圆锥曲线离心率问题

圆锥曲线的离心率问题

离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,ac之间的联系。

一、基础知识：

1、离心率公式：cea （其中c为圆锥曲线的半焦距）

（1）椭圆：0,1e

（2）双曲线：1,+e

2、圆锥曲线中,,abc的几何性质及联系

（1）椭圆：222abc，

① 2a：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PFPFa

② 2b：短轴长

③ 2:c 椭圆的焦距

（2）双曲线：222cba

① 2a：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PFPFa

② 2b：虚轴长

③ 2:c 椭圆的焦距

3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,abc的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：

（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从而可求解

（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,abc进行表示，再利用条件列出等式求解

2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,abc表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可

（3）通过一些不等关系得到关于,,abc的不等式，进而解出离心率

注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：0,1e，双曲线：1,+e

二、典型例题：

例1：设12,FF分别是椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PFFo，则椭圆的离心率为（ ）

A．33 B．36 C．13 D．16

思路：本题存在焦点三角形12PFFV，由线段1PF的中点在y轴上，O为12FF中点可得2PFy∥轴，从而212PFFF，又因为1230PFFo，则直角三角形12PFFV中，1212::2:1:3PFPFFF，且12122,2aPFPFcFF，所以12122323FFcceaaPFPF

答案：A

小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O为12FF中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O搭配形成三角形的中位线。

例2：椭圆222102312xybb与渐近线为20xy的双曲线有相同的焦点12,FF,P为它们的一个公共点,且1290FPFo,则椭圆的离心率为________

思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122FFc，在双曲线中，''''1::2:1:52babca，不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：1243PFPF，由双曲线定义可得：'12425PFPFac，因为1290FPFo，

222124PFPFc而2222121212=2PFPFPFPFPFPF

代入可得：2216488105ccc 306cea

答案：306

小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。

例3：如图所示，已知双曲线222210xyabab的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于,AB两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若2AFFBuuuruuur，则该双曲线的离心率为（ ）

A. 324 B. 233 C. 305 D. 52

思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,abc

表示，再寻找一个等量关系解出,,abc 的关系。双曲线的渐近线方程为byxa，由直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍可得：2222221OAbabakbaba，确定直线l的方程为222abyxcab，与渐近线联立方程得

2222222223abyxcabcabcabyorybababya将2AFFBuuuruuur转化为坐标语言，则2AByy ，即22222223abcabcabab，解得::3:1:2abc，从而233e

答案：B

例4：设21FF，分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49||||,3||||2121abPFPFbPFPF则该双曲线的离心率为

A.34 B.35 C.49

思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PFPFa，进而与,49||||,3||||2121abPFPFbPFPF找到联系，计算出,ab的比例，从而求得e

解：122PFPFaQ

221212124PFPFPFPFPFPF

即22229499940baabbaba

29940bbaa 解得：13ba（舍）或43ba

::3:4:5abc 53cea

答案：B

例5：如图，在平面直角坐标系xOy中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .

思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用,,abc进行表示，在利用条件求出离心。首先直线121,ABBF的方程含,,abc，联立方程后交点T的坐标可用,,abc进行表示（2,bacacTacac），则OT中点,2bacacMacac，再利用M点在椭圆上即可求出离心率e

解：直线的方程为：；

直线的方程为：1xycb，联立方程可得：bxayabcybxbc

解得：，

则在椭圆上，

解得：

答案：

例6：已知F是双曲线2221xab2y－＝0,0ab的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于,AB两点，若ABEV是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为 （ ）

A． 1, B． 1,2 C． 1,12 D． 2,12

思路：从图中可观察到若ABEV为锐角三角形，只需要AEB为锐角。由对称性可得只需0,4AEF即可。且,AFFE均可用,,abc表示，AF是通径的一半，得：2bAFa，FEac，所以2tan1AFbAEFFEaac22112cacaeaaca，即1,2e

答案：B

小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题

（2）本题还可以从直线AE的斜率入手，2,0,,bEaAca，利用1,0AEk即可求出离心率

例7：已知椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为12,0,,0FcFc，若椭圆上存在点P使1221sinsinacPFFPFF，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）

A. 0,21 B. 2,12 C. 20,2 D. 21,1

思路：1221,PFFPFF为焦点三角形12PFFV的内角，且对边为焦半径21,PFPF，所以利用正弦定理对等式变形：1221sinsinacPFFPFF121122sinsinPFPFFccPFFaPFa，再由212PFPFa解得：222aPFac，再利用焦半径的范围为,acac可得（由

于依题意，P非左右顶点，所以焦半径取不到边界值,acac）：22222222222222210acaacaacacacaaaccee，解得21,1e

答案：D

例8：已知12,FF是椭圆2222:10xyEabab的左右焦点，若椭圆上存在点P，使得12PFPF，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A. 5,15 B. 2,12 C. 50,5 D. 20,2

思路一：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时，12FPF达到最大值。所以若椭圆上存在12PFPF的点P，则短轴顶点与焦点连线所成的角90o，考虑该角与,,abc的关系，由椭圆对称性可知，2452OPFo，所以22tan1OFcOPFOPb，即22222cbcbcac，进而2212ca即212e，解得22e，再由0,1e可得2,12e

思路二：由12PFPF可得1290FPFo，进而想到焦点三角形12FPF的面积：122212tan2FPFFPFSbbV，另一方面：121212FPFPPSFFycyV，从而22PPbcybyc，因为P在椭圆上，所以,Pybb，即2Pbybbcc，再同思路一可解得：2,12e

思路三：12PFPF可想到120PFPFuuuruuur，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。设12,,,0,,0PxyFcFc，则有12,,,PFcxyPFcxyuuuruuur，则222120PFPFxycuuuruuur，即P点一定在以O为圆心，c为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径rb时才可有交点，所以cb，同思

路一可解得2,12e

注：本题对P在圆上也可由12PFPF判定出P在以12FF为直径的圆上，进而写出圆方程

思路四：开始同思路三一样，得到P所在圆方程为222xyc，因为P在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程：222222222bxayabxyc代入消去x可得：2222222bcyayab，整理后可得：422422bcybyc，由,ybb可得：4222bybcbc，同思路一即可解得：2,12e