密度矩阵
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将ua*、ub*分别左乘上式各
项，对整个空间坐标积分
a b
i
i
aEa bEb
（7） （8）
a b
i
i
aEa bEb
解出上述运动方程，得
a(t)
a(0)e
i
Eat
b(t)
b(0)e
i
Ebt
（9）
波函数用k(r, t)表示
k ankun (7)
n
由上面讨论可知，对于第k个原子系统，其物理观察量F由式(2)决定。
因为系综是由N个系统组成，则得到系综的可观察量的平均值为
将式（2）、（7） 代入式（8），得：
F
1 N
N
Fk
k 1
(8)
F
1 N
N
(amk ) * ank Fmn
* mn
N k 1
Pk
(ank
)*
amk
*
nm
密度矩阵为厄米矩阵。
密度矩阵的物理含义
从密度矩阵元的定义可知纯态密度矩阵的对角元表示了这个系统
处于本征态un的几率。通常．混态密度矩阵的对角元表示系综中
的一个系统处于本征态un的平均几率。
非对角元的物理含义可以这样理解，若将第k个原子系统的几率振
二能级原子系统的波函数
假设原子具有高、低两个能级，其能量本征值分别为Ea、Eb，对 应的归一化能量本征函数分别为ua、ub，则原子波函数(r, t)为
(r, t)=a(t)ua(q)+b(t)ub(q)
(1)
系数a、b其物理意义是： a(、t) 2 b(分t) 别2 表示在t时刻找到原子系统处于高能级
m,n
nm Fmn Tr (F )
m,n
F Tr (F ) (6)
从式(5)可以看出，nm起着几率密度的作用，因此称nm的集合为 密度矩阵，nm为密度矩阵元。以上就是纯态的密度矩阵。
混态密度矩阵 多系统几率相等
当系综是由N个系统组成，且N个系统处于不同微观态的几率相同，
每一个系统可以用一个归一化波函数来表示。若第k个原子系统的
Ea(即ua本征态)和低能级Eb(即ub本征态)的几率。如果在单位体积中有NV个 原子集合构成的系综，每个原子在时刻t处于高能级的几率为 a(t，) 2 单位体
积中处在高能级上的原子数N2为
N2 NV a(t) 2
单位体积中处在低能级上的原子数N1为 N1 NV b(t) 2
二能级原子系统的密度矩阵
1、密度矩阵
前言
激活介质包含有大量的原子(或分子或其他微观粒子)。在讨 论激活介质辐射场的相互作用时，我们只能给定宏观条件(例 如知道气体激光器中的放电电流、气体压强等)。但是宏观条 件确定之后，微观运动状态的各种可能性仍然很多，每一个 原子可以处于一切可能的微观态，并不能被宏观条件所控制。 所以，不能将激活介质当做一个整体而赋于确定的随时间而 变化的波函数。这样，即使知道了介质的初始分布，也不可 能求出以后某一时刻的波函数。
(r,t) an (t)un (q) (1)
n
式中un(q)为完备正交归一本征函数系；an(t)为系统处于本征态 un(q)的几率振幅。
纯态密度矩阵
现在考虑系统的某个物理可观察量F并求出它在系综表示中的 最终平均值。首先考虑纯态的情况。这时，可以由量子力学中
所熟悉的方法求得可观察物理量F的平均值。F
密度矩阵之迹等于1。对于由N个 系统构成的系综，当各个系统处于 不同微观态的几率不相等时，也可
以证明Tr()=1这一性质。
密度矩阵为厄米矩阵
(ank ) * ank
表示第k个原子系统处于状态un（或者能级En）的几率，而 几率必为正值，所以密度矩阵的对角元满足下式
nn 0
N
nm Pk (amk ) * ank k 1
(14)
只要求得系综的密度矩阵，任何宏观可观察量都可以 由式(15)计算
密度矩阵的主要性质
密度矩阵之迹等于1
归一化的波函数 ( k )* k dq 1
利用式（1） (r,t) an (t)un (q) (1)
n
(
a
k m
u
m
)
*
ank un dq
(amk
)
本征函数的 正交归一性
an
t
i
p
H np a p
