专题02 代数式与整式

专题2 整式及因式分解列代数式1．（2021•温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（ ）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【分析】应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费．【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）．故选：D．2．（2021•台州）将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）A．20%B．×100%C．×100%D．×100%【分析】根据x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，可知含糖的质量为10%x+30%y，要求混合后的糖水含糖的百分比，只要用混合后糖的质量除以混合后糖水的质量再乘以100%即可．【解答】解：由题意可得，混合后的糖水含糖：×100%＝×100%，故选：D．3．（2022•金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；（2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可．【解答】解：（1）∵直角三角形较短的直角边＝×2a＝a，较长的直角边＝2a+3，∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3；（2）小正方形的面积＝（a+3）2，当a＝3时，面积＝（3+3）2＝36．4．（2022•舟山）观察下面的等式：＝+，＝+，＝+，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【分析】（1）观察已知等式，可得规律，用含n的等式表达即可；（2）先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到（1）中的等式．【解答】解：（1）观察规律可得：＝+；（2）∵+＝+＝＝，∴＝+．合并同类项5．（2023•丽水）计算a2+2a2的正确结果是（ ）A．2a2B．2a4C．3a2D．3a4【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．【解答】解：a2+2a2＝（1+2）a2＝3a2，故选：C．6．（2022•连云港）计算：2a+3a＝　5a　．【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．【解答】解：2a+3a＝5a，故答案为：5a．规律型：数字的变化类7．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）写出192﹣172的结果；（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，∴192﹣172＝8×9＝72；（2）由题意可得，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．8．（2022•嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．（1）尝试：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；③当a＝3时，352＝1225＝　3×4×100+25　；……（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．【分析】（1）根据规律直接得出结论即可；（2）根据＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25即可得出结论；（3）根据题意列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，故答案为：3×4×100+25；（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；（3）由题知，﹣100a＝2525，即100a2+100a+25﹣100a＝2525，解得a＝5或﹣5（舍去），∴a的值为5．幂的运算9．（2022•湖州）下列各式的运算，结果正确的是（ ）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a3﹣a2＝a D．（2a）2＝4a2【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则，分别计算得出答案．【解答】解：A．a2+a3，无法合并，故此选项不合题意；B．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；C．a3﹣a2，无法合并，故此选项不合题意；D．（2a）2＝4a2，故此选项符合题意；故选：D．10．（2023•宁波）下列计算正确的是（ ）A．x2+x＝x3B．x6÷x3＝x2C．（x3）4＝x7D．x3•x4＝x7【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂除法、幂的乘方以及同底数幂乘法的运算法则计算即可．【解答】解：A、x2和x不是同类项，不能进行合并，故选项不符合题意；B、x6÷x3＝x3，原式计算错误，故选项不符合题意；C、（x3）4＝x12，原式计算错误，故选项不符合题意；D、x3•x4＝x7，运算计算正确，故选项符合题意．故选：D．11．（2022•宁波）下列计算正确的是（ ）A．a3+a＝a4B．a6÷a2＝a3C．（a2）3＝a5D．a3•a＝a4【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项．【解答】解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；B选项，原式＝a4，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a6，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a4，故该选项符合题意；故选：D．完全平方（平方差）公式12．（2023•台州）下列运算正确的是（ ）A．2（a﹣1）＝2a﹣2B．（a+b）2＝a2+b2C．3a+2a＝5a2D．