翻折问题
立体几何在高中数学中是培养学生的空间想象能力的重要载体，其中翻折问题学生学习是一个难点，同时也是近年来高考的热点。翻折问题实质是图形由平面到立体变化中一些线、面之间发生了变化，因此本节内容从正三角形、正方形、矩形、梯形、五边形等图形进行翻折，以便学生能更清楚熟悉模型，同时还列举了翻折模型中的平行、垂直、线线角、线面角、二面角、长度等问题。
一．翻折问题的审题建议
1.过顶点作折线的垂线，如ABE沿着BE折起，作GBEFABE并交于点，在翻折过程中，点A的轨迹是以AF为直径的圆，ABE旋转一周所得的几何体是两个同底圆锥，母线分别是AB与AE。
2.弄清变与不变的量，如ABEBCDE与四边形中的角、线段长度是不变的，但在翻折过程中，AFGABCAEDACAD、、、、等量是变化的。
二．平行问题
例1．（2017春•让胡路区校级期中）在如图（1）的平面图形中，ABCD为正方形，CDP为等腰直角三角形，E、F、G分别是PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P﹣ABCD如图（2）．
求证：在四棱锥P﹣ABCD中，AP∥平面EFG．
【分析】连接E、F，连接E、G，可得EF∥平面PAB．EG∥平面PAB．即可证平面PAB∥平面EFG
【解答】证明：连接E、F，连接E、G，在四棱锥PABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD．∵AB∥CD，∴EF∥AB．
∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．
同理EG∥平面PAB．又EF∩EG=E，
∴平面PAB∥平面EFG．又AP⊂平面PAB，
∴AP∥平面EFG．
【点评】本题考查了空间线面平行的判定，属于中档题．
【变式训练1】（2017•闵行区校级模拟）如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，EF分别是AC和BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．
1 专题07 立体几何综合问题
【题型解读】
题型特点 命题趋势
从近几年的高考试题来看，立体几何是高考解答题的必考内容，主要考查的热点题型是线面位置关系与体积计算、平面图形的折叠，探索开放性问题等，题目难度中等，题型规范，方法可循. 1.线、面的平行与垂直关系是考查的热点，通过空间几何体的体积计算，考查学生的空间想象能力．
2．平面图形折叠成空间几何体．
3．是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题.
▶▶题型一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算
(1)空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解．
(2)利用向量求空间角的步骤：
第一步：建立空间直角坐标系；
第二步：确定点的坐标；
第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；
第四步：计算向量的夹角(或函数值)；
第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；
第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．
【例1】 (2019·河南郑州高三联考)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝π6，AB＝2AD.
(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；
(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值．
【答案】见解析
【解析】(1)在△ABD中，∠ABD＝π6，AB＝2AD， 2 由余弦定理，得BD＝3AD，
从而BD2＋AD2＝AB2，
所以△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°，
故BD⊥AD.
因为DE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DE⊥BD.
又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.
因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.
(2)由(1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝π3，BD＝3AD，
实用标准方案
精彩文档 立体几何的动态问题之二
———翻折问题
立体几何动态问题的基本类型：
点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等
一、面动问题（翻折问题）：
（一）学生用草稿纸演示翻折过程:
（二）翻折问题的一线五结论
.DFAE一线：垂直于折痕的线即
五结论：
1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；
折线两侧的几何量和位置关系发生改变；
2--DHFDHF）是二面角的平面角；
3DDF）在底面上的投影一定射线上；
二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围与最值问题
1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD中，AD=AB=2，CD=CB= 5,且ADAB，现将△ABD沿对角线BD翻折成'ABD，则在'ABD折起至转到平面BCD的过程中，直线'AC与平面BCD所成最大角的正切值为_______ .
解：由题意知点A运动的轨迹是以E为圆心,EA为半径的圆，当点A运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以3tan'3ACB。
【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误12进行分析，找出错误的原因。
2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD，BD的中点分别为E，F。现将△ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是 DABECDABC4) ''DHDH点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'EAE.）面绕翻折形成两个同底的圆锥ECA实用标准方案
精彩文档 A.(,)63 B. (,]62 C. (,]32 D. 2(,)33
分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。
方法一：特殊值法（可过F作FH平行BE,找两个极端情形）
方法二：定义法：利用余弦定理：
222254cos243FHFCCHFHCCHFHFC，有32144CH
补上一课 立体几何中的翻折及动点的轨迹问题
知 识 拓 展
1.翻折问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材.解答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.解题时我们要依据这些变化的与未变化的量来分析问题和解决问题.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆向过程，一般地，涉及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试.
2.在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化.对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题.对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.
3.立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题.其一般方法有：
(1)几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；(2)代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值.
题 型 突 破
题型一 翻折问题
【例1】 (2019·宁波模拟)如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°，点E在线段CD上，满足BE⊥CD，且CE＝AB＝14CD＝2，现将△ADE沿AE翻折到△AME位置，使得MC＝210.
(1)证明：AE⊥MB；
(2)求直线CM与平面AME所成角的正弦值.
解 (1)法一 在梯形ABCD中，连接BD交AE于点N，
由条件易得BD＝43，
∴BC2＋BD2＝CD2，故BC⊥BD.
又BC∥AE，∴AE⊥BD，
从而AE⊥BN，AE⊥MN，且BN∩MN＝N，
∴AE⊥平面MNB，
又MB⊂平面MNB，∴AE⊥MB.
法二 由ME＝DE＝6，CE＝2，MC＝210，
