当前位置：文档之家 › 异面直线所成的角求法-答案

异面直线所成的角求法-答案

  • 格式：docx
  • 大小：169.19 KB
  • 文档页数：6

异面直线所成的角的两种求法 初学立几的同学，遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处？不会作！ 下面介绍两种求法 一.传统求法 -------- 找、作、证、求解。 求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。 平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。 平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将 直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。 例1 设空间四边形 ABCD , E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若 AB = 122 , CD = 4 . 2，且四边形EFGH的面积为12 .. 3，求AB和CD所成

的角• 解 由三角形中位线的性质知， HG // AB , HE // CD , A / EHG 就是异面直线AB和CD所成的角• A ----------------- 1 — ••• EFGH是平行四边形，HG = AB = 6 . 2 ,

2

1 /— HE = , CD = 2 3 ,

2

SEFGH = HG • HE • sin / EHG = 12 6 sin / EHG, A 12 .6 sin / EHG = 12 . 3 .

sin / EHG =——，故 / EHG = 45 ° . AB和CD所成的角为45 注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。 例2.点A是BCD所在平面外一点， J2 AD=BC , E、F分别是 AB、CD的中点，且 EF= AD，求

2

异面直线AD和BC所成的角。（如图） 解：设G是AC中点，连接 DG、FG。因D、F分别是AB、

1 1 CD 中点，故 EG // BC 且 EG= — BC , FG // AD，且 FG= — AD ,

2 2

由异面直线所成角定义可知 EG与FG所成锐角或直角为异面直

线AD、BC所成角，即/ EGF为所求。由BC=AD知 1 EG=GF= lAD，又 EF=AD，由余弦定理可得 C0S / EGF=0，即 / EGF=90

注：本题的平移点是 AC中点G,按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线， 然后在△ EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线 段的倍半关系。 例3.已知空间四边形 ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N分别为BC、AD的中点。 求：AM与CN所成的角的余弦值； 解：⑴连接DM,过N作NE // AM交DM于E,贝U / CNE 为AM与CN所成的角。

••N为AD的中点,NE // AM省

1

••NE= AM且E为MD的中点。

2

设正四面体的棱长为1 , 则NC=

ME= - MD= 3 2 4

3 17 在 Rt △ MEC 中，CE2=ME2+CM 2= + =-

16 4 16

A C

-且 4 ■. 3 2 -< 3 2 7 ()() 2 4 4 16 =

2三仝 3

~T ~T

又 tzCNE €（0,-） 2 2 •••异面直线AM与CN所成角的余弦值为-. 3

注：1、本题的平移点是 N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在 △ CEN外计算 CE、CN、EN长，再回到 △ CEN中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只

有通过解三角形后， 根据这个角的余弦的正、 负值来判定这个角是锐角 （也就是异面直线所成的角） 或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

例4.如图所示，在空间四边形 ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知 AB=4，CD=20， AF BE i EF=7， 。求异面直线 AB与CD所成的角 FD EC 3

BG 1 解：在BD上取一点 G,使得 ，连结EG、FG GD 3

BE BG 在ABCD 中， ，故 EG//CD，并且 EC GD

EG BE 1 CD BC 4 FG DF 3 所以，EG=5 ;类似地，可证FG//AB，且 AB AD 4

故FG=3，在A EFG中，利用余弦定理可得

另一方面，由前所得 EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于 AB与CD所成的角，于是 AB与CD所成的角等于60 例 5 在长方体 ABCD — A1B1C1D1 中，AA1=c,AB=a， AD=b，且a> b.求AC1与BD所成的角的余弦.

•'cos ZCNE= CN2 NE2 —CE2 2 CN NE

cos ZFGE= EG2 GF2 -EF2 2 EG GF 32 52 -72 故 ZFGE=120

r.

