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第四章 量子力学密度矩阵

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相对论知识：相对论的密度矩阵——量子物理学的关联

相对论知识：相对论的密度矩阵——量子物理学的关联

相对论知识：相对论的密度矩阵——量子物理学的关联相对论是研究宏观物体的运动和相互作用的物理学分支。

它的核心理论是爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论，它们是对牛顿经典力学的扩展和修正。

在研究微观世界时，相对论和量子力学的结合提出了一些新的问题和概念，其中一个重要的概念就是密度矩阵。

密度矩阵是描述量子力学中纯态和混合态之间转化的重要工具。

在量子力学中，系统的状态可以用一个波函数表示，而对于纯态系统，这个波函数是唯一的；而对于混合态系统，它不能通过一个波函数表示。

因此，需要一种新的工具来描述混合态系统的状态。

密度矩阵是一个方阵，它描述了量子态的统计性质，包括零声子分布、自旋分布等。

一个n维的密度矩阵的元素有n^2个，因此，它包含了很多关于系统的信息。

对于一个纯态系统，它的密度矩阵是唯一的，而对于混合态系统，它有多种不同的密度矩阵表示方式。

密度矩阵的性质也与量子态之间的关系有关。

一个密度矩阵与一个纯态的态矢量之间可以相互转化，其中，一个纯态的态矢量可以用它的密度矩阵表示，反之亦然。

但是，这种转化是不唯一的，因为一个混合态系统可以有多种不同的密度矩阵表示方式。

密度矩阵在相对论物理学中也有很多应用。

在量子场论中，密度矩阵用于描述场的纯态和混合态之间的转化。

它还可以用于描述弱测量过程，比如弱值测量，这是一种可以测量量子物理学中的非测量性质的方法。

另外，密度矩阵还有重要的应用，用于描述黑洞物理学中的状态。

在黑洞物理学中，密度矩阵被用于描述黑洞内部的量子态，它可以描述黑洞内部的量子态如何随时间演变。

通过研究黑洞物理学，可以帮助我们更好地理解相对论和量子力学之间的联系。

总之，密度矩阵是量子物理学中重要的概念，它可以描述量子态的混合态和纯态之间的转化。

它在量子场论中和黑洞物理学中的应用也是非常重要的。

密度矩阵的研究可以提高我们对于量子力学和相对论之间联系的理解。

第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换

第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换

第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换§1 量子态的不同表象态的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式研究表象的意义 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。

一、坐标表象波函数ψ(x ,t ) 1、ψ(x ,t )2、dx t x 2),(ψ——表示体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，在x →x +d x 范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，测量坐标x 这个力学量所得值在x →x +d x 这个范围内的几率。

3、2(,)1x t dx ψ=⎰4、动量为x p '的自由粒子的本征函数 xp ip e x ''=2/1)2(1)(πψ5、x 在坐标表象中对应于本征值x '的本征函数)(x x '-δ， 即，)()(x x x x x x '-'='-δδ 二、动量表象波函数 动量本征函数：pxip e x2/1)2(1)(πψ=组成完备系，任一状态ψ可按其展开(,)(,)()p x t c p t x dp ψψ=⎰ (1) 展开系数*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰ (2) ψ(x ,t )与c (p ,t )互为Fourier （付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。

认为c (p ,t )和ψ(x ,t )描述同一个状态。

ψ(x ,t )是这个状态在坐标表象中的波函数，c (p ,t )是同一个状态在动量表象中的波函数。

1、),(t p c ——状态波函数2、dp t p c 2),(表示体系处在c (p ,t )所描述的态中测量动量这个力学量p 所得结果为p →p +d p 范围内的几率。

3、1),(2=⎰dp t p c命题：假设ψ(x ,t )是归一化波函数，则c (p ,t )也是归一。

(在第一章中已经证明) 4、x p '的本征函数（具有确定动量x p '的自由粒子的态）若ψ(x ,t )描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：1/21()(2)ip xp x eψπ''=则相应动量表象中的波函数：*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰()p i E te p p δ'-'=-所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ函数。

量子化学第四章密度矩阵

量子化学第四章密度矩阵

第四章 密度矩阵与密度泛函上一章，我们介绍了多电子体系波函数 12(,,,)N x x x ψ⋅⋅⋅，一般说来求力学量的平均值，我们总是将其对应的算符作用在波函数上，再求积分，即A A ψψ∧=，所以利用*ψψ，我们可以定义密度函数和密度矩阵，全对称坐标函数及力学量平均值可以用密度函数或密度矩阵直接写出。