（ab）2＝ab2【分析】根据去括号法则，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．【解答】解：A．2（a﹣1）＝2a﹣2×1＝2a﹣2，则A符合题意；B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，则B不符合题意；C．3a+2a＝（3+2）a＝5a，则C不符合题意；D．（ab）2＝a2b2，则D不符合题意；故选：A．13．（2021•台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（ ）A．24B．48C．12D．2【分析】根据题中条件，结合完全平方公式，先计算出2ab的值，然后再除以2即可求出答案．【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得2ab+25＝49，则2ab＝24，所以ab＝12，故选：C．14．（2021•温州）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣．（2）化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．【分析】（1）运用实数的计算法则可以得到结果；（2）结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果．【解答】解：(1)原式＝﹣12+8﹣3+1＝﹣6；(2)原式＝a2﹣10a+25+a2+4a＝2a2﹣6a+25．15．（2023•宁波）计算：（1）（1+）0+|﹣2|﹣．（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．【分析】（1）根据零指数幂的定义、绝对值的代数意义以及二次根式的性质解答即可；（2）根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可．【解答】解：（1）（1+）0+|﹣2|﹣＝1+2﹣3＝0；（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）＝a2﹣9+a﹣a2＝a﹣9．整式的运算及化简求值16．（2022•绍兴）下列计算正确的是（ ）A．（a2+ab）÷a＝a+b B．a2•a＝a2C．（a+b）2＝a2+b2D．（a3）2＝a5【分析】根据多项式除以单项式判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据完全平方公式判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．【解答】解：A选项，原式＝a2÷a+ab÷a＝a+b，故该选项符合题意；B选项，原式＝a3，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a6，故该选项不符合题意；故选：A．17．（2023•绍兴）下列计算正确的是（ ）A．a6÷a2＝a3B．（﹣a2）5＝﹣a7C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1D．（a+1）2＝a2+1【分析】直接利用整式的混合运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；B．（﹣a2）5＝﹣a10，故此选项不合题意；C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，故此选项符合题意；D．（a+1）2＝a2+2a+1，故此选项不合题意．故选：C．18．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是　25　；（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．【分析】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；（2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2＝，再结合（m+n）2＝10可求得mn＝，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn＝．【解答】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，∵a＝3，b＝4，∴a2+b2＝32+42＝25，故答案为：25；（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），∴（m+n）（m+n）＝5，∴（m+n）2＝10，∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，∵a2+b2＝3，∴m2+n2＝，∵（m+n）2＝10，∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，整理得：2mn＝，即mn＝，∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：＝m，＝n，故阴影部分的面积为：×m×n＝mn＝，故答案为：．19．（2023•金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．【分析】先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可【解答】解：原式＝4x2﹣1+3x﹣4x2＝3x﹣1当时，原式＝3×﹣1＝0．20．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝．【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x＝代入计算即可．【解答】解：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）＝1﹣x2+x2+2x＝1+2x，当x＝时，原式＝1+＝1+1＝2．21．（2021•金华）已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2＝﹣6x+2，当x＝时，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．因式分解22．（2023•绍兴）因式分解：m2﹣3m＝　m（m﹣3）　．