2018版高中数学 第一章 集合章末复习课学案 北师大版必修1

梳理 (1)由属于集合A或属于集合BA∪B(2){x|x∈A，或x∈B}
(4)B∪AAAB⊆A⊆
知识点二
试探 1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均知足的只有红桃A一张．
梳理 (1)属于集合A又属于集合B
A∩B(2){x|x∈A，且x∈B}
(4)B∩AA∅A⊆B⊆⊆⊆
题型探讨
例1 (1)A [A∪B是将两集合的所有元素归并到一路组成的集合(相同元素算一个)，因此A∪B＝{1,3,4,5,6}，应选A.]
∴p＝－ ，∴A＝{ ，2}．
又∵A∩B＝{ }，∴ ∈B，
∴2×( )2＋ ＋q＝0，
∴q＝－1.∴B＝{ ，－1}．
∴A∪B＝{－1， ，2}．
当堂训练1．B 2.C 3.A 4. 5.B3．1 交集与并集
学习目标 1.明白得并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．
知识点一 并集
试探 某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？
梳理 (1)概念：一样地，________________________________的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作__________(读作“A并B”)．
C．{x|1<x<2}D．{x|0<x<2}
4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，那么集合A∩B等于( )
A．∅B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}
5．已知集合A＝{1,3， }，B＝{1，m}，A∪B＝A，那么m等于( )
A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3

D 个. {a, b}的子集个数共有 _____
A. 2 C. 5
B. 3 D. 8
5.已知集合A {x | 2 x 2, x R}, B {x | x a}且A B, 则实数a的取值范围是 ________ .
5.已知集合A {x | 2 x 2, x R},
一、基本知识：
1. 空集、有限集、无限集.
2. 集合元素的三个特征： 确定性、互异性、无序性. 3. 集合的表示方法： 描述法、列举法、图示法.
4. 元素与集合的关系: a A 集合与集合的关系: A B, M N
4. 元素与集合的关系: a A 集合与集合的关系: A B, M N 5. 常见数集: N N Z Q R
2 2
B {x R | x ax a 12 0}
2
且 A B A ，求实数 a 的取值集合．
作业：
１. 设数集 A {a , 2}, B {1, 2,3, 2a 4}, 2 C {6a a 6}, 如果 C A, C B, 求a 的取值集合．
7. 设集合U {1, 2, 3, 4, 5} A {1, 3, 5} A. {1, 2, 4} C. {3, 5} B {2, 3, 5} B. {4} D. Φ
A 则CU ( A B) ________.
8. 设A、B、I均为非空集合, 且满足 A B I . 则下列各式中错误的 是 ________ . A. (CI A) B I B. (CI A) (CI B) I C. A (CI B) Φ D. (CI A) (CI B ) CI B
其中正确的个数有 _____个.

§3集合的基本运算3.1交集与并集课时过关·能力提升1已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中的元素个数为()A.5B.4C.3D.2答案:D2若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0解析:∵A∪B=A,∴B⊆A.当B=⌀时,m=0;当B={-1}时,m=-1;当B={1}时,m=1.故选D.答案:D3已知集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N+}的关系的Venn图如图,则阴影部分所示的集合的元素共有() A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个解析:M={x|-1≤x≤3},阴影部分所示的集合为M∩N={1,3}.故阴影部分所示的集合中共有2个元素.答案:B4已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为()A.4B.3C.2D.1解析:联立两集合中的函数关系式由x+y=1得x=1-y,代入x2+y2=1得y2-y=0即y(y-1)=0,解得y=0或y=1,把y=0代入x2+y2=1解得x=1,把y=1代入x2+y2=1解得x=0,所以方程组的解为或有两组解,则A∩B的元素个数为2.故选C.答案:C5已知集合A={1,2,3},B∩A={3},B∪A={1,2,3,4,5},则集合B的子集的个数为() A.6 B.7 C.8 D.9答案:C6设集合A={(x,y)|y=x2-1},B={(x,y)|y=3x-3},则A∩B=.解析:A∩B=--=或={(1,0),(2,3)}.答案:{(1,0),(2,3)}7已知集合A={x|x≤-2,或x>5},B={x|1<x≤m},若A∩B={x|5<x≤7},则m=.解析:将集合A和集合A∩B用数轴表示出来,如图,要使A∩B={x|5<x≤7},则B={x|1<x≤m}={x|1<x≤7}.∴m=7.答案:78某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.解析:设两者都喜欢的有x人,则只喜欢篮球的有(15-x)人,只喜欢乒乓球的有(10-x)人.故(15-x)+(10-x)+x+8=30,解得x=3,所以15-x=12,即所求人数为12.答案:129已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求满足下列条件的a的值.(1)9∈A∩B;(2){9}=A∩B.解(1)∵9∈A∩B,且9∈B,∴9∈A,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.检验,知a=5或a=-3.(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A∩B,∴由(1)知,a=5或a=-3.检验,知a=-3.10已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.分析::由A∪B=A,得B⊆A,则有B=⌀,或B≠⌀,因此对集合B分类讨论.解∵A∪B=A,∴B⊆A.又A={x|-2≤x≤5}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.当B=⌀时,有m+1>2m-1,∴m<2.当B≠⌀时,如图,由数轴可得解得2≤m≤3.综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}.