A 解一：连AC，设AC PBD=0，则O为AC中点，取CiC的中点F，连OF，贝y OF /ACi且OF= - ACi,所以ZFOB即为ACi与DB所成的角。在△ FOB 2

取ACi中点Oi, BiB中点G .在△ CiOiG 中，/C1O1G即ACi与DB所成的角。

中，OB= ^Ja2 +b2 , OF=丄占2 +b2 +c2 , 2 2 BE=丄 Jb2 2' ic2 4 ，由余弦定理得

cos ZFOB= i 2 2 i 2 2 2 2

(a b ) (a b c ) -(b

4 4

2 丄 Ja2 +b2 Ja2 +b2 +c2 4

V2) a2 -b2

,(a2 - b2 )(a2 - b2 c2)

解三： ABDE为平行四边形.AE /BD ,所以ZEACi

即为ACi与BD所成的角.连ECi，在△AECi

.延长CD至U E,使ED=DC .贝U

中，AE= .a2 b2 , ACi= .a2 b2 c2 , CiE= ... 4a2 c2 由余弦定理，得 cos ZEAC i = 2 2 2 2 2 2 2 (a b ) (a b c ) - (4a c )

2 . a2 b2 a2 b2 c2

.2 2 b — a

2 .2 2 .2 2) a b )(a b c

所以ZEACi为钝角.

根据异面直线所成角的定义, ACi与BD所成的角的余弦为

a2 _b2

.(a2 b2)(a2 b2 c2)

—— a ■ b co^ a, Pipi),可以求空间两条直线所成的角

。 laW 例6 如图，在正方体 ABCD — AiBiCiD中，E、F

分别是BBi、CD的中点.求AE与DiF所成的角 解：取AB中点G,连结AiG,FG. 因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等,Ai

又AiDi、AD平行且相等，所以GF、AiDi平行且相 等， 故GFDiAi是平行四边形,AiG // DiF.

二.利用两个向量的夹角公式( Ci

Bi

E C ” F G B

解二： 设AiG与AE相交于点H, 则/ AHAi是AE与DiF所成的角, 因为E是BBi的中点, 所以 Rt△ AiAG 也 Rt △ ABE, / GAiA= / GAH，从而/AHAi=90

即直线AE与DiF所成角为直角. 下边看利用向量的有关知识解答该题: 证明：如右图建立空间直角坐标系： D — xyz。 设正方体的棱长为2，则有A（2，0，0 ）、A

i

D （0， 0， 0）、 Di （0， 0， 2）、 F （0，

i， 0）、 （I ）^AE= （0，2，i ），DF= （0，i，- 2） •••AE DiF = （0，2，i） ? （0，i，- 2） = 0 ••AE _ DiF ••AE与DiF所成的角为90 ' 即直线AE与DiF所成角为直角. 由上述的解答，可以看到传统方法解决立体几何问题， 程、图形都比较复杂，而用向量解答目标明确， 在未计算 前，就已经知道结果了，证明的过程只是计算验证，通过 复杂的几何证明转化为简单的代数计算，学生对于代数运算较熟悉，避免了传统方法造 成逻辑推理上的不便和由于辅助线的添加造成图形的复杂化等问题， 相比传统方法更容 易接受和掌握。因此，空间向量是处理立体几何问题的强有力工具 例7.已知四棱锥 P-ABCD的底面为直角梯形， AB /DC， 、 1 DAB =90 , PA _ 底面 ABCD，且 PA=AD=DC= AB=1，M 2

是PB的中点。求AC与PB所成的角； 解：因为PA JPD，PA 1AB，AD 1AB，以A为坐标原点 AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标

系，则各点坐标为 1 A （0，0，0） B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，—）. 2

因 AC =(1,1,0), PB 二(0,2,-1),

故 | AC|= .2,|PB|i5,AC PB =2,所以 cos ： AC, PB z

AC PB

|AC| | PB| 5

（2, 0，2）

Bi

Ci

Ai

E

B X

C *

过Y

之

空间直角坐标系，把

p

合集下载

考点18 异面直线所成的角-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修2)(解析版)

考点18 异面直线所成的角-庖丁解题2019学年高一数学人教版(必修2)(解析版)

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
1
异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角或夹角．
2．异面直线所成的角θ的取值范围：(090]︒︒，
3．当θ＝o 90时，a 与b 互相垂直，记作a b ⊥．
【例】设P 是直线l 外一定点，过点P 且与l 成30°角的异面直线（ ）
A ．有无数条
B ．有两条
C ．至多有两条
D ．有一条
【答案】A
【规律总结】异面直线所成的角的大小与O 点的位置无关，即O 点位置不同时，这一角的大小是不会改变的．
1．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 11BC CC ==，则异面直线11AC BB 与所成角的大。

异面直线所成角的几种求法

异面直线所成角的几种求法

第 1 页 共 3 页异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小,是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角)来定义的。

