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初中尺规作图详细讲解含图

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初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求岀交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画岀第一条公法所说的直线；用圆规可以作岀第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作岀适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最着名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积这三个问题后被称为几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel ）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lin dema nn ）证明n是一个超越数（即n是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号n即当圆半径r =1时所求正方形的边长）不可能用尺规作岀，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪岀现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书还有另外两个着名问题：⑴正多边形作法只使用直尺和圆规，作正五边形.只使用直尺和圆规，作正六边形.只使用直尺和圆规，作正七边形一一这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作岀的只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作岀来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.问题的解决：高斯，大学二年级时得岀正十七边形的尺规作图法，并给岀了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分•这个问题传言是拿破仑波拿巴岀的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规（即半径固定的圆规）作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找岀一点C使得AB=BC=CA.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按尽可能简单”这个思想岀发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提岀用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把作直线”解释为作岀直线上的2点”那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作岀！从已知点作岀新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作岀！五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为： 1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线 5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的【例1】位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；右改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？【分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是【解析】在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.⑴ 作两条公路夹角的平分线0D或0E ;⑵ 作线段AB的垂直平分线FG ;则射线0D，0E与直线FG的交点G，C2就是发射塔的位【例2】置.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），0是坐标原点，在直线y=x・3上求一点P，使.A0P是等腰三角形，这样的P点有几个？【解析】首先要清楚点P需满足两个条件，一是点P在y=x上；二是JA0P必须是等腰三角形.【例3】其次，寻找P点要分情况讨论，也就是当OA=OP时，以0点为圆心，OA为半径画圆，与直线有两个点P、P2 ;当OA = AP时，以A点为圆心，OA为半径画圆，与直线无交点；当PO -PA 时，作OA的垂直平分线，与直线有一交点P3，所以总计这样的P点有3个.设O O与O O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r的圆，使其与O O及O O'外切.【分析】设O M是符合条件的圆，即其半径为r，并与O O及O O'外切，显然，点M是由两个轨迹确定的，即M点既在以0为圆心以R r为半径的圆上，又在以0'为圆心以R「r为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O O与O O'相距为b，当2r ::: b时，该题无解，当2r二b有唯一解；当2r b时，有两解【解析】以当O O与O O'相距为b , 2r b时为例:⑴作线段OA =R • r , O'B =R' • r.⑵ 分别以O, O'为圆心，以R r , R' r为半径作圆，两圆交于M^M?两点.⑶ 连接OM i，OM2，分别交以R为半径的O O于D、C两点.⑷ 分别以M t，M2为圆心，以r为半径作圆.二O M i,O M2即为所求.【思考】若将例3改为：设O O与O O'相离，半径分别为R与R'，求作半径为r （r R）的圆，使其与O O内切，与O O'外切.”又该怎么作图？⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求岀某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求岀，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1.可算岀其内接正方形边长为・2，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做岀这个长度.六等分圆周时会岀现一个,3的长度.设法构造斜边为3，一直角边为1的直角三角形，2的长度自然就岀来了.【解析】具体做法：⑴随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为.3.⑶以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与两个相对的等分点”形成的是一个底为2，腰为.3的等腰三角形.可算岀顶点距圆心距离就是 2 .）⑷以・2的长度等分圆周就可以啦！【例引求作一正方形，使其面积等于已知「ABC的面积.【分析】设AABC的底边长为a，高为h，关键是在于求岀正方形的边长x，使得x^-ah，所以x21 是一a与h的比例中项.2【解析】已知：在ABC中，底边长为a，这个底边上的高为h,求作：正方形DEFG，使得：S正方形DEFG - S ABC作法：1⑴作线段MD =-a ；2⑵在MD的延长线上取一点N，使得DN二h ;⑶取MN中点0，以0为圆心，0M为半径作O O ;⑷过D作DE _ MN，交O O于E，⑸ 以DE为一边作正方形DEFG .正方形DEFG即为所求.【例6】在已知直线|上求作一点M，使得过M作已知半径为r的O O的切线，其切线长为a.