§4.1密度函数和密度矩阵§4.1.1密度函数四维（三维坐标+自旋）中某一电子i ，当不考虑其他所有电子处于任何可能位置时，它出现在x处的小体积元d τ中的机率为：111111111(,,,,,,)(,,,,,,)i i i N i i i N i i Nd x x x x x x x x x x d d d d τψψττττ*-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰(4.1)注意到*1Nd ψψτ=⎰看出(4.1)式只不过去掉i τ的积分符号，是i x的函数。

因N 个电子是不可分辨的，所以电子中的任一个出现在x处的d τ中的几率相同，由此定义电子的密度函数：11121223()(,,,)(,,,)N N N x N x x x x x x d d d ρψψτττ*=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰11()x ρ 表示的是1x处的小体积元中出现任何一个（以前的是电子i ，所以差N ）电子而不管其它电子出现在何处时的几率密度。

同样，任何两个给定的电子当不考虑其余电子出现在任何处时，它们在所给定的 1x 和2x处的小体积元1d τ和2d τ中同时出现的几率也是相同的。

（如(1,2),(3,4)但电子不可辨，几率相同）因此也可以定义两个电子的密度函数212121234(,)(,,,)(,,,)2N N NN x x x x x x x x d d dρψψτττ*⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰推而广之，q 个电子的密度函数为：12121212(,,,)(,,,)(,,,)q q N N q q N N x x x x x x x x x d d dq ρψψτττ*++⎛⎫⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰它表示在四维空间中，任意q 个电子在12,,,q x x x ⋅⋅⋅处的q 个小体积元12,,,qd d d τττ⋅⋅⋅中，各有一个电子同时出现而不管其它N-q 个电子在何处出现时的几率密度。

复旦量子力学讲义第四章矩阵力学基础表

复旦量子力学讲义第四章矩阵力学基础表

§4.2 矩阵力学表述
➢矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求 本征值和本征函数的方案：
• 1)求解本征方程 • 2)使算符对应的矩阵对角化
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§4.2 矩阵力学表述
➢薛定谔方程：
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§4.2 矩阵力学表述
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§4.2 矩阵力学表述
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.5 线性谐振子和占有数表象
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§4.1 态和算符的表象表示
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§4.1 态和算符的表象表示
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§4.1 态和算符的表象表示
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§4.1 态和算符的表象表示
• Q表象中的算符F 矩阵，矩阵元F_nm是第 m个新基在第n个旧基上的投影
• 连续谱：
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空间) • 不同表象的变换：么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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§4.3 么正变换
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第四章 量子力学密度矩阵

第四章 量子力学密度矩阵

2
ˆ 的取值 F 的概率为 W ( F ) = ψ Ψ 则力学量 F k k k 1
（混合态下，有两次平均：态平均与概率平均） 二、密度算符与密度矩阵 1、纯态下密度算符的定义 纯态下如何用态密度算符来描写。
2
p1 + ψ k Ψ2
2
p2
设 ψ 是一归一化的态矢， ψ ψ = 1 。通过 ψ 和他的对偶态矢 ψ 的外积可以构造一个
B
= i j }；
将态矢 ψ 在表象 { i j } 中展开；
ρ AB = ψ ψ ；
利用计算表达式计算。 三、约化密度算符（矩阵）的运动方程 1、Lind-blad 主方程 对于开放系统，系统受环境和其他因素影响所以 Lind-blad 主方程可写为：
dρ 1 ˆ 1 + = [H , ρ ] + ∑ Γµ ρ Γ+ µ − {Γ µ Γ µ , ρ } 2 dt i µ >0
3、密度算符的性质
ˆ 满足本征值方程 如果算符力学量 F
ˆψ = F ψ F k k k
当本征值无简并时，则 {ψ k }构成正交归一完备系；当本征值简并时，本征矢未必正交， 但可以要求它是归一和完备的。
ˆ 是厄米算符： ρ ˆ+ = ρ ˆ （1） ρ ˆ 的本征值是非负的。 （2） ρ ˆ （3）对于密度算符 ρ ˆ =1 Tr ρ
Bloch 球心则是一个不含任何信息的完全随机的混态——垃圾态。
§4.2 密度算符的动力学演化方程 一、密度算符一般动力学方程
ˆ 和一般的算符不同，它不是一个固定的算符，而是依赖于系统所处的状态， 态密度算符 ρ
随时间演化。由薛定谔方程不难得到态密度算符的运动方程 1、薛定谔绘景

