微分与积分思想 ()

微积分发展简史一．微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。

在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。

在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?天下篇》中记载了惠施的一段话："一尺之棰，日取其半，万世不竭"，是我国较早出现的极限思想。

但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。

他的"割圆术"开创了圆周率研究的新纪元。

刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。

用他的话说，就是："割之弥细，所失弥少。

割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。

"按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率的近似值3.14。

大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。

其次明确提出了下面的原理："幂势既同，则积不容异。

"我们称之为"祖氏原理"，即西方所谓的"卡瓦列利原理"。

并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。

欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。

较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的"穷竭法"。

他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。

但他的方法并没有被数学家们所接受。

后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。

之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。

第7讲微积分发展史微积分是近代自然科学和工程技术中广泛应用的一种基本数学工具，它创立于17世纪后半叶的西欧，是适应当时社会生产发展和理论科学的需要而产生的，同时又深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

一、微积分产生的背景微分和积分的思想早在古代就已经产生了。

公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲面的体积等问题中就隐含着近代积分的思想。

极限理论作为微积分的基础，也早在我国的古代就有非常详尽的论述，但当时人们习惯于研究常量和有限的对象，遇到无穷时往往束手无策。

生产力和科学技术的不断发展，为微积分的诞生创造了条件。

1492年哥伦布发现了新大陆，由此证实了大地是球形；1543年，哥白尼发表的《天体运行论》确立了“日心说”；开普勒在1609年提出了有关行星绕日运动的第一、第二定律，1618年他又提出了第三定律；1609年，伽利略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向遥远的地方。

这些科学家拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的巨变。

16世纪，西欧出现资本主义的萌芽，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，在航海、天文、矿山建设、军事技术等方面有许多课题需要解决，数学也开始进入了“变量数学”时代。

通过这些向数学提出了如下4个问题：（1）由距离和时间的关系求瞬时速度和瞬时加速度；反之，由速度求距离，由加速度求速度。

（2）确定物体运动方向（切线方向）或光学中曲线的切线问题。

（3）求最大、最小值问题。

（4）一般的求积（面积、体积）问题，曲线长问题，以及物体的质量、重心等问题。

在17世纪30年代创立的解析几何学里，可以用字母表示流动坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数演算代替对几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来。

链式法则微分微积分是高等数学中的重要学科，将函数求导解析为微分和导数的概念，成为微积分的基础。

微积分的链式法则微分是其中一条重要的规则之一，链式法则即符合函数复合法则的函数求导过程，是微积分理论的重要内容。

本文将深入探讨链式法则微分的原理与应用。

一、链式法则微分的原理链式法则微分，也称为复合函数求导法则，是微积分中的一种重要的求导法则，它是求导推广上的一个基本思想。

在微积分中，许多函数都是由一个函数组成的，而求导和微分正是真正要解决的问题。

链式法则的求导过程，本质上是从一个函数引申到另一个函数的，两个函数之间是存在某种联系的。

这种联系，即为“函数的嵌套关系”或“函数的复合关系”。

华里士曾经说过：“微积分就是一个综合与抽象的科学。

”从数学本身而言，链式法则微分本质上就是综合了函数嵌套的复合关系，是不断抽象理解数学概念的结果。

链式法则微分的基本思想是：函数与函数有联系、函数与函数的导数有联系，为了求导方便，我们将一个函数的导数用另一个函数的导数来表示，这就是链式法则微分的基本思想。

二、链式法则微分的公式和步骤链式法则微分公式为：如果 y=f(u)，且u=g(x) , 满足f(u)具有导数f’(u)，g(x)具有导数g’(x)。

则函数y=f(g(x)) 内部变量的导数可以表示为：$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$$一般地，有：$\frac{\mathrm{d}f(u)}{\mathrm{d}u} \cdot\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}$这个公式表明了：当一个函数的自变量不是$x$时，要求导它就必须先找到它和$x$的关系，然后再根据这个关系去求导。