【分析】直接提取公因式m，进而分解因式即可．【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案为：m（m﹣3）．23．（2023•温州）分解因式：2a2﹣2a＝　2a（a﹣1）　．【分析】直接提取公因式2a，进而分解因式即可．【解答】解：2a2﹣2a＝2a（a﹣1）．故答案为：2a（a﹣1）．24．（2023•金华）因式分解：x2+x＝　x（x+1）　．【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得．【解答】解：x2+x＝x（x+1）．25．（2023•台州）因式分解：x2﹣3x＝　x（x﹣3）　．【分析】提取公因式x即可．【解答】解：原式＝x•x﹣x•3＝x（x﹣3），故答案为：x（x﹣3）．26．（2022•丽水）分解因式：a2﹣2a＝　a（a﹣2）　．【分析】观察原式，找到公因式a，提出即可得出答案．【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．故答案为：a（a﹣2）．27．（2021•台州）因式分解：xy﹣y2＝　y（x﹣y）　．【分析】原式提取公因式y，即可得到结果．【解答】解：原式＝y（x﹣y）．故答案为：y（x﹣y）．28．（2021•宁波）分解因式：x2﹣3x＝　x（x﹣3）　．【分析】原式提取x即可得到结果．【解答】解：原式＝x（x﹣3），故答案为：x（x﹣3）29．（2023•杭州）分解因式：4a2﹣1＝（ ）A．（2a﹣1）（2a+1）B．（a﹣2）（a+2）C．（a﹣4）（a+1）D．（4a﹣1）（a+1）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12＝（2a﹣1）（2a+1）．故选：A．30．（2021•杭州）因式分解：1﹣4y2＝（ ）A．（1﹣2y）（1+2y）B．（2﹣y）（2+y）C．（1﹣2y）（2+y）D．（2﹣y）（1+2y）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：1﹣4y2＝1﹣（2y）2＝（1﹣2y）（1+2y）．故选：A．31．（2023•宁波）分解因式：x2﹣y2＝　（x+y）（x﹣y）　．【分析】因为是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解即可．【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案是：（x+y）（x﹣y）．32．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．33．（2022•台州）分解因式：x2﹣1＝　（x+1）（x﹣1）　．【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．【解答】解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．34．（2023•长春）分解因式：m2﹣1＝　（m+1）（m﹣1）　．【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．35．（2022•宁波）分解因式：x2﹣2x+1＝　（x﹣1）2　．【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．36．（2022•温州）分解因式：m2﹣n2＝　（m+n）（m﹣n）　．【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），故答案为：（m+n）（m﹣n）．37．（2022•金华）因式分解：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．38．（2023•浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：　x2﹣1（答案不唯一）．　．【分析】根据题意，可以写出分解因式中含有（x+1）的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可．【解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），∴符合条件的一个多项式是x2﹣1，故答案为：x2﹣1（答案不唯一）．。

专题02 整式乘除法的五种求值题型全攻略【知识点梳理】整式乘法1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

整式除法1、单项式除单项式：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。

2、多项式除单项式：多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。

类型一、“不含某一项”求参例、已知将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）乘开的结果不含x2项，并且x3的系数为2．则m+n＝_____．【答案】-8【详解】（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（﹣3m+n）x2+(4m﹣3n)x+4n，∵结果不含x2项，并且x3的系数为2，∴﹣3m+n＝0，4+m＝2，∴m＝﹣2，n＝﹣6，∴m+n＝﹣2﹣6＝﹣8，故答案为：﹣8【变式训练1】若多项式x 2＋2mx ﹣1与x 2﹣2x ＋n 的乘积中不含x 2和x 3项，则m 2﹣mn ＋14n 2＝_____．【变式训练2】若()22133x px x x q æö+--+ç÷èø的积中不含x 项与3x 项．(1)求p 、q 的值；(2)求代数式()()2322012201423p q pq p q -++的值．【变式训练3】若（x 2＋3mx ﹣13）（x 2﹣3x ＋n ）的积中不含x 和x 3项，（1）求m 2﹣mn ＋14n 2的值；（2）求代数式（﹣18m 2n ）2＋（9mn ）﹣2＋（3m ）2014n 2016的值．【变式训练4】已知将32()(34)x mx n x x ++-+展开的结果不含3x 和2x 项，（m 、n 为常数）（1）求m 、n 的值；（2）在（1）的条件下，求22()()m n m mn n +-+的值．