高考数学丨线性规划知识点汇总
一、知识梳理
1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
二难知识导析
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解。
基础知识：
一、
1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+
y0+C=0
2．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<0 3．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称 意义
约束条件 由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
3.重要结论
(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证． (2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
(3)最优解和可行解的关系：
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式(组) 表示区域
Ax＋By＋C>0(＜0) 直线Ax＋By＋C＝0某一侧
的所有点组成的平面区域 不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0(≤0) 包括边界直线
不等式组 各个不等式所表示的平面区域的公共部分
2.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
3．线性规划的有关概念
名称 意义
约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数 关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y
线性目标函数 关于变量x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解(x，y)
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
常用结论
1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．
2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方． 3．平移规律
当b>0时，直线z＝ax＋by向上平移z变大，向下平移z变小；当b<0时，直线z＝ax＋by向上平移z变小，向下平移z变大．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
专题35 线性规划求解技巧
一．【学习目标】
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合．
二．【知识要点】
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的
平面区域(半平面)，不包括边界直线．
不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．
(2)在平面直角坐标系中，设直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x
0，y
0)，则
①若B>0，Ax
0＋By
0＋C>0，则点P(x
0，y
0)在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线
Ax＋By＋C＝0的上方的区域．
②若B>0，Ax
0＋By
0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．
③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．
2．线性规划相关概念
名称意义
约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组
线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数关于x，y的函数解析式
可行解满足线性约束条件的解
可行域所有可行解组成的集合
线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数
最优解使目标函数取得最大或最小值的可行解
线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值
3.常见简单的二元线性规划实际问题
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，
如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
解线性规划问题的一般步骤：
审题、设元——列出约束条件 (通常为不等式组)——建立目标函数作出可行域求最优解．
三．解题方法总结
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法