下面是链式法则微分的求导步骤：1. 首先要明确由哪些函数的复合组成了函数 $y=f(u)$ 和$u=g(x)$，即分离每个函数的搭配。

名人莱布尼兹的故事莱布尼兹（1646-1716）是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。

他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。

一、生平事迹莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭。

莱布尼兹的父亲在他年仅6岁时便去世了，给他留下了丰富的藏书。

莱布尼兹因此得以广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多着名学者的着作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。

15岁时，他进了莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略、等人的着作，并对他们的着述进行深入的思考和评价。

在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。

17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位。

20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学。

这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》。

这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。

这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华。

莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。

从1671年开始，他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式。

在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的着作。

1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。

此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。

1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。

1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。

1716年11月14日，莱布尼兹在汉诺威逝世，终年70岁。

总结不定积分的思想不定积分是微积分中的重要概念，它是求函数的原函数的过程，也被称作积分运算。

不定积分的思想包括反导数和积分常数的概念，这些概念在求解函数的不定积分过程中起着重要的作用。

首先，不定积分的思想基于函数的导数和原函数的关系。

根据导数的定义，如果函数F(x)的导数为f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。

不定积分就是要找到函数f(x)的原函数F(x)。

因此，不定积分可以理解为求解函数的反导数的过程。

比如，对于函数f(x)=2x，我们可以求解其原函数F(x)=x^2 + C，其中C 为常数。

这个过程可以反过来验证，即对函数F(x)=x^2 + C求导数，得到f(x)=2x。

因此，不定积分的思想可以看作是反导数的思想。

其次，不定积分的思想还涉及到积分常数的概念。

在求解不定积分时，由于原函数的导数是具有无穷多个原函数的，所以不定积分结果需要加上一个积分常数。

这是因为在求导过程中，常数函数的导数为0，所以在反导数的过程中会消失。

因此，在不定积分的结果中添加了一个常数项，保持了原函数数量的一致性。

例如，对于函数f(x)=2x，不定积分的结果为F(x)=x^2 + C，其中C为积分常数。

这个C可以是任意常数，因为对于求导来说，它的导数为0。

因此，积分常数的思想是不定积分的一个重要组成部分。

此外，不定积分的思想还体现了微积分中的重要性质，即导数与积分的互逆关系。

根据微积分的基本定理，如果f(x)是一个连续函数，那么它的原函数F(x)在一个区间上存在，并且有F'(x)=f(x)。

这意味着求解函数的原函数等价于求解函数的不定积分。

这个互逆关系对于微积分的理论建立起了重要的基础。

它使得不定积分成为了解决微积分问题的一种强大工具，同时也是求解函数的原函数的思想基础。

综上所述，不定积分的思想包括反导数和积分常数的概念，它是微积分中的重要概念之一。

不定积分的思想基于函数的导数和原函数的关系，通过求解函数的反导数来寻找函数的原函数。

y.B∆ NB mg xON A A mgL （弧长）=α(弧度)x r(半径) (弧度制)5 52高中物理中微积分思想伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。

微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。

微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

1、解决变速直线运动位移问题匀速直线运动，位移和速度之间的关系 x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？ 例 1、汽车以 10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速 2m/s 2 刹车，问从开始刹车到停车， 汽车走了多少公里？【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式v = v 0 走了 0.025 公里。

+ at x = v t + 1 at 2 就可以求得汽车0 2但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。

在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。

现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面 积”，即 x = v t + 1 at 2 。

3中国科教创新导刊I 中国科教创新导刊2008N O .25C hi na Educa t i on I nnov at i on H er al d 理论前沿恩格斯指出：“数学是辨证的辅助工具和表现方式”。

数学中充满矛盾。

高等数学中的微积分中蕴含了丰富的辨证思想。

简单来说，微分是由整体来研究局部，而积分则是由局部来研究整体，它们是两个互逆的过程，也是对立统一的。

充分的认识这些思想能帮助我们正确的分析问题和解决问题，对教育教学其很好的指导作用，本文通过实例谈谈微积分中的辨证思想。

1微分与积分微积分中充满矛盾。

无论概念、判断和运算法则都存在对立统一关系，这其中蕴涵了丰富的辩证法的思想。

微分学的基本问题，是从给定函数（原函数）求其微商（导函数）或微分，积分学的基本问题则是一个反问题，就是从给定的微商（导函数）或微分倒过来求原函数。

微积分基本定理（即牛顿与菜布尼兹公式）则集中体现微分与积分以及导函数与原函数之间的既对立又统一的关系，每一条微分学原理或公式在原则上都有一条与之相应的积分学原理或公式。