（先化简，再求值）【答案】（1）412m n =-ìí=-î；（2）33m n +，-1792【详解】解：（1）32543322()(34)343434x mx n x x x x x mx mx mx nx nx n ++-+=-++-++-+，54323(4)(3)(43)4x x m x n m x m n x n =-+++-+-+，由题意得：4030m n m +=ìí-=î，解得：412m n =-ìí=-î；（2）22()()m n m mn n +-+322223m m n mn m n mn n =-++-+33m n =+，当4m =-，12n =-时，原式33(4)(12)6417281792=-+-=--=-类型二、特殊值法求值例1、已知7765012672()3x a x a x a x a x a =++¼¼+++-，则0127a a a a ¼+¼+++=（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．0【答案】B 【解析】将1x =代入7765012672()3x a x a x a x a x a =++¼¼+++-得：7012672(13)a a a a a =++¼¼++´-+，∴012671a a a a a ¼¼+++++=-．故选：B ．【变式训练1】（1）已知：210,a a +-=则43222000a a a +++的值是_____（2）如果记162a =，那么1231512222+++++=L _____（3）若232122192,x x ++-=则x=_____（4）若5543254321021),x a x a x a x a x a x a -=+++++（则24a a +=_____【答案】（1）2001 （2）1a - （3）52 （4）﹣120【解析】（1）由题意得：21a a +=；∴43222000a a a +++=43322000a a a a ++++=()22322000a a a a a ++++=3222000a a a +++=()222000a a a a +++=12000+=2001（2）设1231512222m =++++¼+，则23416222222m =++++¼+；∴16221m m -=-，即1621m =- ∴原式=1a -（3）232122x x ++-=212x +∙22122x +-=2132x +×=192∴21264x += ∴216x += ∴52x =（4）当x=1时，1=012345a a a a a a +++++ ……①当x=﹣1时，53-=012345a a a a a a -+--+ ……②当x=0时，-1=0a ①＋②=()0242a a a ++=513-即024a a a ++=5132- ∴24a a +=5132-＋1=﹣120【变式训练2】小东在学习多项式乘以多项式时发现：14(25)(36)2x x x æö++-ç÷èø的结果是一个多项式，并且最高次项为：312332x x x x ××=，常数项为：45(6)120´´-=-，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结，他发现：一次项系数就是：()()156********´´-+´-´+´´=-，即一次项为3x -．请你认真领会小东解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题，(1)计算()()()23153x x x ++-所得多项式的一次项系数为___________；(2)若计算()()2213(21)x x x x a x ++-+-所得多项式不含一次项，求a 的值；(3)若()2023202320222021012202220231x a x a x a x a x a +=+++++L ，则2022a =___________．【答案】(1)11-；(2)3a =-；(3)2023【详解】（1）解：()()1133325213181011´´-+´-´+´´=--+=-，∴()()()23153x x x ++-所得多项式的一次项系数为11-，故答案为：11-（2）解：由题意得，()()2213(21)x x x x a x ++-+-的一次项系数为：()()()1131121323a a a a a ×´-+-´´-+´×=-++=+，∵计算()()2213(21)x x x x a x ++-+-所得多项式不含一次项，∴30a +=，∴3a =-；（3）解：∵()20231x +表示2023个()1x +相乘，几个多项式乘积的一次项系数为多项式中的一次项系数与其他多项式的常数项的积的和，∴()20231x +的结果的一次项系数为2023个1111´´´´L （一共2023个1），∴()20231x +的结果的一次项系数为2023，∴20222023a =，故答案为：2023．【变式训练3】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了()na b +（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：0()1a b +=，它只有一项，系数为1；1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：(1)5()a b +展开式共有______项，系数和为______．(2)求5(21)a -的展开式；(3)利用表中规律计算：5432252102102521-´+´-´+´-（不用表中规律计算不给分）；(4)设171716171610(1)x a x a x a x a +=++¼++，则1231617a a a a a +++¼++的值为______．【答案】(1)6，32(2)543232808040101a a a a a -+-+-(3)1(4)1721-【详解】（1）解：根据图表中的规律，可得：5()a b +展开式共有6项，系数和为1510105132+++++=，故答案为：6，32；（2）5(21)a -()5544332223452521102(1)102(1)52(1)(1)a a a a a =+´-+´-+´-+´-+-543232808040101a a a a a =-+-+-；（3）根据图表中数据的规律可以发现：54325252102102521(21)-´+´-´+´-=-，54322521021025211\-´+´-´+´-=；（4）171716171610(1)x a x a x a x a +=++¼++Q ，\当1x =时，1701231617(11)a a a a a a +=++++¼++，当0x =时，170(01)1a +==，17123161721a a a a a \=++++¼++，1231617a a a a a \+++¼++的值为1721-．