【分析】先利用代数方法求岀点M与圆心0的距离d，再以0为圆心，d为半径作圆，此圆与直线I 的交点即为所求.【解析】⑴ 作RL 0AB，使得：./A=90，0A=r，AB=a.⑵ 以0为圆心，0B为半径作圆.若此圆与直线l相交，此时有两个交点M1，M2.M1，M2即为所求.若此圆与直线I相切，此时只有一个交点M . M即为所求.若此圆与直线I相离，此时无交点.即不存在这样的M点使得过M作已知半径为r的O O的切线，其切线长为a.⑶旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径【例7】已知：直线a、b、c,且a II b II c.求作：正「ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.【分析】假设「ABC是正三角形，且顶点A、B、C三点分别在直线a、b、c上.作AD _ b于D，将ABD绕A点逆时针旋转60后，置于’ACD'的位置，此时点D'的位置可以确定.从而点C也可以确定.再作£BAC=60 , B点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作岀【解析】作法：⑴ 在直线a上取一点A，过A作AD _b于点D ；⑵ 以AD为一边作正三角形ADD '；⑶过D'作D'C _AD'，交直线c于C ；⑷ 以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B（使B与D'在AC异侧）.⑸ 连接AB、AC、BC得ABC .ABC即为所求.【例8】已知：如图，P为.AOB角平分线0M上一点.求作：PCD，使得.P=90，PC=PD，且C在0A上, D 在0B上.【解析】⑴ 过P作PE_OB于E.⑵过P作直线I // 0B;⑶ 在直线|上取一点M，使得PM二PE（或PM' = PE）;⑷ 过M （或M '）作MC _1 （或M 'C _1 ），交0A 于C （或C'）点；⑸ 连接PC （或PC'）,过P 作PD _ PC（或PD'_PC'）交0B 于D （或D'）点.连接PD,CD（或PD',C'D'）.则PCD （或PC'D'）即为所求.⑷位似法作图：利用位似变换作图，要作岀满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作岀与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作岀满足全部的条件.【例9】已知：一锐角AABC.求作:一正方形DEFG，使得D、E在BC边上，F在AC边上，G在AB边上.【分析】先放弃一个顶点F在AC边上的条件，作岀与正方形DEFG位似的正方形D'E'F'G'，然后利用位似变换将正方形D'E'F'G'放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG.【解析】作法：⑴ 在AB边上任取一点G'，过G'作G'D'_BC于D'⑵ 以G'D'为一边作正方形D'E'F'G'，且使E'在BD'的延长线上.⑶作直线BF '交AC于F .⑷ 过F分别作FG II F'G'交AB于G ;作FE II F'E'交BC于E .⑸过G作GD II G'D'交BC于D.则四边形DEFG即为所求.⑸面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】如图，过JABC的底边BC上一定点，P，求作一直线I，使其平分:ABC的面积.【分析】因为中线AM平分ABC的面积，所以首先作中线AM，假设PQ平分ABC的面积，在.AMC中先割去厶AMP，再补上.ANP.只要NM // AP U .IAMP和. AMP就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN就平分了「ABC的面积.【解析】作法：⑴ 取BC中点M，连接AM ,AP ;⑵过M作MN // AP交AB于N ;⑶过P、N作直线I .直线I即为所求.【例11】如图：五边形ABCDE可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成⑴ 请你作一条直线I，使直线I平分五边形ABCDE的面积；⑵这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线【解析】⑴ 取梯形AFDE的中位线MN的中点O，再取矩形BCDF对角线的交点O'，则经过点O，O'的直线I即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线I交AE于Q，交BC于R，过线段RQ中点P，且与线段AE、BC均有交点的直线均可平分五边形ABCDE的面积.【例12】（07江苏连云港）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果些二匹，那么称点C为线段AB ACSA DECSA FCEAB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到线”的定义：直线I 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 0，S 2，如果也二奂，那么称直线I 为该图形的黄金分割线.S S⑴ 研究小组猜想：在 △ ABC 中，若点 D 为AB 边上的黄金分割点 （如图2），则直线CD 是△ ABC 的黄金分割线•你认为对吗？为什么？⑵请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ ⑶研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交 AB 于点E ，再过点D 作直线DF II CE ,交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ ABC 的黄金分割线•请你说明理由.⑷如图4，点E 是—ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点 E 作EF II AD ，交DC 于点F ， 显然直线EF是「ABCD 的黄金分割线•请你画一条 「ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点.1S AADC =AD[_h ，S A BDCS AADC _ AD S A BDC BD S AABCABSA ADC AD又J 点D 为边AB 的黄金分割点， .AD BD.氐 ADC _ 氐 BDCAB AD S A ABCADC•••直线CD 是△ ABC 的黄金分割线.⑵•••三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时 S I =S 2S ，即◎ 2， 2 S S•三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. ⑶••• DF II CE ，• △ DEC 和△ FCE 的公共边CE 上的高也相等,黄金分割线”，类似地给出黄金分割JBDLh ，S A ABC2=1 AB>i 2 ，【解析】设△ ABC 的边图\B 上的高为h • 图2图3图4设直线EF 与CD 交于点G ，二S A DGE 二S^ FGC ••• S A ADC 二S 四边形AFGDS A FGC-S 四边形 AFGD ' & DGE -S A AEF ,•••直线EF 也是A ABC 的黄金分割线.⑷ 画法不惟一，现提供两种画法;画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交 AB ，DC 于M ，N 点， 则直线MN就是匚ABCD 的黄金分割线.画法二：如答图 2，在DF 上取一点 N ，连接EN ，再过点F 作FM II NE 交AB 于点连接MN ，则直线MN 就是 ABCD 的黄金分割线S A BDC - §四边形 BEFC -又:SA ADCS A ABC SA BDCS A ADCS A AEF S 四边形 BEFCSA ABCSA AEF（答案图1） （答案图2）。