因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。

在这一方法中,平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

一、向量法求异面直线所成的角例1：如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。

求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。

解法一：(作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点上。

作法:连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，连结GH ，有GH//A 1E 。

过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS.由B 1H//C 1D 1//FS,B 1H=FS ，可得B 1F//SH. 在△GHS 中，设正方体边长为a 。

GH=a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，连QH,可知△GQH 为直角三角形）， HS=a(连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形)，GS=a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。

∴Cos ∠GHS=.所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为。

解法二：（向量法）分析:因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角. 以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z则点A 1的坐标为（0,2,2)，点E 的坐标为（1，0，1)，点B 1的坐标为（0，0，2），点F 的坐标为(2,1，1）；所以向量的坐标为（-1，2，1）,向量的坐标为（2，1，—1)，所以这两个向量的夹角θ满足cos θ===-。

异面直线所成的角经典例题

异面直线所成的角经典例题

异面直线所成的角经典例题在正方体ABCD-ABCD中，求异面直线BA1和CC1所成的角。

解：首先找到两条直线的方向向量，BA1的方向向量为(-1,1,0)，CC1的方向向量为(0,1,-1)。

它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,1,0)·(0,1,-1) / √2√2 = -1/2所以异面直线BA1和CC1所成的角的余弦值为-1/2.求异面直线BA(3)AC和BD1和CB1所成的角。

解：这个问题有些问题，因为没有给出异面直线的具体定义。

不过我们可以求出两条直线之间的夹角余弦值。

BA(3)的方向向量为(-1,1,1)，AC的方向向量为(-1,0,1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,1,1)·(-1,0,1) / √3√2 = -1/√6BD1的方向向量为(-1,-1,2)，CB1的方向向量为(1,-1,2)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (-1,-1,2)·(1,-1,2) / √6√6 = 0所以求出的两个角的余弦值分别为-1/√6和0.若E为AD中点，求异面直线EC1和CB所成的角。

解：EC1的方向向量为(1,-1,-1)，CB的方向向量为(1,0,-1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (1,-1,-1)·(1,0,-1) / √3√2 = -1/√6所以异面直线EC1和CB所成的角的余弦值为-1/√6.若M,N分别为AB1和BB的中点，求AM和CN所成的角的余弦值。

解：AM的方向向量为(1,-1,0)，CN的方向向量为(0,-1,1)，它们的夹角余弦值为：cosθ = (1,-1,0)·(0,-1,1) / √2√2 = -1/2所以AM和CN所成的角的余弦值为-1/2.在四面体A-BCD中，E，F分别为AD,BC上的点，且AE=BF=1，已知AB=CD=3,EF=7/4，求异面直线AB和CD所成的角。

解：首先计算出EF的方向向量，EF的长度为7/4，所以EF的方向向量为(3/7,-4/7,0)。

异面直线所成的角的求法

异面直线所成的角的求法

异面直线所成的角的求法法一：平移法在正方体 ABCD A i B i C i D i 中，求下列各对异面直线所成的角。

恵，求直线AB 与CD 所成的角。

习题1•在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2, E, F 分别为AB 、CD 的中点，EF =为, 求AD 、BC所成角的大小.例1: (1)AA 1 与 BC ; (2) DD 1 与 AB ;(3)A iB 与 AC 。

法二： 例2: 求直线AB 与MN 所成的角。

中位线在空间四边形 ABCD 中，AB = CD ，且ABCD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点,变式：在空间四边形 ABCD 中，点M 、N 分别为 BC 、AD 的中点，AB = CD = 2,且 MN =正 ABC 的边长为a , S 为 ABC 所在平面外的一点，SA = SB = SC = a, E , F 分别 是SC 和AB 的中点.求异面直线 SA 和EF 所成角.S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA = SB = SC ,且 ASB = BSC =CSA = - , M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线 SM 与BN 所成的角的 余弦值.如图，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ BCA = 90° M 、N 分别是 A i B i 和A i C i 的中 点，若BC = CA = CC i ，求BM 与AN 所成的角.5.如图1 — 28的正方体中，E 是A D 勺中点(1) 图中哪些棱所在的直线与直线BA 成异面直线？(2) 求直线 (3) 求直线 (4) 求直线2.3. 4. BA 和CC 所成的角的大小； AE 和CC 所成的角的正切值; AE 和BA 所成的角的余弦值 BA（图 1— 28）变式1.如图，在正方体 ABCD-A I B I C I D I 中，E 、F 分别是相邻两侧面 BCC i B i 及 的中心。