故答案为：1721-．类型三、整体代入法求值例1、若a +b ＝﹣3，ab ＝1，则（a +1）（b +1）（a ﹣1）（b ﹣1）＝_____．【答案】-5【详解】解：∵a +b =-3，ab =1，∴（a +1）（b +1）（a -1）（b -1）=[（a +1）（b +1）][（a -1）（b -1）]=（ab +a +b +1）（ab -a -b +1）=（1-3+1）×（1+3+1）=-1×5=-5．故答案为：-5．【变式训练1】计算()()()()12320222320231232023232022----´+++-----´+++L L L L 的结果是（ ）A ．2023B ．2022C ．2021D ．2020【答案】A 【详解】解：设12342022x =-----L ，2342023y =++++L ，则123420232023x -----=-L ，23420222023y ++++=-L ，\()()()()12320222320231232023232022----´+++-----´+++L L L L ()()20232023xy x y =---()2202320232023xy xy x y =---+2202320232023xy xy x y =-++-2202320232023x y =+-()220232023x y =+-()212342022220234023202323=-----+++++-´L L ()22023120232023=´+-22202320232023=+-2023=．故选：A ．【变式训练2】（1）已知2x 2＋6x ＝3，求代数式x （x ＋1）（x ＋2）（x ＋3）的值；（2）如果多项式4x 2＋kx －7被4x ＋3除后余2，求k 的值．【答案】（1）214；（2）-9【详解】（1）由2x 2＋6x ＝3，得2332x x +=∴x （x ＋1）（x ＋2）（x ＋3）=223321(3)(32)2224x x x x æö+++=´+=ç÷èø；（2）∵多项式4x 2＋kx －7是二次多项式，除式4x+3是一次多项式∴多项式4x 2＋kx －7被4x ＋3除，则商应为一次多项式∵多项式4x 2＋kx －7的二次项系数为4∴商的一次项系数为1∵多项式4x 2＋kx －7的常数项为-7，余数为2∴商的常数项为-3∴商为3x -∴4x 2＋kx －7=2(43)(3)2497x x x x +-+=--，∴k =-9【变式训练3】已知2a 2+a -6=0，求代数式(3a +2)(3a -2)-(5a 3-2a 2)÷a 的值．【答案】8【详解】解：()()()32323252a a a a a +---¸()229452a a a =---，229452a a a =--+，2424a a =+-；∵2260a a +-=，∴226a a +=，∴2424a a +-()2224a a =+-264=´-8=．类型四、规律性问题例1、我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了()n a b +（n ＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）：111()a b +＝a +b1212()a b +＝222a ab b ++13313()a b +＝322333a a b ab b +++146414()a b +＝++++432234a 4ab 6a b 4ab b 请根据上述规律，写出20212()x x+的展开式中含2019x 项的系数是（ ）A ．2021B ．4042C ．2043231D ．2019【变式训练1】大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ）,它可以解释二项式和的乘方规律，观察下列等式（Ⅱ）根据前面各式规律，则6()a b +的展开式是_________．【答案】654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++【详解】解：1()+=+Q a b a b222()2a b a ab b +=+++=+++33223()33a b a a b ab b 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++66542332456()61520156a b a a b a b a b a b ab b \+=++++++，故答案为：654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++．【变式训练2】请同学观察、计算、思考完成下列问题：计算：（1）()()a b a b -+=______；（2）()()22a b a ab b -++=______；（3）()()3223a b a a b ab b -+++=______；猜想并验证：（4）()()122221n n n n n a b a a b a b a b ab b -----+++×××+++=______；思考：（5）求202220212020321222222+++×××+++的值．【答案】（1）22a b -；（2）33a b -；（3）44a b -；（4）11n n a b ++-；（5）202322-【详解】解：（1）22()()a b a b a b -+=-，故答案为：22a b -；（2）22()()a b a ab b -++322223=++---a a b ab a b ab b33=-a b ，故答案为：33a b -；（3）3223()()a b a a b ab b -+++4322332234a ab a b ab a b a b ab b =+++----44a b =-，故答案为：44a b -；（4）122221()()n n n n n n a b a a b a b a b ab b -----+++¼+++11232211232211n n n n n n n n n n n n a a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab b +------+=+++¼+++---¼----11n n a b ++=-，故答案为：11n n a b ++-；（5）202220212020321222222+++¼+++202220212020321(21)(2222221)(21)1=-+++¼++++--´20232111=--´2023211=--202322=-．