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尺规作图篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训

尺规作图篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训

专题13尺规作图知识回顾1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．2.基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3.基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②（4）作已知角的角平分线．具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

即为角的平分线。

③连接OP，OP4.复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。

5.设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。

专题练习1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝21ABCD的面积．【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，线段FA的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，当x＝4时，y＝﹣4，∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．证明∠＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD ＝90°，∵∠DAB ＝75°，∴∠OAB ＝15°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝15°，∴∠BOA ＝150°，∴∠BCA ＝∠AOB ＝75°，∵∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ＝2，∴∠BCO ＝∠CBO ＝30°，∵OH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝OC •cos30°＝，∴BC ＝2．9．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于21AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．（1）由作图可知，直线MN 是线段AD 的．（2）求证：四边形AEDF 是菱形．【分析】（1）根据作法得到MN 是线段AD 的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF ＝DF ，AE ＝DE ，进而得出DF ∥AB ，同理DE ∥AF ，于是可判断四边形AEDF 是平行四边形，加上FA ＝FD ，则可判断四边形AEDF 为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN 是线段AD 的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN 是AD 的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵FA＝FD，∴四边形AEDF为菱形．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB 长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求．15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．。

浙教版初中数学八年级上册 1.6 尺规作图 课件 优秀课件PPT

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1.6 尺规作图
在几何作图中，我们用没有刻度的直尺 和圆规作图，简称尺规作图。
尺规作图源于希腊，一些古希腊人认为，几 何作图也应像体育竞赛那样，对作图工具作明确 的规定，否则就不易显示谁的逻辑思维能力更强。
尺规作图以它特有的魅力，使无数人沉湎其中。
试着用刻度尺作下图
已知:线段a,b,c求作:△ABC,使BC＝a,AC＝b,AB＝c
A a b c
B
C
M
比一比，你发现尺规 作图的魅力了吗？
△ABC为所求作的三角形
尺规作图
一、最基本,最常用的尺规作图,通常称基本尺规 作图。它包括：
1、作一条线段等于已知线段 2、作一个角的平分线 3、作一个角等于已知角 4、作已知线段的垂直平分线 5、过一点作已知直线的垂线
二、复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.
OD=O′D′
OC=O′C′
CD=C′D′ △COD≌△C′O′D′ (SSS), ∴∠COD=∠C′O′D′ (全等三角形的对应角相等)， 即∠AOB=∠A′O′B′
O D’
CA B’
O’
C’ A’
说一说
已知∠α、∠β，求作∠ABC ，
使∠ABC = ∠α + ∠β .
α
β
说一说
已知∠α、∠β，求作∠ABC ， 使∠ABC = ∠α －∠β .
(3) 以点O’为圆心， 同样(OC)长为半径画弧，
交O’A’于点C’;
(4) 以点C’为圆心， CD长为半径画弧， 交前面的弧于点D’ ，
(5) 过点D’作射线O’B’.
DB
O D’
CA B’
O’
C’
A’
∠A’O’B’就是所求的角.
你能用所学的知识证明这个 画法是正确的吗？
八年级上册数学 1.6尺规作图课件(共14张PPT)

