第六章_不确定条件下的选择

L1 L2 L1 ~ L2
确定条件下消费者的组合选择依赖于被组合的第三种商品。 但在不确定条件下选择时， 决策者从很多项备选结果中所选 择的某一结果，各项结果之间只有出现的概率不同的关系， 而不存在组合问题。 这个凸组合是概率的组合， 是可能出现 机会的组合。 在经济学分析中， 独立性公理是不确定条件下选择理论的核 心。
彩票通过相加得到： L 1l1 k lk 。 该简单彩票与复合彩票的关系为： pi 1 pi1 k pik j pij
j 1 k
4.彩票空间 基于备选结果集 X 的所有彩票的集合为彩票空间，记作 L ， L L。 复合彩票与简单彩票的关系：彩票空间。 这样在不确定条件下的选择就可以把彩票视为一种商品， 通 过在彩票空间中选择彩票，实现最大效用目标。
或者写成： u ( L) pi ui
i 1 n
其中 ui u ( xi )
二、期望效用定理
期望效用存在性定理： 若彩票空间 L 上的理性偏好关系满足 连续性和独立性公理， 则偏好可用期望效用形式表示， 即对 于 任 意 2 个 彩 票 L ( p1 , , pn ; x1 , , xn ) 和
连续性随机变量 E (X ) xf ( x)dx ，


随 机 变 量 Y 的 函 数 的 期 望 E (Y ) E ( g ( x)) pi g ( xi ) ，
i 1
n
( x xi ) ，
E (Y ) E ( g (X )) g ( x) f ( x)dx 。
L1 (1 )[L1 (1 ) L0 ] L1 (1 ) L0 ， L1 (1 ) L0 L1 (1 ) L0 。
当 时， L1 (1 ) L0 ~ L1 (1 ) L0 ； 当 时， L1 (1 ) L0 L1 (1 ) L0 。
（ 3 ） 对 于 任 意 的 LL ， 存 在 唯 一 的 L 使 得
[ L L1 (1 L ) L0 ] ~ L 。
因为由 L 的连续性和完备性可知， 集合{ [0,1] : L1 (1 ) L0 L} 和{ [0,1] : LL1 (1 ) L0 }是闭的。 （4）若效用函数 u : L R 代表偏好关系，对于所有的 L L ，
u ( L) 的概率分布也可以用 P ( p1 ,, pn ) 表示。
L ( p1 , , p n ; x1 , , xn )
3.期望效用函数。 效用函数的期望：
n
E (u ( x)) p1u ( x1 ) pn u ( xn ) pi u ( xi )
i 1
, , pn ; x1 , , xn ) 当且仅当 pi ui piui 时，也就 L ( p1
i 1 i 1
n
n
是 E (u ( L)) E (u ( L)) 时，有 LL 。 证明： （其证明是凸组合大练习！ ） 假定彩票空间 L 中存在最好的彩票 L1和最差的彩票 L0 ，从而 对于任意彩票 L 有偏好关系 L1 LL0 ，如果 L1 ~ L0 ，则 L 中所 有的彩票都是无差异的， 期望效用定理的结论自然存在。 所 以我们假定 L1 L0 作为证明的前提。
,, p n ; x1 ,, xn ) ， L1 ( p1 ,, p n ; x1 ,, xn ) ， L2 ( p1
L ( ; L1 , L2 ) K 个简单彩票的情形：
l j 为第 j 个简单彩票:
l j ( p1j , , pnj ; x1 , , xn ), j 1, , k ，
第六章 不确定条件下的选择
针对现象不确定性的不完全理性行为主体独立选择理论。 给出了风险分析的工具： 1、 对不确定如何测度——引入概率分布的思想 “虽然对于随机现象的认识可追溯到人类文明史的开端， 但 是概率论的研究一般说来始于欧洲文艺复兴时期。15 世纪 的意大利和法国赌博盛行，一些职业赌徒为增加获胜机会， 就邀请当时的一些学者研究赌博问题， 其中甚至包括一些著 名学者，比如 Galilei，Pascal。不过那时研究的都是一些简 单的组合数学问题。之后的数百年间（16 世纪至 19 世纪） ， 有越来越多的学者着手研究概率论的相关问题， 并有许多主
u : L R ，使得当且仅当 u ( L1 ) u ( L2 ) 时，存在 L1 L2 。
效用函数的存在， 使个体在不确定环境中的选择问题变为求 其效用函数最大化问题。
3.独立性公理。对于任意 L1 , L2 , L3 L , (0,1) ，当且仅当：
L1 (1 ) L3 L2 (1 ) L3 L1 (1 ) L3 ~ L2 (1 ) L3