【变式训练3】观察下列各式：()()2111x x x -+=-()()23111x x x x -++=-()()324111x x x x x -+++=-(1)根据以上规律，则()()6543311x x x x x x x -++++++=___________．(2)你能否由此归纳出一般规律()()111n n x x x x --++++=L ___________．(3)根据以上规律求2022202120202333331++++++L 的值．类型五、整式乘除与几何综合问题例、阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到22(2)()32a b a b a ab b ++=++．请解答下列问题：(1)用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：方法一：____________；方法二： ____________．(2)写出图2中所表示的数学等式：____________．(3)利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知++=11a b c ，++=38ab bc ac 求222a b c ++的值．【答案】(1)2()a b c ++；222222a b c ab ac bc +++++(2)2()a b c ++=222222a b c ab ac bc +++++(3)22245a b c ++=【详解】（1）方法一： 2()a b c ++故答案为：2()a b c ++方法二：222222a b c ab ac bc +++++故答案为：222222a b c ab ac bc+++++（2）因为方法一和方法二表示同一个长方形的面积，因此可2()a b c ++=222222a b c ab ac bc +++++故答案为：2()a b c ++=222222a b c ab ac bc +++++（3）根据（2）中所的结论2()a b c ++=222222a b c ab ac bc +++++得2()a b c ++=2222a b c ab ac bc +++++（）把++=11++=38a b c ab bc ac ，代入得222211238a b c =+++´解得22245a b c ++=【变式训练1】阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如，由图1可以得到()()22322a ab b a b a b ++=++．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知8a b c ++=，12ab bc ca ++=，求222a b c ++的值；(3)图3中给出了若干个边长为a 和边长为b 的小正方形纸片及若干个边长分别为a ，b 的长方形纸片．请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到关于22273a ab b ++的数学等式.【答案】(1)()2222222a b c ab ac bc a b c +++++=++(2)40(3)见解析【详解】（1）根据题意，大矩形的面积为：()()()2a b c a b c a b c ++++=++，各小矩形部分的面积之和222222a ab b bc ac c =+++++，∴等式为()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++，故答案为：()2222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++．（2）∵()2a b c ++()2222a b c ab bc ca =+++++∵812a b c ab bc ca ++=++=，，∴2222821240a b c ++=-´=．（3）∵()()2232273a b a b a ab b++=++如图所示：【变式训练2】在数学中，根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：()()22223a b a b a ab b ++=++可以用图（1）表示．(1)根据图（2），写出一个与多项式乘法有关的等式_________________________________；(2)有足够多的两种正方形卡片（①号、②号）和一种长方形卡片（③号），如图（3），现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个图形的草图，并写出计算它的面积能得到的数学等式．【答案】(1)22(2)(2)242++=++a b a b a ab b (2)图见解析，23()(2)82++=++a b a b a ab b 【详解】（1）根据图（1）的面积可以表示为(2)(2)a b a b ++或22242a ab b ++，∴22(2)(2)242++=++a b a b a ab b ，故答案为：22(2)(2)242++=++a b a b a ab b （2）解：依题意，如图，现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形∴22()(2)32a b a b a ab b ++=++．【变式训练3】数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a 、b 的两个正方形纸片和长为b 、宽为a 的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得()()22232a b a b a ab b ++=++．则：(1)由图3可以解释的等式是____________；(2)用9张边长为a 的正方形纸片，12张长为b 、宽为a 的长方形纸片，4张边长为b 的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；(3)用5张长为b ，宽为a 的长方形纸片按照图4方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为1S 、2S ，BC 的长设为x ．①请用含x 的代数式表示：2123S S -；②若无论x 取任何实数时，①的结果始终保持不变，请直接写出a 与b 满足的数量关系．【变式训练4】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式6351ax y x y -++--的值与x 的取值无关，求a 的值”，通常的解题方法是：把x 、y 看作字母，a 看作系数合并同类项，因为代数式的值与x 的取值无关，所以含x 项的系数为0，即原式()365a x y =+-+，所以30a +=，则3a =-．(1)若关于x 的多项式()22323x m m x -+-的值与x 的取值无关，求m 值；(2)已知22321A x xy x =+--，21B x xy =-+-；且36A B +的值与x 无关，求y 的值；(3)7张如图1的小长方形，长为a ，宽为b ，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为1S ，左下角的面积为2S ，当AB 的长变化时，12S S -的值始终保持不变，求a 与b 的等量关系．。