量子力学公式的矩阵表示

量子力学公式的矩阵表示

2
1)
2
a2
2
2
a2
2
1
1
a2
2 2
因此对应于m=-1的本征函数为
1
1
1 2
1
2
（2）求 Lˆ y的本征值和本征函数
设 Lˆy的本征函数为 m ，对应于Ly m 。即 Ly m m m
b1
令 m b2 ，并将 Lˆy的矩阵形式代入本征方程，即有
b3
2 2
F11
F21
Fn1
F12
F22
Fn2
F1n F2n
Fnn
a1(t)
a2
(t
)
0
an
(t
)
(4.3 5)
方程（4.3-5）是一个线形齐次代数方程组：
(Fmn mn )an (t) 0, m 1,2,.
n
这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即：
当m 0时，由(B)得
b2 0,b1 b3。
再由波函数的归一化条件
2 b1 2 1, b1
2 2
1
所以
0
2 2
0 1
当 m 1时，由(B)得 ,
同样步骤得
b1 b3 , b2 2ib1 再由波函数归一化条件 定出常数，得
1
1 2
1 2i 1
1
1
1 2
2i
1
1 ; Ly 0
2
i 0
i
i 0
求它们的本征值和归一化的本征函数，
解：（1）求 Lˆx
设在Lˆ2 和
的本征值和本征函数。
Lˆ z的共同表象中，Lˆx 的本征函数为

量子力学的矩阵表示简介

量子力学的矩阵表示简介

-/§4.2量子力学的矩阵表示一、态的表示 二、算符的表示三、量子力学公式的矩阵表示用力学量完全集 },ˆ,ˆ{ B A的正交、归一和完备的本征态矢量的集合},,{ b a 作基底的表象，称为},ˆ,ˆ{ B A表象。

为书写简便，用Fˆ代表},ˆ,ˆ{ B A ，用n 代表 ,,b a ，用n 代表本征值谱},,{ b a . 把},ˆ,ˆ{ B A表象简称为Fˆ表象。

以分立谱为例 本征方程： n n Fn ˆ 基底： },3,2,1;{ n n 正交归一化： n m n m , 封闭关系： I n n n一、态的表示-/态 在Fˆ表象上的表示为一个列矩阵21Ψ21C C矩阵元 n C n 代表态 在基底n 上的投影，或称为展开系数。

它可在坐标表象上计算x x x x x x n n C n nd d )()(*态 和 的内积可以通过列矩阵相乘得到ΨΦ其中21Φ，21Ψ.这是因为n n nn n nn n n*21,2,1**ΨΦ若 0ΨΦ，则称态Ψ和Φ正交。

而1ΨΨ则是指态Ψ是归一化的。

基底m 在自身表象上的表示为010Φ m 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mΦΦ. 态向基底的展开写成1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦnn C .对于连续谱情况本征方程： Fˆ 基底： }{正交归格化： )( 封闭关系： Id态 在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值 的函数 )(态 和 的内积为d )()(*因为d d d )()(][*归一化条件为1)()(*d .而基底 在自身表象上表示为)( .二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。

因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。

Lˆ m n n Lm n ˆ m n n Lm nˆ212122211211L L L LΦL Ψ矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示22211211L L L L L矩阵元为n Lm L mn ˆ 可以在坐标表象上计算。

高等量子力学 密度算符和密度矩阵

高等量子力学 密度算符和密度矩阵
1、 trρ = 1 (14.20)
n
证明： 证明：取一组基 { n } , 利用完全性关系 ∑ n n = 1 , 有
trρ = ∑∑ n ψ i pi ψ i n = ∑∑ ψ i n n ψ i pi
n i n i
= ∑ ψ i ψ i pi = ∑ pi = 1
i i
2、
= 1, trρ < 1.
例如一个系统处于 ψ 1 态的概率为 p1 , 处于 ψ 2 态的概 率为 p 2 ( p1 + p 2 = 1) , 系统的这个态目前还无法作简单的描 我们只能用下面的写法表示这个态： 写, 我们只能用下面的写法表示这个态：
ψ 1 : p1 ψ 2 : p2
(14.2)
纯态和混合态是完全不同的两种状态, 即使在(14.1)式 纯态和混合态是完全不同的两种状态 即使在 式 和 (14.2)式中有 c1 = p1 , c 2 式中有
这个状态也是纯态. 这个状态也是纯态.
(14.1)
有时由于统计物理的原因或量子力学本身的原因系统的状 有时 由于统计物理的原因或量子力学本身的原因系统的状 由于统计物理的原因或量子力学本身的原因 在一个确定的态中, 态无法用一个态矢量来描写. 系统并不处在一个确定的态中 而 无法用一个态矢量来描写 系统并不处在一个确定的态中 等各态中, 是有可能处于 ψ 1 , ψ 2 , L ,等各态中 分别有概率 p1, p 2 , L . 这 等各态中 种状态无法用一个态矢量表示, 称为混合态 种状态无法用一个态矢量表示 称为混合态. 混合态
下面看混合态. 取一个比(14.2)式更一般的混合态如下： 式更一般的混合态如下： 下面看混合态 取一个比 式更一般的混合态如下
ψ 1 : p1 , ψ 2 : p2 , LLL