★11为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一支测绘队,需要24人参加测量,20人参加计算,16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手:其中在参加两项工作的人中,有8人既参加了测量又参加了计算,有6人既参加了测量又参加了绘图,有4人既参加了计算又参加了绘图;另有一些人三项工作都参加了.请问这个测绘队至少有多少人?解由题意可得,测量目前有8+6=14人参加,一共需要24人,所以还差10人;计算目前有8+4=12人参加,一共需要20人,所以还差8人;绘图目前有6+4=10人参加,一共需要16人,所以还差6人,若三项都参加的有x(x≤6)人,则只参加测量的有(10-x)人,只参加计算的有(8-x)人,只参加绘图的有(6-x)人,所以总人数就是x+8+6+4+(10-x)+(8-x)+(6-x)=42-2x≥30,当且仅当x=6时等号成立.由以上分析:可知,三项都参加的有6人时,测绘队总人数最少,且最少为30人.答:这个测绘队至少有30人.★12已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实数a,m.分析:根据并集、交集的性质转化为B⊆A,C⊆A,而A={1,2},从而转化为B,C中的方程的根的问题,注意运用分类讨论的思想方法.解由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故A={1,2},因为A∪B=A,所以B⊆A,故B有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.因为x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],所以必有1∈B,因此a-1=1或a-1=2,解得a=2或a=3.又因为A∩C=C,所以C⊆A,故C有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.①若C=⌀,则关于x的方程x2-mx+2=0没有实数根,由Δ=m2-8<0,得-2<m<2;②若C={1},则关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根为1, 所以很显然不成立;③若C={2},同②,也不成立;④若C={1,2},则解得m=3.综上所述,a=2或a=3;m=3或-2<m<2.。

第2课时集合的表示学习目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)(重点)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．预习教材P4－5完成下列问题：知识点一列举法表示集合(1)列举法的定义：把集合中的元素一一列举出来，并且花括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法．(2)列举法三步骤：第一步：求出集合的元素；第二步：把元素一一列举出来，注意不重复；第三步：用花括号括起来．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．( )(2)集合{x2＋1,1}中的x的取值为任意实数．( )提示(1)不正确；集合{(1,2)}与集合{(2,1)}的元素不同，故两集合不是同一集合，故此说法不正确．(2)不正确．集合中的x不能为0．答案(1)×(2)×知识点二描述法表示集合(1)描述法的定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．(2)描述法三步骤：第一步：用符号表示一般元素及取值范围；第二步：写出元素所具有的共同特征；第三步：用竖线隔开写在花括号内．(3)描述法的格式：【预习评价】1．下列集合是用描述法表示的为( )A．{x＝1} B．{1}C ．{x |x ＝1}D ．1解析 根据描述法的表示形式知选项C 正确． 答案 C2．不等式4x －5<7的解集为________．解析 由4x －5<7，得x <3，所以不等式4x －5<7的解集为{x |4x －5<7}，即{x |x <3}． 答案 {x |x <3} 知识点三 集合的分类集合⎩⎨⎧空集： 不含任何元素的集合.非空集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含 有限个元素的集合.无限集：含 无限个元素的集合.【预习评价】1．集合{x ∈R |x 2<0}中有几个元素？ 提示 0个．2．所有整数组成的集合，能否写成{整数集}?提示 不能，因为“{ }”表示“所有”“一切”“整体”的含义，所以所有整数组成的集合，不能写成{整数集}，而应写成{x |x 是整数}或Z ．3．一个集合是否既可用列举法表示也可用描述法表示？提示 可以．如小于5的自然数既可以用列举法表示为{0,1,2,3,4}，也可用描述法表示为{x ∈N |x <5}．题型一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合； (3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解．解 (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，用列举法表示为{0,2,4,6,8,10}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故交点组成的集合为{(0,1)}．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故方程组的解集为{(－1,2)}．规律方法 用列举法表示集合的适用条件(1)集合中的元素较少，能够一一列举出来时，适合用列举法；(2)集合中的元素较多或无限多，但呈现一定的规律性时，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【训练1】 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合． (2)方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合． (3)单词look 中的字母组成的集合．(4)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6>0，1＋2x ≥3x －5的整数解组成的集合．解 (1)小于10的所有自然数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，故用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)方程x 2＝x 的实数根为1,0，用列举法表示为{1,0}．(3)因为集合中的元素具有互异性，所以look 中的字母组成的集合为{l ，o ，k}．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －6>0，1＋2x ≥3x －5，得3<x ≤6，又x 为整数，故x 的取值为4,5,6，组成的集合为{4,5,6}．题型二 用描述法表示集合 【例2】 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．