26-第26讲定积分的计算

《微积分》讲义

第一章 极限

一、函数极限的概念：f＝A

要点：⑴ x 为变量；⑵ A 为一常量。

二、函数极限存在的充分必要条件：

f＝A f＝A， f＝A

例：判定 是否存在？

三、极限的四则运算法则

⑴ ＝f± g

⑵ ＝f · g

⑶ ＝ …… g≠0

⑷ k·f＝k· f

四、例：

⑴

⑵

⑶

⑷

五、两个重要极限 ⑴ ＝1 ＝1

⑵ ＝e ＝e ………

型

理论依据：

⑴ 两边夹法则：若f≤g≤h，且 limf＝limh＝A，

则：limg＝A

⑵ 单调有界数列必有极限。

例题：

⑴ ＝

⑵ ＝

⑶ ＝

⑷ ＝

⑸ ＝

六、无穷小量及其比较

1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。

2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。

3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

4、定理： f＝A f＝A＋a （ a＝0）

七、函数的连续性 1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量

x：

⑴ x0时，y0。即： y＝0

⑵ f＝f

⑶ 左连续： f＝f 右连续： f＝f

2、函数y＝f在区间上连续。

3、连续函数的性质：

⑴ 若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、

（g()≠0）在点处连续。

⑵ 若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，

则复合函数 f(j(x)) 在点处连续。

例： ＝

＝

＝

4、函数的间断点：

⑴ 可去间断点： f＝A，但 f 不存在。

⑵ 跳跃间断点： f＝A ， f＝B，但 A≠B。

幂函数求积分

幂函数是一种常见的数学函数，在微积分中有着广泛的应用。求解幂函数的积分是微积分中的基础知识之一，也是学习微积分的重要内容之一。

幂函数是指函数f(x) = x^n，其中n为正整数，x为实数。幂函数在数学中有着重要的地位，因为它们是所有多项式函数的基本构成要素。

求解幂函数的积分需要掌握一些基本的积分公式，如幂函数的积分公式、反常积分的定义和基本性质等等。

幂函数的积分公式是指对于幂函数f(x) = x^n，其定积分为∫x^n

dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中C为任意常数。

这个公式可以通过不断地对x^n求导来验证。对x^n求导得到nx^(n-1)，再对nx^(n-1)求导得到n(n-1)x^(n-2)，以此类推，直到最后得到n!，即n的阶乘。将n!带回到原式中，可得到上述的积分公式。

在求解幂函数的积分时，需要注意一些特殊情况。例如，当n=-1时，幂函数f(x) = x^n = 1/x，此时∫1/x dx = ln|x| + C，其中ln表示自然对数。当n=0时，幂函数f(x) = x^n = 1，此时∫1 dx =

x + C。这些特殊情况需要特别注意。

在微积分中，反常积分也是非常重要的一部分。反常积分是指在一定条件下，对于某些函数，其定积分不存在或无限大，因此需要通过一些特殊的方法来求解。

反常积分的定义是对于函数f(x)，如果其定积分∫f(x)dx在区间[a,b]上是无限大或不存在，那么我们称∫f(x)dx在区间[a,b]上是反常积分。通常情况下，我们将反常积分分为两类：第一类是上限或下限为无限的反常积分，第二类是被积函数在某些点上无界的反常积分。

对于幂函数f(x) = x^n，如果其n<=-1，那么在[0,1]上的定积分∫x^n dx不存在。当n>-1时，该定积分存在，且为(1/(n+1))。这是因为在n>-1的情况下，幂函数f(x) = x^n在[0,1]上是连续的，因此其定积分存在。

定积分典型例题20例答案

例1求333223

21

lim(2)

nnnn

n®¥+++．

分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函

数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n

等分写出积分和，再与所求极限相比较来

找出被积函数与积分上下限．

解将区间[0,1]n

等分，则每个小区间长为1

ix

nD=，然后把

2111

nnn=×的一个因子1

n乘

入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即

333223

21

lim(2)

nnnn

n®¥+++=333112

lim()

nn

nnnn®¥+++=1

3

03

4xdx

=

ò．

例22

2

02xxdx

-

ò=_________．

解法1由定积分的几何意义知，2

2

02xxdx

-

ò等于上半圆周22

(1)1xy

-+= (0y

³)

与x

轴所围成的图形的面积．故2

2

02xxdx

-

ò=

2p

．

解法2本题也可直接用换元法求解．令1x

-=sint

（

22tpp

-££），则

2

2

02xxdx

-

ò=2

2

21sincosttdtp

p

--

ò=2

2

021sincosttdtp

-

ò=2

2

02costdtp

ò=

2p

例3（1）若2

2

()x

t

xfxedt-

=

ò，则()fx

¢

=___；（2）若

0()()x

fxxftdt

=

ò，求()fx

¢

=___．

分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可

()

()()[()]()[()]()vx

uxd

ftdtfvxvxfuxux

dx¢¢

=-

ò．

解（1）()fx

¢=42

2xx

xee--

-；

（2）由于在被积函数中x

不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x

fxxftdt

=ò，则

可得

()fx

¢=

0()()x

ftdtxfx

+

ò．

例4 设()fx

连续，且3

1

0()x

ftdtx-

=

ò，则(26)f

=_________．

解对等式3

1

0()x

ftdtx-

=

ò两边关于x

求导得

32

(1)31fxx

-×=，

故3

21

(1)

3fx

x-=，令3

126x

-=得3x

=，所以1

(26)

27f

=．

高三数学积分试题答案及解析

1. ． 【答案】 【解析】=. 考点:定积分

2.

由直线y＝2与函数y＝2cos2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．

【答案】2π

【解析】y＝2cos2＝cos x＋1，则所求面积为

S＝dx＝(x－sin x)＝2π．

3. （ex+2x）dx等于（ ）

A．1 B．e﹣1 C．e D．e2+1

【答案】C

【解析】（ex+2x）dx=（ex+x2）|01=e+1﹣1=e

故选C．

4. 设．若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______．

【答案】

【解析】．

5. 已知通过点(1，2)，与有一个交点，交点横坐标为，且．如图所示:

设与所围成的面积为S，则S取得最小值为 ．

【答案】

【解析】由通过点(1，2)可得，即，

由与联立方程组，解得．

则与所围成的面积S为

． ∵

由得，由得或，

所以当时，S取得极小值，即最小值．

此时，最小值．

6. 设函数，若，则x0的值为______．

【答案】

【解析】，

又，∴．

7. 下列结论中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）.

①积分的值为2；②若，则与的夹角为钝角；③若，则不等式成立的概率是；④函数的最小值为2．

【答案】①③

【解析】，①正确；

时，与的夹角为钝角或为，②不正确；

由几何概型概率的计算公式得，时，不等式成立的概率是，③正确；

，令在是减函数，在是增函数，

所以，函数的无最小值，④不正确；

综上知，答案为①③.

【考点】定积分，平面向量的数量积，几何概型，指数函数的性质.

8. 已知，若，则= ( )

A．1 B．-2 C．-2或4 D．4

【答案】D

【解析】，即，解得，（因为），故选D.

【考点】定积分基本定理

9. ．给出下列命题：

① 已知线性回归方程，当变量增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；