密度矩阵

密度矩阵

将ua*、ub*分别左乘上式各
项，对整个空间坐标积分
a b


i
i

aEa bEb

（7） （8）
a b


i
i

aEa bEb

解出上述运动方程，得
a(t)


a(0)e
i
Eat

b(t)


b(0)e
i
Ebt

（9）
波函数用k(r, t)表示
k ankun (7)
n
由上面讨论可知，对于第k个原子系统，其物理观察量F由式(2)决定。
因为系综是由N个系统组成，则得到系综的可观察量的平均值为
将式（2）、（7） 代入式（8），得：

F

1 N
N
Fk
k 1
(8)

F

1 N
N
(amk ) * ank Fmn
* mn


N k 1
Pk
(ank
)*
amk
*


nm
密度矩阵为厄米矩阵。
密度矩阵的物理含义
从密度矩阵元的定义可知纯态密度矩阵的对角元表示了这个系统
处于本征态un的几率。通常．混态密度矩阵的对角元表示系综中
的一个系统处于本征态un的平均几率。
非对角元的物理含义可以这样理解，若将第k个原子系统的几率振
二能级原子系统的波函数
假设原子具有高、低两个能级，其能量本征值分别为Ea、Eb，对 应的归一化能量本征函数分别为ua、ub，则原子波函数(r, t)为

量子力学课件第四章

量子力学课件第四章

相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
§4.1 态的表象
将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函数展开：
( x, t )
a (t )u ( x)
n n n
an (t ) u n * ( x )( x.t )dx

若Ψ, un都是归一化的，则 an(t) 也是归一化的。
Q的矩阵形式
ˆ Qnm u n * ( x)Qu m ( x)dx Qm u n * ( x)u m ( x)dx Qm nm
结论： 算符在自身表象中是一个对角矩阵，对角元素就是算符 的本征值。


§4.２ 算符的矩阵表示
算符在自身表象中是一个对角矩阵
Q1 0 Q 0
（一）动量表象
动量本征方程:
i p (r ) p p (r )
1 2 e
ipx /
一维动量本征函数： p ( x )
组 成 完 备 系
任一状态Ψ可按其展开
( x, t )

C ( p, t ) p ( x)dp
展开系数
C ( p, t ) p * ( x)( x, t )dx
§4.1 态的表象
1
a
m n
m
* (t )an (t ) mn

n
an * (t )an (t ) 1
由此可知，| an| 2 表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量 Q 得
Qn的概率。 a1(t), a2(t), ..., an(t), ...
就是Ψ(x,t)所描写的状态在 Q 表象中的表示。
Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数；而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。

量子力学 第四章

量子力学 第四章
10的相互变换关系将写成矩阵dynamicalvariable41态的表象续4子状态波函数在q表象中的表示称为q表象波函数给出在态中测量粒子的力学量q子状态波函数在q表象中的表示称为q表象波函数11值的几率chap4dynamicalvariable41态的表象续5归一化条件的矩阵表述形式表述形式以上讨论可推广到有连续谱的情况
[ C ( p , t )p ( x ) d p ]* [ C ( p , t )p ( x ) d p ] d x
C ( p ,t ) C ( p ,t ) d p d pp ( x )p ( x ) d x
C (p,t)*C (p ,t)dpdp(p p) C(p,t)*C(p,t)dp （归一化条件）
4.5 狄喇克符号
Dirac symbols
4.6 线形谐振子与占有数表象
Linear oscillator and occupation number
representation
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◆ 一个定义： 表象的定义
重
态在任意表象中的表示；
点 ◆ 二个表示： 算符在任意表象中的表示。
是在(r,t) 所描写的状态中，测量
粒子的动量所得结果为 P 的几率。
不两同者信从息不（同力的学侧量面r 描和写粒P 子的的信状息态）,。给出了粒子的
当前您浏览到是第八页，共九十七页。
§4.1 态的表象（续２）
命题 若(r,t)是归一化波函数，则 C (P,t) 也归一。
证 1*(x,t)(x,t)dx
由上述两式给出了 (r, t与) a n ( t )函 数集之间的 相互变换关系，将 a n ( t )写成矩阵
当前您浏览到是第十页，共九十七页。