an
t
i
p
H np a p
复数共厄 amt来自i p
H
a*
pm p
nm t
N k 1
Pk
[(amk t
)*]
ank
(amk
)
*
ank t
密度矩阵的运动方程为
nm
p是单个原子的电偶极矩。这时总的能量算符H为 H=Ha+H1 (11)
当在哈密顿算符中加入了一项微扰算符时，其结果并不是改变用做波函数
的本征函数集，而是使其组合方式随时间而变化，即a(t)、b(t)随时间而
变化。这时含时薛定谔方程变为
(Ha
H1 )
i
t
将=aua+bub代入上式，得
由此可以看出：孤立原子系统处于某一本征态ua(或ub)的几率 P(a)[或P(b)]将不随时间而变化，其值由加在波函数上的初始条 件决定。
辐射场中的二能级原子系统
当原子处于电场强度为E(z，t)的辐射场中时，则它将不再是孤立的。原子
和辐射场之间存在着相互作用微扰能。在偶极近似下，其微扰能H1为
H1=-pE (10)
t
i
(H np pm np H pm )
t
i
[H
,
]
[H, ]=H-H
如果t=0时的密度矩阵已知，便可由该式确定任何其他瞬间 的密度矩阵。
3、二能级原子系统的密度矩阵
在激光的半经典理论和量子理论中，都将介质粒子视为简单的二能 级原子系统。也就是说，原子只有二个能级需要明显考虑，而其他 能级的影响可以通过引进唯象阻尼项来加以概括。在此有必要单独 讨论二能级原子系统的密度矩阵及其运动方程。
*a
k n
um *un dq 1
m
n
本征函数 的正交性
um
*un dq
mn
1 0
(m n) (m n)
可以得到
(ank ) * ank 1
n
n
nn
n
1 N
N k 1
(ank
) * ank
1 N N k1
n
(ank ) * ank
1
根据密度矩阵的定义，得
aa* a *b
ab bb
* *
aa ba
ab
bb
（2）
* baa *
b
*
aa a *
* b
ab * bb *
这时一个宏观可观察物理量的平均值为
F Tr (F) aa Faa ab Fba ba Fab bb Fbb
系统、系综 纯态、混态
按统计物理系综的概念，把一个原子看做一个系统，大量的全 同系统组成一个系综。若系综内的所有系统都处于相同的微观
态，则此系综为纯系综，纯系综的平均就是态平均。若系综
的各系统处于不同的微观态，则此系综被称为混合系综。
假定系综是由N个系统组成，每一个系统由一个归一化的波函数
(r, t)描述
k mn
amk
是等几率的，而 ank ) 的数值分布是
相同的，则 对角元
[(
amk
)
*
ank
]
对系综的平均值为零，此时密度矩阵的非
nm
1 N
(amk ) * ank
mn
0
也就是说,若每一个系统的幅角是随机分布的，则N个系统组成的系
综的nm=0。假若N个系统中的每一个系统的幅角不是随机分布或者不 完全随机分布，则nm0 。所以nm表示了系统的幅角之间的混乱程 度或相干性。后面将会看到nm愈大，相干性愈好，系综的极化强度
相等，则系综的宏观物理量的平均值就不能用简单的算术平均值而
应该用统计平均值来代替。假如，第k个原子系统出现某一状态k
的几率是Pk
Pk 1
系综平均值
N
F Pk Fk k 1
(13)
F Tr (F )
(15)
nm定义为：
N
nm Pk (amk ) * ank k 1
图中矢量即为nm，矢量与实轴间的夹角表示系统处于本征态un、
um的几率振幅 ank、amk
的乘积的相位差，而矢量的模是由系统处于本征态un、um的几
率振幅的乘积所决定。
当系统为混合系统时：
nm
1 N
k 1
amk
ank
eimkn
对且于当给位定相的为本mk征n与态(unmk、n um)，时如，果矢所量有的的模值(
F * Fdq
(2) 式中q为广义坐标，*为 波函数的复数共轭量。
式(2)的平均是量子力学固有统计性质的结果。
若将式(1)代入式(2)，得
F am * an Fmn (3)
m,n