专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（原卷版） 专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。

恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。

通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。

第一部分 典例剖析+变式训练类型一 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例1 （大城县校级四模）设m ＞n ＞0，m 2+n 2＝4mn ，则m 2−n 2mn 的值等于（ ） A ．2√3B ．√3C ．√6D ．3 变式训练1．（达州中考）已知：m 2﹣2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0且mn ≠1，则mn+n+1n 的值为 ．2．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a ﹣3b +1＝0，则代数式6a ﹣9b +1＝ ．3．（2022秋•吉县期中）请阅读下面解题过程：已知实数a 、b 满足a +b ＝8，ab ＝15，且a ＞b ，求a ﹣b 的值．解：因为a +b ＝8，ab ＝15，所以：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2＝a 2+2ab +b 2﹣4ab ＝（a +b ）2﹣4ab ＝82﹣4×15＝4因为a ＞b ，所以a ﹣b ＞0，所以a ﹣b ＝2．请利用上面的解法，解答下面的问题．已知实数x 满足x −1x =√8，且x ＜0，求x +1x的值．类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例2 （2021秋•下城区期中）已知实数m ，n 满足m ﹣n 2＝1，则代数式m 2+2n 2+4m ﹣2的最小值等于 ． 变式训练1．（2022•蓝山县校级开学）若m ，n 是方程x 2﹣2ax +1＝0且a ≥1的两个实数根，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是 ．2．（2022秋•海淀区校级月考）阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式x 2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x +1，可设x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ；则x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ＝x 2+ax +x +b ＝x 2+（a +1）x +a +b ．∵对于任意上述等式成立，∴{a +1=−1a +b =3解得：{a =−2b =5． ∴x 2−x+3x+1=(x+1)(x−2)+5x+1=x ﹣2+5x+1． 这样，分式x 2−x+3x+1就拆分成一个整式x ﹣2与一个分式5x+1的和的形式． （1）将分式x 2+5x−4x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；（2）已知整数使分式2x 2−x−12x−3的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．类型三 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围典例3（2021•杭州三模）已知2a ﹣3x +1＝0，3b ﹣2x ﹣16＝0（1）用含x 的代数式分别表示a ，b ；（2）当a ≤4＜b 时，求x 的取值范围．变式训练4．平面直角坐标系中，已知点（a ，b ）在双曲线(0)k yk x 上，且满足22a b m ，22b a m ，a b ，求k 的取值范围。

(2018枣庄)下列计算正确的是 (
1 B.a ÷a =a
D )
3
2 6
C.a·2a =2a
4
D.(-a ) =-a
2 3
解析
3 2
a +a =2a ,A错误;
4 3
5
5
5
a 3 ( 1)=a ,B错误; a ÷ a 1 =
a·2a =2a ,C错误;
(-a ) =-a ,D正确.
考点三
整式的混合运算
整式的加减就是去括号并合并同类项.去括号时
中考解题指导
注意两点:一是括号前面的符号;二是括号外面的数要乘括号内的 每一项. 例3 计算:3a ·a -2a ÷a =
3 2 7 2
a
5
.
解析 原式=3a -2a =a .
5
5
5
变式3-1 先化简,再求值:a(a-2b)+(a+b) ,其中a =-1,b = 2.
mn n n
ab
(2)整式的乘法 a.单项式乘单项式:n个单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分 别相乘,作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连 同它的指数作为积的一个因式;
b.单项式乘多项式:用符号表示为m(a+b+c)=am+bm+cm; c.多项式乘多项式:用符号表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. (3)乘法公式 a.平方差公式:(a+b)(a-b)= b.完全平方公式:(a±b) = 温馨提示
A.(a ) =a C.m m =m 解析
6 2 6
B.(-2a) =-4a D.a ÷a =a