量子力学第四章

量子力学第四章
所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量 p为变量的δ- 函数。 换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ 函数。
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应有
确定值 x’本征函数是δ
(x’ - x)。
这可由本征 值方程看出：
x ( x x) x ( x x) x ( x ) ( x x )
波函数也可以选用其它变量作为变量,力学量则相应 的表示为作用于这种函数上的算符。 表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
一个力学量
一个表象
§4.1 态的表象
已知: 坐标表象的波函数 ( x, t ) , 如何获得其他表象中波函数?
问
一
动量表象中波函数
二
Q 表象中的波函数
一 动量表象的波函数 C ( p, t )
C( p) ( p p)
p ( p p) p ( p p)
这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A 在直角坐标 系由三分量Ax Ay Az 描述；在球坐标系用三分量 Ar A A 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描写同一矢量 A 。
u1(x) , u2(x) , ... , un(x) , ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t ) a 2 (t ) a n (t )
是态矢量Ψ 在 Q 表象中沿各基矢 方向上的“分量”。Q表象的基矢 有无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空间， 称为Hilbert空间。
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。
Ψ(x,t)

量子力学中的密度矩阵与量子测量

量子力学中的密度矩阵与量子测量

量子力学中的密度矩阵与量子测量量子力学是研究微观世界的物理学理论，其描述了微观粒子的行为和性质。

密度矩阵是量子力学中的一个重要概念，它用于描述量子态的统计性质以及对系统进行测量时的结果概率。

本文将介绍密度矩阵的概念、性质以及其在量子测量中的应用。

一、密度矩阵的概念与性质在量子力学中，一个态可以用波函数或密度矩阵来描述。

波函数用于描述纯态，而密度矩阵则可以描述混合态。

密度矩阵被定义为一个厄密算符，它是对系统的一个完全描述。

对于一个纯态，其密度矩阵可以表示为：$$\rho = |\psi\rangle \langle \psi|$$其中，$|\psi\rangle$是波函数的态矢量，$|\psi\rangle \langle \psi|$表示一个投影算符。

对于一个混合态，其密度矩阵可以表示为：$$\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i|$$其中，$p_i$是混合态中第$i$个纯态的概率，$|\psi_i\rangle$是对应的波函数。

密度矩阵具有以下性质：1. 密度矩阵是厄密的，即$\rho=\rho^\dagger$；2. 密度矩阵的迹为1，即$Tr(\rho)=1$；3. 密度矩阵是半正定的，即对任意的态矢量$|\psi\rangle$，都有$\langle \psi|\rho|\psi\rangle \geq 0$。

二、密度矩阵的应用密度矩阵在量子力学中有广泛的应用，特别是在量子测量领域。

在测量一个系统时，我们可以通过密度矩阵来预测观测结果的概率。

对于一个纯态系统，测量结果的概率可以通过密度矩阵和观测算符的乘积来计算：$$P(\text{观测算符}) = \text{Tr}(\rho \cdot \text{观测算符})$$其中，$\rho$是纯态的密度矩阵。

对于一个混合态系统，则需要对密度矩阵进行展开：$$P(\text{观测算符}) = \sum_i p_i \cdot \text{Tr}(|\psi_i\rangle \langle \psi_i| \cdot \text{观测算符})$$其中，$p_i$是混合态中第$i$个纯态的概率，$|\psi_i\rangle$是对应的波函数。

