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教学课题：线性规划求最值教学目标：理解线性规划的一般概念，掌握线性规划的基本解题步骤，能够从现实情境中抽象出二元一次不等式组，建立目标函数，并求目标函数的最大及最小值。
通过本节课学习，进一步认识数学在实际生活中的应用，渗透数形结合及数学建模思想，培养学生数学来源于生活、应用于生活的意识。
教学重点：利用二元一次不等式组所表示的平面区域解决目标函数的最值问题。
教学难点：掌握利用数形结合的思想方法在目标函数有不同变化的情形下解决最值问题。
教学过程：一、问题提出有同学提出这样的问题：问题：已知变量x,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
分析解答：如图，做出可行域，由，表示斜率为a -，纵截距为z 的平行直线系，要使的目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。
则直线y ax z =-+过A 点且在直线4x y +=与3x =之间。
即1a -<-，则的取值范围是(1,)+∞二、引入课题本题通过做出可行域，挖掘a -与z 的几何意义，借助数形结合，利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组，即可求解。
从中锻炼学生较强的基本功，对处理几何动态生成问题能力要求较高。
我们都知道，二元一次不等式组可以表示平面区域，也称约束条件，在线性约束条件下求目标函数的最大最小值问题成为线性规划问题。
处理线性目标函数最值，应注意多用数形结合的数学思想作指导，目标直线要画准确，移动时保持平行，尤其注意直线斜率的应用，它能准确的确定直线的位置。
本节课我们通过几何画板这个画图软件，来探讨一下不同的目标函数在约束条件下的最值取得的技巧和方法。
问题串：求下面目标函数的最值。
1、约束条件为4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，目标函数为2z x y =+。
线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog 函数格|字号大中小订阅式: linprog (f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a: w不等式条件约束矩阵其均为形式b:a 对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1 对应不等式右边的常数项xstart:x 的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1 的矩阵xend:x 的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1 的矩阵函数说明: 不存在的项填写[] 即可函数功能: 线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3 的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3 w 2x1+3*x2+2*x3 w 1且x1 、x2、x3 均大于等于0Matlab 求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3 -6-2 ] %这里为什么会是负数, 因为Matlab 求的是f 的最小值, 要求最大值则取要求系数的相反数即可x=[ 0 00 ]linprog (f,a,b,[],[],x,[]) %执行的matlab 命令后输出的如下内容. 注意这里的[] 表示那一项不存在. 当然最后那一个[] 也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.000 0%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0 为最优解. 带回原式我可以知道f 的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3 的最小值满足的条件是x1+x2+x3W 3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab 求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4 的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4W3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab 输入如下内容a=[1 1 1 0] b=[3] a1=[1 4 7 1] b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-1 0]linprog (f,a,b,a1,b1,x) %执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000 %说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0 取得最小值说明：任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时，例如求f=a1*x1+a2*x2+ ……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2- ......... -an*xn 的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+ ....... +an*xn >b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+ ...... +an*xn -xnn=b 即多了一个xnn(xnn > 0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时，其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3> 0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题:J TPmin f r smch t hnt Apq，jf - fw7b jr线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量,A, Aeq为矩阵。
使用Pythonscipylinprog线性规划求最大值或最小值（使用Python学习数学Python的scipy库中的linprog函数可以用于求解线性规划问题。
线性规划是一种数学优化问题，旨在找到使得线性目标函数在一组线性约束条件下最大或最小的变量值。
首先，我们需要导入必要的库和函数：```pythonfrom scipy.optimize import linprog```linprog函数的基本语法如下：```pythonlinprog(c, A_ub=None, b_ub=None, A_eq=None, b_eq=None, bounds=None, method='simplex', callback=None, options=None) ```其中，参数c是目标函数的系数，说明了我们希望最大化或最小化的变量。
系数向量的长度就是变量的个数。
参数A_ub和b_ub是不等式约束条件，表示一个或多个线性不等式约束条件。
A_ub是一个矩阵，每一行表示一个不等式约束，而b_ub是一个向量，表示不等式约束的右边界。
参数A_eq和b_eq是等式约束条件，用于表示一个或多个线性等式约束条件。
A_eq是一个矩阵，每一行表示一个等式约束条件，而b_eq是一个向量，表示等式约束的右边界。
参数bounds用于指定变量的上下界限制。
参数method指定求解器的类型，默认为simplex，还可以选择revised simplex（改进型单纯形法）、interior-point（内点法）等。
让我们来看一个简单的线性规划问题结局具体的使用方法。
假设我们想要最大化目标函数z=3x+4y，同时满足以下两个不等式约束条件：x>=0、y>=2，以及以下两个等式约束条件：x+y=4、2x+y<=9：```pythonc=[-3,-4]A_ub = [[-1, 0], [0, -1], [-2, -1]]b_ub = [0, -2, -9]A_eq = [[1, 1]]b_eq = [4]bounds = [(None, None), (2, None)]```然后，我们调用linprog函数来求解问题：```pythonresult = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds)```最后，我们可以打印结果：```pythonprint(result)```完整代码如下：```pythonfrom scipy.optimize import linprogc=[-3,-4]A_ub = [[-1, 0], [0, -1], [-2, -1]]b_ub = [0, -2, -9]A_eq = [[1, 1]]b_eq = [4]bounds = [(None, None), (2, None)]result = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds)print(result)```运行这段代码，我们将得到以下输出：```con: array([0.])fun: -10.0message: 'Optimization terminated successfully.'nit: 4slack: array([2., 0., 5.])status: 0success: Truex: array([2., 2.])```结果中包含了最优解、目标函数的最优值、限制条件的松弛变量等信息。
线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog |字号大中小订阅函数格式:linprog(f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a:≤不等式条件约束矩阵其均为形式b:a对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1对应不等式右边的常数项xstart:x的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1的矩阵xend:x的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1的矩阵函数说明:不存在的项填写[]即可函数功能:线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3≤2x1+3*x2+2*x3≤1且x1、x2、x3均大于等于0Matlab求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3-6-2 ]%这里为什么会是负数,因为Matlab求的是f的最小值,要求最大值则取要求系数的相反数即可. x=[ 00 ]linprog(f,a,b,[],[],x,[])%执行的matlab命令后输出的如下内容.注意这里的[]表示那一项不存在.当然最后那一个[]也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.0000%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0为最优解.带回原式我可以知道f的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3的最小值满足的条件是x1+x2+x3≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab输入如下内容a=[1 1 1 0]b=[3]a1=[1 4 7 1]b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-10]linprog(f,a,b,a1,b1,x)%执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000%说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0取得最小值说明:任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时,例如求f=a1*x1+a2*x2+……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2-……-an*xn的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+……+an*xn≥b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+……+an*xn-xnn=b即多了一个xnn(xnn≥0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时,其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3≥0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题：线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量, A, Aeq为矩阵。
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 。
3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则 yx的取值范围是（ ）.A. [95，6]B.（－∞，95]∪[6，＋∞）C.（－∞，3]∪[6，＋∞）D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是 。
四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题5. 已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）A. －3B. 3C. －1D. 1五、求可行域的面积7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A. 4B. 1C. 5D. 无穷大图1解析：1.如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18。
图22. 如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。
由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。
22x y +的最小值是为5。
