高中数学“非” (否定)例题解析

1.2.2 “非” (否定)

学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.会对全称命题与存在性命题进行否定．

知识点一 逻辑联结词“非”

1．命题的否定：对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．

2．命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．

知识点二 全称命题的否定

写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．

对于含一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：∀x∈M，p(x)，

它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)．

全称命题的否定是存在性命题．

知识点三 存在性命题的否定

写存在性命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词；(2)将结论否定．

对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：

存在性命题p：∃x∈M，p(x)，

它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．

存在性命题的否定是全称命题．

1．写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √ )

2．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( √ )

3．命题“若a2>b2，则|a|>|b|”的否定为“若a2>b2，则|a|<|b|”．( ×

)题型一 “綈p”命题的构成与真假判断

例1 写出下列命题的否定形式，并判断其否定的真假． (1)面积相等的三角形都是全等三角形；

(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；

(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.

解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形，为真命题．

(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零，为假命题．

(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题．

反思感悟 綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等．

跟踪训练1 写出下列命题的否定形式．

(1)p：y ＝ sin x 是周期函数；

(2)p：3<2；

(3)p：空集是集合A的子集；

(4)p：5不是75的约数．

解 (1) 綈p：y ＝ sin x不是周期函数．

(2) 綈p：3≥2.

(3) 綈p：空集不是集合A的子集．

(4) 綈p：5是75的约数．

题型二 全称命题和存在性命题的否定

命题角度1 全称命题的否定

例2 写出下列全称命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数． (3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.

反思感悟 全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后再进行否定．

跟踪训练2 写出下列全称命题的否定：

(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)p：所有自然数的平方都是正数；

(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.

解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．

(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．

(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.

命题角度2 存在性命题的否定

例3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．

(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形．

解 (1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0(假)．

(2) 綈p：所有的素数都不是奇数(假)．

(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形(假)．

反思感悟 存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立．

跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.

解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．因此命题的否定是假命题． (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．

题型三 存在性命题、全称命题的综合应用

例4 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．

解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，

即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.

要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，

只需m>－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.

(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.

又f(x)＝(x－1)2＋4，

∴f(x)min＝4，∴m>4.

∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．

反思感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素．一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.

跟踪训练4 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R)．

(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；

(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

(1)证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，

∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，

∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.

(2)解 ∵f(x)≤4x恒成立， ∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，

∴ a<0，Δ≤0，即 a<0，4＋12a≤0，

解得a≤－13，

即实数a的取值范围是－∞，－13.1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是( )

A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根

B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根

C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根

D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根

答案 C

解析 命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根．

2．对下列命题的否定说法错误的是( )

A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形

C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形

D．p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.

答案 C

解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．

3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )

A．(綈p)∨q B．p∧q

C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)

答案 D 解析 由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)是真命题．

4．已知a>0且a≠1，命题“∃x>1，logax>0”的否定是( )

A．∃x≤1，logax>0 B．∃x>1，logax≤0

C．∀x≤1，logax>0 D．∀x>1，logax≤0

答案 D

解析 a>0且a≠1，命题“∃x>1，logax>0”的否定是“∀x>1，logax≤0”．

5．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.

答案 1

解析 由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.

1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．

2．(1)对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：

第一步，将全称量词改写成存在量词；

第二步，将结论加以否定．

(2)对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：

第一步，将存在量词改写成全称量词；

第二步，将结论加以否定．一、选择题

1．下列存在性命题是假命题的是( )

A．存在实数a，b，使ab＝0

B．有些实数x，使得|x＋1|<1

C．存在一个函数，既是偶函数又是奇函数

D．有些实数x，使得12x<0

答案 D

解析 A是真命题；B是真命题；C是真命题；D是假命题．

2．下列命题既是存在性命题，又是真命题的是( )

A．两个无理数的和必是无理数

B．存在一个实数x，使1x＝0

C．至少有一个实数x，使x2<0

D．有些实数的倒数等于它本身

答案 D

解析 A项为全称命题；B项，1x是不能为零的，故B假；C项，x2≥0，故不存在实数x使x2<0，故C假；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D正确．

3．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则綈p是( )

A．∃x∈R，sin x≥1 B．∃x∈R，sin x>1

C．∀x∈R，sin x≥1 D．∀x∈R，sin x>1

答案 B

解析 所给命题为全称命题，故其否定为存在性命题，故綈p：∃x∈R，sin x>1，故选B.

4．下列命题中，假命题是( )

A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0

C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2

答案 B

解析 对于∀x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－1的图象是将y＝2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x－1>0恒成立，故A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当0