量子力学中的量子力学密度矩阵与统计混合态

量子力学中的量子力学密度矩阵与统计混合态

量子力学中的量子力学密度矩阵与统计混合态量子力学是描述微观世界行为的基本理论，它与经典力学有着本质的区别。

在量子力学中，粒子的状态不再用确定的值来描述，而是用波函数来表示。

然而，在实际应用中，我们往往需要考虑到系统与环境的相互作用，这就导致了系统的状态会发生变化。

为了描述这种情况，我们引入了量子力学密度矩阵的概念。

量子力学密度矩阵是用来描述量子系统状态的一个工具。

在经典力学中，我们可以用一个确定的状态变量来描述系统的状态，比如位置和动量。

而在量子力学中，我们无法同时确定一个粒子的位置和动量，只能给出它们的概率分布。

这就引入了密度矩阵的概念。

量子力学密度矩阵是一个厄米矩阵，它的每一个元素表示系统处于某个状态的概率。

对于一个纯态系统，密度矩阵只有一个非零的特征值，其余的特征值都为零。

而对于一个混合态系统，密度矩阵有多个非零的特征值。

在实际应用中，我们常常需要考虑到系统与环境的相互作用。

这种相互作用会导致系统的状态发生变化，从而使得系统的状态不再是一个纯态，而是一个混合态。

混合态是由多个纯态叠加而成的，每个纯态的贡献由其对应的密度矩阵的特征值决定。

量子力学密度矩阵的概念在统计力学中也有类似的应用。

在统计力学中，我们常常需要考虑到系统的不确定性，即系统的状态不是确定的，而是有一定的概率分布。

这种不确定性可以用一个分布函数来描述，而这个分布函数实际上就是量子力学密度矩阵的特例。

量子力学密度矩阵的概念在实际应用中有着广泛的应用。

比如，在量子信息中，我们常常需要对量子比特进行操作，而这些操作往往会导致量子比特的状态发生变化。

为了描述这种变化，我们需要引入密度矩阵的概念。

另外，在量子计算中，我们也需要考虑到系统与环境的相互作用，这就需要用到密度矩阵的概念来描述系统的状态。

总之，量子力学密度矩阵是用来描述量子系统状态的一个重要工具。

它可以描述系统的状态不确定性，以及系统与环境的相互作用。

在实际应用中，我们常常需要用到密度矩阵来描述系统的状态变化。

拉比振荡下的密度矩阵

拉比振荡下的密度矩阵

拉比振荡下的密度矩阵
拉比振荡是指在原子或分子受到外加驱动下，发生能级之间的
周期性跃迁的现象。

在量子力学中，我们可以用密度矩阵来描述这
种振荡过程。

密度矩阵是描述量子系统状态的一个重要工具，它包
含了系统的全部信息，包括相位和幅度的信息。

当一个原子或分子受到外部驱动时，它会发生拉比振荡。

这种
振荡过程可以用密度矩阵来描述。

密度矩阵的演化可以通过薛定谔
方程来描述，而在拉比振荡下，密度矩阵的演化会受到外部驱动的
影响。

拉比振荡下的密度矩阵描述了量子系统在外部驱动下的行为。

通过对密度矩阵的分析，我们可以研究量子系统在不同驱动条件下
的行为特性，比如振荡频率、幅度和相位等。

这对于量子信息处理、量子计算和量子通信等领域具有重要意义。

总之，拉比振荡下的密度矩阵是描述量子系统在外部驱动下行
为的重要工具，它为我们研究和理解量子系统的行为特性提供了重
要的信息。

在未来的研究中，我们可以进一步深入研究拉比振荡下
的密度矩阵，以探索量子系统的更多奇妙现象。

高等量子力学 密度算符和密度矩阵

高等量子力学 密度算符和密度矩阵

2
2
ψ = ψ 1 c1 + ψ 2 c2
如果在纯态(14.1)式中 ψ 1 和 ψ 2 都是某一算符 A 的本 式中, 如果在纯态 式中 征矢量, 则在纯态中, 征矢量 本征值分别为 a1 和 a 2 , 则在纯态中 物理量 A 取值 为 a1 和 a 2 的概率确是 c1 和 c 2 , 但是物理量取 a1 或 a 2 的概 率并不等于系统处于 ψ 1 态和 ψ 2 态的概率 关于这一点 态的概率. 关于这一点, 讨论一个(与 不对易的)算符 的取值概率就清楚了, 讨论一个 与 A 不对易的 算符 B 的取值概 率就清楚了 对于 纯态来讲, 系统就是处于 ψ 态 , 对于一个纯态 ψ , 不存在 纯态来讲 “系统处于某态的概率 这一概念 系统处于某态的概率”这一概念 系统处于某态的概率 这一概念.
设 K 表象的基矢为 { n m L}, 则 K 表象中的密度矩阵为
ρ mn = m ρ n = ∑ m ψ i pi ψ i n
i
(14.16)
的本征态, 如果参与构成混合态的都是物理量 K 的本征态 则这个混合 表象中的密度矩阵是对角矩阵, 态在 K 表象中的密度矩阵是对角矩阵 其对角元是相应本征 态的权重 pi .
§14 密度矩阵
§14-1 纯态和混合态 §14-2 密度算符和密度矩 阵 §14-3 例
§14-1
纯态和混合态
能用希尔伯特空间中的一个矢量描写的状态都是纯态 能用希尔伯特空间中的一个矢量描写的状态都是 纯态. 纯态 两个纯态 ψ 1 和 ψ 2 , 通过叠加可以得到另一个状态 ψ :