八年级上册数学 1.6尺规作图课件(共14张PPT)


选一选
1、利用尺规不能唯一作出的三角形是（
A、已知三边
D
（
）
B、已知两边及夹角
C、已知两角及夹边
D、已知两边及其中一边的对角
2、利用尺规不可作的直角三角形是
C D
）
A、已知斜边及一条直角边 B、已知两条直角边
C、已知两锐角 D、已知一锐角及一直角边 （ ）
3、以下列线段为边能作三角形的是
A、2厘米、3厘米、5厘米
两角及它们的夹边对应相等 的两个三角形全等(ASA)
已知三角形的三边求作三角形
设置疑问 作法示范
A
已知:线段a,b,c
a
b c
求作:△ABC,使BC＝a,AC＝b,AB＝c
作法
(1)做线段BC＝a, (2)以C为圆心, b为半径画弧 (3)以B为圆心, C为半径画弧 两弧相交于点A
B
C
M
(4)连接AB,AC
5厘米
C
作业布置：
39页 作业题１－5，第6题选做
竞赛趣味题 已知：线段m，n,锐角∠α
m n α
求作：△ＡＢＣ，使ＡＢ＝m， ，角平分线 ＡＤ＝ n
K CN
P D
（3）分别以B，K为圆心，大于BK的距离一半的 交 AM 于 B ，交 AN 于 K (5) 在射线 AP 上截取 AD ＝ n （ 1 ）作∠ MAN ＝ ∠ α （ 2 ） 以 A 为圆心， m 长为半径画弧 连接 4 ）作射线 BD 并延长交射线 AP AK 于点 C 长为半径画弧，两弧交于P点
C、1厘米、2厘米、 3厘米
ห้องสมุดไป่ตู้
B、4厘米、4厘米、9厘米
D、2厘米、3厘米、4厘米
拓展练习
初中数学 尺规作图 尺规作图的概念 王文芳(初始课件)

初中数学 尺规作图 尺规作图的概念 王文芳(初始课件)


试一试
用尺规作优美的图案
右面的“邹菊图案”漂亮吗？ 你想自己画出它来吗？ 那就让我们从最初的步骤开始吧！ 1、 以点O为圆心， r 为半径作圆O； 以圆O上任意一点为圆心， 2、 r 为半径作圆，与圆O交于两点；
3、 分别以两个交点为圆心， r 为半径作圆；
4、继续作下去， 在适当的区域涂上颜色， 你作出美丽的“邹菊图案” 吗
今天你有什么收获
把限定用直尺和圆规来画图, 称为尺规作图
直尺是没有刻度的
能够完成一些简单的尺规作图。
A B
•作
法
•示
范
•(1) 作射线A’C’ ；
(2) 以点A’为圆心， 以AB的长为半径画弧， 交射线A’ C’于点B’， A’B’ 就是所求作的线段。
A’
B’
C’
例2、作一个角等于已知角 B
B`
D
D`
O
C
A
O`
C`

A`
1、作射线O`A`。 2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA于 C，交OB于D。 3、以点O`为圆心，以OC长为半径作弧，交O`A`于 C` 4、以点C`为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D`。 5、经过点D`作射线O`B`，∠A`O`B`就是所求的角。
描述
尺规作图的概念 主讲教师 王文芳
欣赏美丽的图案
这几幅图漂亮吗？ 它们是怎么画出来的？ 它们都是用直尺和圆规画出来的
如果你只有一个圆规和一把没有刻 度的直尺，你能画出这些图案吗？
利用没有刻度的直尺和圆规可以做出很多图形
例1、作一条线段等于已知线段
已知：线段AB． 求作：线段A’ B’，使A’ B’＝AB． 作法与示范：
利用圆规和直尺进行的这些作图叫 做什么呢？