固体物理4-2

b1
b3
b2
b1
b. 体心立方晶格 倒易空间示意图
2π a a1 2 ( i j k ) b1 a (j k ) 4π a 2π a ( i j k ) b ( i k ) b 2 2 2 a a 2π a a (i j k ) b3 (i j ) 3 2 a
倒易空间 傅里叶空间 K空间
1.9.3 常见晶格的布里渊区 (1) 一维晶格
a1 a i 2 b1 i a
(2) 二维晶格
a1、a 2 b1 2 b2 2
构造a 3，令a 3 ＝k a2 a3 a1 a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 a 3
(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵 (6)倒易点阵与正点阵有相同的宏观对称性
倒格矢和正点阵晶面族示意图
a1 a3 CA ＝OA OC h1 h3 a 2 a3 CB ＝OB OC h2 h3 CA Gh 0 Gh CA CB Gh 0 Gh CB
—— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
布里渊区示意图3-2
2 Γ： 0,0,0 a 2 X： 1,0,0 a 2 3 3 K： , ,0 a 4 4 2 1 1 1 L： , , a 2 2 2
简约布里渊区：十四面 体 2 V 4 V倒易原胞 a
—— 第一布里渊区
原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的有 十二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：

«固体物理»复习大纲招生专业：凝聚态物理/材料物理与化学固体物理学的基本内容(专题除外), 主要有:晶体结构, 晶体结合, 晶格振动和晶体热学性质, 晶体的缺陷, 金属电子论和能带理论.主要参考书目: 1. 黄昆, 韩汝琦, 固体物理学, 高教出版社2. 陆栋, 蒋平, 徐至中, 固体物理学, 上海科技出版社3. 朱建国, 郑文琛等, 固体物理学, 科学出版社«新型功能材料»复习大纲招生专业：材料物理与化学/光学工程一、复习大纲1，材料、新材料的重要性；2，材料科学、材料工程、材料科学与工程的学科形成与学科内涵；3，材料科学与工程的“四要素”的内容；“四要素”间的相互关系（用图来表示）；“四要素”在材料研究中的作用；（要求能结合具体材料事例予以说明）4，如何理解材料、特别是新材料是社会现代化的物质基础与先导；5，怎样区分结构材料和功能材料？新型功能材料的内涵是什么？6，了解新型功能材料中相关科学名词的解释，并能给出适当的例子，如：信息材料；光电功能材料；能源材料；高性能陶瓷；纳米材料；晶体材料；人工晶体（材料）；压电材料；铁电材料；复合材料；梯度材料；智能材料与结构；材料设计；环境材料；低维材料；生物材料；非线形光学材料；光子晶体；半导体超晶格；等等；7，注意了解材料检测评价新技术的发展；注意了解材料的成分测定、结构测定、形貌观测的方法；材料无损检测评价新技术的发展概况；8，能结合具体的材料对象，给出材料的成分分析、原子价态分析、结构（含微结构）分析、形貌分析等所采用的主要技术，以及利用这些技术所得出的主要结果；9，对若干常用的分析技术，包括：X射线衍射分析（XRD），原子力显微镜分析（AFM），扫描电子显微镜分析（SEM），透射电子显微镜分析（TEM），俄歇电子能谱分析，X射线光电子能谱分析（XPS），核磁共振谱分析，等，能结合具体事例，阐述它们在材料物化结构分析中的作用和能解决的具体问题；10，材料科学技术是一门多学科交叉的前沿综合性学科；材料科学技术的学科内涵极为丰富；当代材料科学技术正在飞速发展，其主要发展趋势可以归纳为8个方面。

§4-1 布洛赫定理
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具 有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和 布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场 中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子 的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子 波函数的特点。
4 根据周期性边界条件求本征值 周期性边界条件
对于 对于 对于
—— 整数
—— 引入矢量 满足
—— 倒格子基矢
平移算符的本征值
5 Bloch 定理的证明 平移算符的本征值
将
作用于电子波函数
电子的波函数 满足布洛赫定理
—— 布洛赫定理 —— 布洛赫函数 —— 晶格周期性函数
三、 平移算符本征值的物理意义
注：由于德布洛意关系
P h
，即
P
k
，
所以 k 空间也称为动量空间。
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 因此，k 空间中每个状态点所占的体积为
2
L
2 L
图 3 表示二维 k 空间每个点所占的面积是
ky
2
。
3
1、一维情况的布洛赫定理
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 k ( x) 必须满足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数

KK
KK
KK K K K K T1ψ ( r ) = ψ ( r + a1 ) = eik ⋅a1ψ ( r )
ψ ( r ) 和ψ ( r + a1 ) 分别是相邻两个原胞中电子的波函数 —— 两者只相差一个位相因子 λ1 = eik ⋅a
K
K
K
K
KK
1
，不同的简 2）平移算符本征值量子数： k 称为简约波矢（与电子波函数的波矢有区别，也有联系） 约波矢，原胞之间的位相差不同。 3）如果简约波矢改变一个倒格子矢量： Gn = n1b1 + n 2 b2 + n3b3 ， n1 , n 2 , n3 为整数。
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固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404
由于存在对易关系，根据量子力学可以选取 H 的本征函数，使它同时成为各平移算符的本征函数。
有：
Hψ = Eψ T1ψ = λψ ψ = λ2ψ , T3ψ = λ3ψ 1 , T2
本征值的确定： λ1 , λ2 , λ3
KK ik ⋅a1
则平移算符 T1 , T2 , T3 的本征值可以表示为： λ1 = e
, λ2 = e ik ⋅a2 , λ3 = e ik ⋅a3
KK
KK
将 T ( Rm ) = T1 1 ( a1 )T2 2 ( a 2 )T3 3 ( a 3 ) 作用于电子的波函数ψ ( r )
m m m
K K K
K
K
K
( 2π ) 3 Ω
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404
第四章 能带理论
能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础． 在二十世纪二十年代末和三十年代初期， 在量子力学运动规律确立以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的．最 初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。 —— 说明了固体为什么会有导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距……等 —— 能带论为分析半导体提供了理论基础，有力地推动了半导体技术的发展 —— 大型高速计算机的发展， 使能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结 构的计算 能带理论是一个近似的理论．在固体中存在大量的电子。它们的运动是相互关联着的，每个电子的 运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子系统严格的解显然是不可能的．能带理论是单电子近 似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动．在大多数情况下，人们 最关心的是价电子，在原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生了很大的变化，而内层电子 的变化是比较小的，可以把原子核和内层电子近似看成是一个离子实．这样价电子的等效势场，包 括离子实的势场，其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称性而带来的交换作用．单电子 近似最早用于研究多电子原子，又称为哈特里（Hartree）－福克（ΦOK）自洽场方法。 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电 子．在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响 看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场 V(r)也应具有周 期性．晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，