规律方法 用描述法表示集合时应注意：(1)“竖线”前面的x ∈R 可简记为x ；(2)“竖线”不可省略；(3)p (x )可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；(4)同一个集合，描述法表示可以不唯一．【训练2】 用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x ，y )|－1≤x ≤32，－12≤y ≤1，且xy ≥0}.【探究1】 (1)设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－5x －a ＝0}中所有元素之和为________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3}，则a ＝________，b ＝________． 解析 (1)因为－5∈{x |x 2－ax －5＝0}， 所以25＋5a －5＝0，所以a ＝－4， 代入方程x 2－5x －a ＝0得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或4，所以集合{x |x 2－5x －a ＝0}＝{1,4}． 集合{x |x 2－5x －a ＝0}中所有元素之和为5．(2) 由A ＝{2,3}知，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得，⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝b ，因此a ＝5，b ＝6．答案 (1)5 (2)5 6【探究2】 已知f (x )＝x 2－ax ＋b (a ，b ∈R )，A ＝{x ∈R |f (x )－x ＝0}，B ＝{x ∈R |f (x )－ax ＝0}，若A ＝{1，－3}，试用列举法表示集合B ．解 因为f (x )－x ＝0，即x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0． 又因为A ＝{1，－3}，所以由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋－＝a ＋1，－＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3，所以f (x )＝x 2＋3x －3．f (x )－ax ＝0，亦即x 2＋6x －3＝0．所以B ＝{x ∈R |x 2＋6x －3＝0}＝{－3－23，－3＋23}．【探究3】 设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N ． (1)试判断元素1和2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B ． 解 (1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，所以1∈B,2∉B ．(2)因为62＋x ∈N ，所以0<2＋x ≤6，且2＋x ∈N *，当x ＝0时，62＋0＝3∈N ；当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ；当x ＝3时，62＋3＝65∉N ；当x ＝4时，62＋4＝1∈N .所以集合B ＝{0,1,4}．【探究4】 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }． (1)若A 中只有一个元素，求实数a 的值； (2)若A 中最多有一个元素，求实数a 的取值范围； (3)若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，此时x ＝－12，符合题意．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a ＝0，即当a ＝1时，原方程的解为x 1＝x 2＝－1，符合题意．故当a ＝0或a ＝1时，A 中只有一个元素．(2)A 中最多有一个元素，即A 中有一个元素或A 中没有元素．当Δ＝4－4a <0，即a >1时，原方程无实数解．结合(1)知当a ＝0或a ≥1时，A 中最多有一个元素．(3)A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素．由Δ>0，得a <1，结合(1)可知a ≤1.即a ≤1时，A 中至少有一个元素．规律方法 (1)识别集合含义的两个步骤一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集． 二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)． (2)集合中元素的互异性的应用互异性是指在给定的一个集合中，任何两个元素都是不同的．在解题中经常用到集合中元素的互异性，如求集合中字母的值时，由元素对应相等列出方程求出字母的值后必须回代检验，防止集合中出现重复元素．课堂达标1．集合{x |－3≤x ≤3，x ∈N }用列举法表示应是( ) A ．{1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{－2，－1,0,1,2}D ．{－3，－2，－1,0,1,2,3}解析 因为x ∈N ，故表示－3到3的自然数组成的集合，所以用列举法可表示为{0,1,2,3}．答案 B2．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图像上的所有点组成的集合解析 集合中的元素为点，满足的条件是y ＝2x －1，故选D ． 答案 D3．集合{y |y ＝x ，－1≤x ≤1，x ∈Z }用列举法表示是______________ ．解析 集合中的元素是y ，而y 又是通过x 来表示的，满足条件的x 有－1,0,1，将所有相应的y 值一一写到大括号中，便得到用列举法表示的集合．答案 {－1,0,1}4．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,10}，且－3∈A ，则集合A ＝________．解析 由－3∈A 知，a －2＝－3或2a 2＋5a －3，解得a ＝－1或a ＝－32.下面检验：当a ＝－1时，2a 2＋5a ＝a －2＝－3，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 当a ＝－32时，集合中的元素互不相同，满足题意．综上，a ＝－32，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，10．答案 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，105．用适当的方法表示下列集合： (1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．解 (1)因为方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，所以解集为{0，－1}．(2)在自然数集中，奇数可表示为x ＝2n ＋1，x ∈N ，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x |x ＝2n ＋1，且n <500，n ∈N }．课堂小结1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．。