ψ = ψ 1 c1 + ψ 2 c2
ρ mn = m ρ n = ∑ m i pi i n = ∑ δ mi pi δ in = p mδ mn
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k k* ρ mn = ∑ p k m Ψk Ψk n = ∑ p k C m Cn k k
四、Bloch 球描述 1、极化矢量 p
p = σ = ψ (t ) σ ψ (t )
2、Bloch 球描述
Bloch 球主要用于双态系统纯态与混态的统一描述。
（1） 、 1/ 2 自旋粒子态的一般表示
1/ 2 自旋粒子任意混态的密度矩阵是迹为 1， 本征值非负的 2 × 2 厄米矩阵。 它总是某两个
2
ˆ 的取值 F 的概率为 W ( F ) = ψ Ψ 则力学量 F k k k 1
（混合态下，有两次平均：态平均与概率平均） 二、密度算符与密度矩阵 1、纯态下密度算符的定义 纯态下如何用态密度算符来描写。
2
p1 + ψ k Ψ2
2
p2
设 ψ 是一归一化的态矢， ψ ψ = 1 。通过 ψ 和他的对偶态矢 ψ 的外积可以构造一个
m
A
A
}构成子系统 A 的量子态完备系； }构成子系统 B 的量子态完备系；
B
B
n
B
= m A n B （即 m A 与 n
的直积） 构成复合系统 A + B 的量子态一组完备基 （称
为非耦合表象） 2、复合系统的纯态 若复合系统 A + B 处于一个量子态 Ψ
AB
2
，则可以用上面的基矢展开为
Ψ AB = ∑ C mn m
ˆ) ˆAF F = Tr A ( ρ ˆ A = Tr B ( ρ ˆ AB ) ρ
2、约化密度矩阵
ˆ A = Tr B ( ρ ˆ AB ) ρ
3、约化密度矩阵的性质
+ ˆA ˆA； （1） ρ =ρ
ˆ A ) = 1； （2） Tr A ( ρ
ˆ A 是非负的。 （3） ρ
说明：在很多情况下，我们用 ρ → ρ A 。 4、约化密度算符计算 （1）计算表达式
3 ρ= 2 p1 + i p2
1 1+ p
p1 − i p2 1 = (1 + p iσ ) 1 − p3 2
det ρ =
1 1 − p2 ) ( 4
ρ 的本征值非负要求极化矢量的模长 p ≤ 1 。
（3）Bloch 球描述
Bloch 球：
纯态按照极化矢量的方向，必对应单位球面上的一点。 混态按照极化矢量的方向，必对应单位球内的一点。 量子比特在随时间的退相干演化过程中，由某个纯态转为混态时，相应的 Bloch 矢量将 由于径长缩短而从球面缩进球内。
B
= i j }；
将态矢 ψ 在表象 { i j } 中展开；
ρ AB = ψ ψ ；
利用计算表达式计算。 三、约化密度算符（矩阵）的运动方程 1、Lind-blad 主方程 对于开放系统，系统受环境和其他因素影响所以 Lind-blad 主方程可写为：
dρ 1 ˆ 1 + = [H , ρ ] + ∑ Γµ ρ Γ+ µ − {Γ µ Γ µ , ρ } 2 dt i µ >0
二、矩阵元的动力学方程
ˆ 的本征态为 n ，则 选取能量表象， H 1 d ρ m n (t ) = (E m − E n ) ρ m n (t ) dt i
ρ m n (t ) = ρ m n (0) exp(−i ω m n t )
ω mn =
Em − En
非对角元以角频率 ω mn 振荡，而对角元不随时间变化。 三、力学量平均值的时间演化方程
F = tr ( ρ (t ) F ) i
∂ ∂F (t ) + tr {[ H (t ), ρ (t )]F (t )} F (t ) = i ∂t ∂t
§4.3 约化密度矩阵 一、复合系统 过去我们说： “一个量子态可以用一个态矢完全描述” ，其实只适用于与环境没有关联的 孤立的系统。这是一种理想的情况，一般的实际系统或多或少总与环境有关联。 记系统的自由度为 r ，环境的自由度为 q 。系统和环境合而为一孤立的总系统，设可用态
3、密度算符的性质
ˆ 满足本征值方程 如果算符力学量 F
ˆψ = F ψ F k k k
当本征值无简并时，则 {ψ k }构成正交归一完备系；当本征值简并时，本征矢未必正交， 但可以要求它是归一和完备的。
ˆ 是厄米算符： ρ ˆ+ = ρ ˆ （1） ρ ˆ 的本征值是非负的。 （2） ρ ˆ （3）对于密度算符 ρ ˆ =1 Tr ρ
2、相互作用绘景 复习 系统的哈密顿量为
H = H0 + Hi
0 0 态矢： Ψ I (t ) = U S (t ) −1 Ψ S (t ) = U S (t ) −1U S (t ) Ψ (0) = U I (t ) Ψ (0)
60
态矢的演化方程： i
∂ Ψ I (t ) = H I (t ) Ψ I (t ) ∂t
正交的两分量态按一定概率的非相干混合。
ψ = e i γ cos