对于一个彩票 L 的各种可能结果， 其结果的平均值是表示该 彩票一般收益水平的有效方法。
L ( p; x1 , x2 ) , E (W ) 1 x1 n xn
2.不确定选择的效用函数。 在备选结果集 X 上定义效用函数 u : X R ， X X 。 在彩票空间 L 上定义效用函数 u : L R ， u u ( L), L L 。
k

j 1
j
1时，则复合彩票表示为 L (1 , , k ; l1 , , lk ) ，
对于任何复合彩票 L (1 , , k ; l1 , , lk ) 都可以得到一个 相应的简单彩票，可以保持与复合彩票相同的最终结果分 布。 任何复合彩票 L (1 , , k ; l1 , , lk ) 都可以由一系列简单
若不确定结果 x 是在某一区间[a, b]连续变化的，则 x的效用
期望为： E (u ( x)) u ( x) f ( x)dx
a
b
期望效用 E (u ( x)) u ( L) 为彩票 L 的期望效用：
u ( p1 , , pn , x1 , , xn ) p1u ( x1 ) pn u ( xn )
一、关于不确定性概念
所谓不确定性，一般指人们经济行为结果是不确定的。 当我们根据经济行为结果进行决策时， 行为结果的不确定性 与决策预期的偏差就会构成决策的风险。 很多文献认为，不确定性是指经济行为结果虽然是不确定 的，但是各种结果出现的概率是确定的。 还有概率未知的观点。 本章采用观点： 决策结果按某一概率分布出现的选择为不确 定性选择。 思考： 确定性条件下的选择对象是什么？不确定性条件的选
L1 L2 ，或 L1 L2 ，或 L1 ~ L2 。若 L1 L2 ， L2 L3 ，则 L1 L3 。
2.连续性公理。即偏好具有连续性。 （排出小概率事件对原
有偏好的冲击！保证逻辑一致性） 对于任意 L1 , L2 , L3 L , 集合{ [0,1] : L1 (1 ) L2 L3 } [0,1] 和{ [0,1] : L3 L1 (1 ) L2 } [0,1]是闭的， 则称在彩票空 间 L 上的偏好关系是连续的。 连续性假定意味着代表偏好关系的效用函数的存在。 该函数
u ( L) L 。[ L L1 (1 L ) L0 ] ~ L ，[ L L1 (1 L ) L0 ] ~ L' ，
L L1 (1 L ) L0 L L1 (1 L ) L0 时，有 LL。
且仅当 L L 时，有 LL。 （5）证明具有期望效用的形式
L ~ L L1 (1 L ) L0 L ~ u ( L) L1 (1 u ( L)) L0 ， L ~ L L1 (1 L ) L0 L ~ u ( L) L1 (1 u ( L)) L0 。
三、彩票空间与理性偏好公理
在不确定选择下如何界定理性。 分析不确定性选择时， 我们假定遵从偏好关系公理的消费者 是理性的。这样也能对决策者（消费者或生产者）作出理性 偏好关系的假定， 以便提出决策者在不确定条件下的效用函 数。 1.完备性和传递性公理。 对于任意 L1 , L2 , L3 L , 下列必为真：
定义彩票 L ( p1 ,, pn ; x1 ,, xn ) ，其中 pi 0 为结果 xi 出现 的概率， pi 1。
i 1 n
当备选结果为两项时，彩票常常记作 L ( p; x1 , x2 ) 。 彩票也可以以向量形式记为 L ( P; X ) ， 其中 P , X 为行向量。 彩票选择由结果 x 和对应概率 p 两个因素决定 3.复合彩票。 若彩票选择的结果又构成一个彩票时，称为复合彩票。 两个简单彩票的情形：
பைடு நூலகம்
2、 如何判别决策者行为，偏好能否识别给出了彩票概念， 纳入经济学分析框架。 3、 可以用——即期望效用存在定理。 但独立性公理也有悖 论，说明应用的有效边界。 4、 直接应用——为风险决策服务。 本章三个主题： 基本概念（不确定性、彩票等） ；期望效用函数；风险理论
6.1 不确定性与彩票选择
（2）假设 L1 L0 。有 , [0,1) ， [0,1]。 1 当 时， L1 (1 ) L0 L1 (1 )[L1 (1 ) L0 ] ，
L1 L1 (1 ) L0 L0 ，
L L 存在 u ( L ) u ( L ) u ( L (1 ) L ) u ( L) (1 )u ( L )
（1） L L (1 ) L L (1 ) L L (1 ) L L 。
流的数学家也将其研究领域拓展到概率论中，这其中不乏 Gauss，Laplace 这样的大数学家，这些人的加入大大丰富 了概率论的研究成果。其间比较著名的科学事件有，1657 年荷兰物理学家 Huygens 提出了数学期望的概念；1713 年 Bernoulli 指出概率是频率的稳定值，并第一次阐明了大数 定律的意义；1718 年 De Moivre 阐述了概率乘法公式，并 于 1733 年发现了正态分布；之后，Gauss 独立发现了正态 分布，并提出了最小二乘法；而 Laplace 也独立导出了正态 分布，并提出了概率论的古典定义。 19 世 纪 中 后 期 的 俄 国 ， 在 Chebyshev, Markov 以 及 Lyapunov 等人出色的工作下，概率论被逐步推向了现代化 的门槛， 他们提出了随机变量、 分布函数、 密度函数等概念， 使数学分析进入概率论的研究领域。 ”
6.2 期望效用函数
在明确选择对象后，进入怎样描述“选择”这个事，用平均 数来度量。 把未来的选择用一个平均的结果的效用表示， 符 合常规思维。
一、效用概念
1.数学期望。 离散型随机变量 E (X) pi xi ， ( x xi ) ，其中 pi 为随机变
i 1 n
量 X xi 的概率。
择对象又是什么？
二、彩票选择
1.彩票（Lottery）的一般定义：
L1 ( p1 ; A, C ) ， L2 ( p 2 ; A, C )
L ( p; A, C ) 描述了一种彩票情况。所以在经济学中常常把
不确定性条件下的选择称为抽彩、博彩。 2.彩票选择。 备选结果集，记为 X ( x1 , , xn ) 备选结果集中各元素出现的对应概率为 P ( p1 , , pn )