因此，基本微分表与基本积分表一一对应，对微分运算而言，具有根本的重要性的是关于函数的和、积以及复合函数的微分公式，与之相应地，对积分运算而言，具有根本的重要性的则是将被积函数分拆成几个易求积分函数之和再求积分。

对于多元微积分，道理还是一样，多元的微分学将导数及微分推广成偏导数，方向导数与全微分，多元的积分学将积分推广成重积分，线积分和面积分等，尽管多元微积分的基本定理需通过格林公式、斯托克斯公式和高斯公式这样三种形式来体现，目标仍旧是揭示微分与积分的对立统一关系。

2有限与无限有限与无限是对立的统一。

微积分是以极限理论实现了有限与无限的转化，微积分通过有限认识无限，也通过无限来确定有限，而极限概念是有限与无限的对立统一。

例如:无穷数列是反映自变量为正整数的函数的变化情况，这是无限的，但我们不可能把它遂项写出来。

数学积分思想意义总结数学积分思想意义总结数学积分是微积分的重要概念，也是数学中一个重要的思想工具。

它在数学理论研究和实际应用中具有重要的意义。

下面是关于数学积分思想意义的总结：1. 反向问题的求解：数学积分可将一个函数的变化率求出来，从而可以求出原函数，即反向问题的求解。

这在物理学、工程学、经济学等领域中非常有用，可以利用积分求解出物体的位移、速度和加速度等信息。

2. 面积和体积的计算：数学积分能够计算曲线下的面积、曲面下的体积等，这对于计算几何学、物理学中的体积计算非常重要。

同时，这种方法可以扩展到更高维度的积分中，计算多维空间中的体积。

3. 概率论和统计学中的应用：数学积分在概率论和统计学中起着重要的作用。

在统计学中，可以利用积分计算随机变量概率密度函数的面积，从而求解概率。

在概率论中，可以利用积分计算随机变量的期望值，从而求解随机现象的平均性质。

4. 函数逼近：数学积分是函数逼近问题中的一个重要工具。

通过积分可以计算两个函数之间的距离或相似度，从而判断函数之间的逼近程度。

这在数值计算和信号处理等领域中应用广泛。

5. 物理意义：积分在物理学中表示物理量的总量。

例如，速度是位移的导数，加速度是速度的导数，而位移和速度的微分则表示某一瞬间的变化。

然而，如果我们对速度或加速度进行积分，可以得到位移和速度的整体变化情况。

这对于理解物理过程中的整体规律和行为具有重要意义。

6. 函数性质的研究：数学积分可以用来研究函数的性质，如函数的单调性、曲线的凸凹性、极值点等。

通过对函数进行积分，可以得到函数的导函数、二阶导函数等的相关信息，从而更深入地研究函数的性态。

7. 建立微分方程：数学积分与微分方程密切相关，两者互为逆过程。

通过对微分方程进行积分，可以得到函数的解析表达式，从而解决微分方程的问题。

微分方程是自然科学、工程技术和社会科学中广泛应用的数学工具。

8. 数学建模和优化问题：数学积分在数学建模和优化问题中有着重要的作用。

微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想？A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案：D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少？A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案：A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案：C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案：f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案：x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案：4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。

解：首先求函数在x=1处的导数，f'(x) = 3x^2 + 4x。

代入x=1得斜率为7。

又因为该点经过(1,3)，故切线方程为y = 7x - 4。

8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。

解：首先确定曲线截距为(0,0)，解方程得x=0。

利用定积分区间求解：∫[0,1] x^3dx = 1/4。

以上为微积分考试题目及答案，希望对您的学习有所帮助。

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