θ
2
0 + e iϕ sin
θ
1 2
其中 θ ,ϕ , γ 都是实数。我们可以省略 exp(iγ ) ，因为它没有任何观测效应。所以有效形式为
ψ = cosθ2来自0 + e iϕ sin
θ
2
1
59
（2） 1/ 2 自旋粒子密度矩阵的一般表示 双态系统的全部态都可以用 4 个矩阵基 {σ 0 σ 1 σ 2 σ 3 } 展开，其密度矩阵表示为
Bloch 球心则是一个不含任何信息的完全随机的混态——垃圾态。
§4.2 密度算符的动力学演化方程 一、密度算符一般动力学方程
ˆ 和一般的算符不同，它不是一个固定的算符，而是依赖于系统所处的状态， 态密度算符 ρ
随时间演化。由薛定谔方程不难得到态密度算符的运动方程 1、薛定谔绘景
ˆ (t ) 1 ˆ dρ ˆ (t ) ] = H (t ), ρ dt i
mn
A
n
B
∑C
mn
mn
=1
3、复合系统的密度算符（纯态）
ˆ AB = Ψ ρ
AB AB
Ψ =
m n jk
∑C
* jk
Cmn m
A
n
BA
j
B
k
二、约化密度算符（矩阵） 1、子系统 A 力学量 FA 的平均值 （1）子系统 A 力学量的表示 设 FA 是子系统 A 的一个可观测的力学量（只依赖于子系统 A 的动力学变量） 此时力学量 FA 应表示为
n
ˆψk （3）力学量 F 在任意态 Ψ 上取 F k 的概率为： C k 2 = ψ k ρ
2、混合态下密度算符的定义
ˆ = ∑ Ψk p k Ψk ， （1）混合态下密度算符的定义 ρ
k
∑p
k
k
=1
ˆρ ˆρ ˆ n = Tr ( F ˆ) （2）力学量平均值表为： F = ∑ n F
n
ˆ Ψk （3）力学量 F 在混合态上取 F k 的概率为： W ( Fk ) = Ψk ρ
0 0 算符的演化： FI (t ) = U S (t )−1 FSU S (t )
算符的演化方程：
dFI (t ) ∂FI (t ) 1 FI (t ), H I0 (t ) = + ∂t dt i
0 0 0 0 其中： H Ii = U S (t ) −1 H iU S (t ) ， H I0 = U S (t ) −1 H 0U S (t )
ˆψ = F ψ ， 则力学量 F 在任意态 Ψ 上的平均值 ˆ 满足本征值方程 F 算符。如果算符力学量 F k k k
为： ˆ Ψ F = Ψ F 任选一组正交基底 { n
n
}
n
ˆ Ψ = ˆ Ψ Ψ n F =∑ Ψ n nF ∑ nF
57
ˆ=ψ ψ （1）定义 ρ
ˆρ ˆρ ˆ n = Tr ( F ˆ) （2）力学量平均值表为： F = ∑ n F
第四章
§4.1 密度算符（矩阵） 一、纯态和混合态 1、纯态 能用一个态矢描述的态称为纯态。
密度矩阵方法
任意个态矢的线性叠加是一个态矢，故仍为纯态。 2、混合态 体系的状态不能用一个态矢描述，而需要用一组态矢及其相应的概率来描述，称为 参与态： Ψ j ←→ p j （处在 Ψ j 态的概率） 3、区别 纯态：概率幅的相干叠加，两态之间发生干涉 混合态：概率的不相干叠加。
ˆ 满足本征值方程 F ˆψ = F ψ 设力学量 F k k k
当系统处在一纯态： Ψ = C1 Ψ1 + C 2 Ψ2 ：
ˆ 的取值 F 的概率为 W ( F ) = C ψ Ψ + C ψ Ψ 则力学量 F k k k k 1 1 2 2
当系统处在 Ψ1 , Ψ2 的态，处在 Ψ1 , Ψ2 态的概率分别为 p1 , p 2
方程右边第一项为常见的薛定谔项，它是由一个幺正变换演化而来的。方程的其他项描述了 由于与环境之间的相互作用而在开放系统中出现的所有可能的跃迁。 Γµ 代表量子跃迁算符，
+ + + 每个 Γµ ρΓµ 项代表一种可能的量子跃迁。而 Γµ Γµ ρ + ρΓµ Γµ 是计如耗散后概频率守恒的要求。
ρ A = trB ( ρ AB ) = ∑ B j ρ AB j B ，
j =1 N
M
∑
j =1
M
j
B B
j = IB
ρ B = trA ( ρ AB ) = ∑ A i ρ AB i
i =1
， A
∑i
i =1
N
A A
i = IA
（2） 、计算基本步骤 确定 A, B 子系统的基矢 { i