （2分）运行下图框图输出的S是254，则①应为（）.A .B .C .D .4. （2分）(2013·陕西理) 设，为向量，则| • |=| || |是“ ∥ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的体积为（）A .B .C .D .6. （2分）要得到的图象只需将的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位7. （2分） (2016高二上·平罗期中) 由直线3x﹣4y+1=0上的一点向圆C：x2+y2﹣6x+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A . 1B . 2C .D .8. （2分） (2018高二上·长春月考) 甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用如图所示的茎叶图表示，s1 ， s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是（）．A . s1＞s2B . s1＝s2C . s1＜s2D . 不确定9. （2分）(2018·江西模拟) 已知正三棱锥内接于球，三棱锥的体积为，且，则球的体积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一下·吉林期末) 若 x、y 满足约束条件，则 z=x-y 的最小值是（）A . 0B .C .D . 311. （2分）(2017·重庆模拟) 已知直线l1：2x﹣y+2=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A . 2B .C . 3D .12. （2分） (2015高二下·福州期中) 已知奇函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＞0时有2f（x）+xf′（x）＞x2 ，则不等式（x+2014）2f（x+2014）+4f（﹣2）＜0的解集为（）A . （﹣∞，﹣2012）B . （﹣2016，﹣2012）C . （﹣∞，﹣2016）D . （﹣2016，0）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·邢台期末) 如图，面积为10的矩形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在矩形中随机撒一粒种子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为________．14. （1分） (2020高二下·北京期中) 二项式的展开式中，常数项为________．15. （1分）(2017·葫芦岛模拟) 已知平面向量与的夹角为120°，且| |=2，| |=4，若（m）⊥ ，则m=________．16. （1分）如图所示，已知线段AB，BD在平面α内，AB⊥BD，AC⊥BD，∠CAB=60°，AB=1，CA=2，BD=3，则线段CD的长为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2019高一下·哈尔滨月考) 等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．18. （5分）(2019·房山模拟) 为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分都在区间 .已知评估综合得分与产品等级如下表：根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）.甲型乙型（Ⅰ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；（Ⅱ）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取3件，设随机变量为其中二级品的个数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较.19. （10分）(2019·巢湖模拟) 如图，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起得到图（二），点为棱上的动点.（1）求证：平面平面；（2）若，二面角为，点为中点，求二面角余弦值的平方.20. （5分）(2017·青岛模拟) 已知椭圆Γ： +y2=1（a＞1）的左焦点为F1 ，右顶点为A1 ，上顶点为B1 ，过F1 ， A1 ， B1三点的圆P的圆心坐标为（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k，m为常数，k≠0）与椭圆Γ交于不同的两点M和N．（i）当直线l过E（1，0），且 +2 = 时，求直线l的方程；（ii）当坐标原点O到直线l的距离为时，求△MON面积的最大值．21. （10分） (2018高三上·凌源期末) 已知函数 .（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的导函数为，且在上恒成立，求证： .22. （10分）(2017·上高模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l过定点P（1，1），且倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C 的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AB|及|PA|•|PB|的值．23. （5分）(2018高一下·瓦房店期末) 的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。