矩阵微分法

偏微分方程分类一 判断根的符号,若根的表达式为22()4A BA a cB a c b λ±=±=+=-+要求判断两根(A+B),(A-B)是否同号.设A>0, B>0, 显然A+B>0, 下面考虑（A-B ）的符号。

由于A>0，B>0，取222222()()44()A B a c a c b ac b ∆=-=+---=-则Δ>0时，(A-B)>0,两个根符号相同，当Δ=0时，A=B,有零根，当Δ<0时，A<B,两个根符号相反. 当A<0时,结论也相同.二 对称矩阵定义：若矩阵P 满足：PP T =E ，称P 为正交矩阵。

定理：对称矩阵H=P ΛP T , Λ为特征根阵，P 为特征向量阵。

例:求Λ和P,2222a b H b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭解，先求特根22220||2()4422a bH E a c b ac b c λλλλλ-=-==-+-+-22()4A BA a cB a c b λ±=±=+=-+再求特征向量,由112()0022a c B b A E p p b c λ+--⎛⎫-== ⎪⎝⎭得单位化的特向:1211()122p B c a B c a b b⎛⎫⎪=+- ⎪+- ⎪+⎝⎭类似得到根 (A-B)对应的特向:2211()122p B c a B c a b b⎛⎫⎪=-+- ⎪-+- ⎪+⎝⎭所以有 120(,)0P p p λλ+-⎛⎫Λ==⎪⎝⎭例:若:4224H ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有a=2,b=1,c=2, 求得A=4，B=2，根为2,6.有B+c-a=B=2, -B+c-a=-2, 所以有6011104112P ⎛⎫⎛⎫Λ== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭三 二次型2222(,)242(,)22Ta b x F x y ax bxy y x y X HX b c y ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭式中 2222a b x H X b c y ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由于H=P ΛP T ，则有 12(,)T T T TF x y X HX X P P X Y Y y y λλ+-==Λ=Λ=+上式称为标准二次型:22()4A BA a cB a c b λ±=±=+=-+222222()()44()A B a c a c b ac b ∆=-=+---=-则Δ>0时，两个根符号相同，称F 为椭园型，当Δ=0时，两个根一样，称F 为抛物型，为重根，当Δ<0时，两个根符号相反，称F 为双曲型，且 T Y P X =例:化为标准二次型221242(,)444'6224F x y x xy y X X y y ⎛⎫=++==+ ⎪⎝⎭11111122T x x y Y P X y x y +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭四 二阶偏微分定理：若11[][]22x y ζηζη=+=- 则有11[][]22u u u u u ux y x yζη∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂ 证：由导数，有1[]2u x u y u u ux y x y ζζζ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 1][]2u x u y u u u x y x yηηη∂∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂∂ 反之，有下面定理： 定理：若11[][]22u u uu u ux yx yζη∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂ 存在关系式：11[][]22x y ζηζη=+=-若有22222222222242(,)22(,)T a b u u u x F a b c ub c x y x y x y y u u x P P u x y y λλζη+-∂⎛⎫⎪⎛⎫∂∂∂∂∂∂ ⎪=++= ⎪∂∂∂∂∂∂∂ ⎪⎝⎭ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪=Λ=+∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭式中T x P y ζη∂⎛⎫∂⎛⎫ ⎪ ⎪∂∂ ⎪ ⎪=∂∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭22()4A BA a cB a c b λ±=±=+=-+222222()()44()A B a c a c b ac b ∆=-=+---=-则Δ>0时，两个根符号相同，称F 为椭园型，例如:2222u uF x y∂∂=+∂∂当Δ=0时，有零根，称F 为抛物型，例如:22u u a x y ∂∂=∂∂ 当Δ<0时，两个根符号相反，称F 为双曲型:2222u uF x y ∂∂=-∂∂例:将24uF x y∂=∂∂化为标准型解由于a=0,b=1,c=0,有A=0,B=2,所以22222[]u uF ζη∂∂=-∂∂下面求变换关系,由于0220H ⎛⎫= ⎪⎝⎭有1211111122p p ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2011102112P ⎛⎫⎛⎫Λ==⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以有111112T x x P y y ζη∂⎛⎫∂∂⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪∂∂∂- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 或1[]2x y ζ∂∂∂=+∂∂∂ 1[]2x yη∂∂∂=-∂∂∂ 得到关系式11[][]22x y ζηζη=+=- 11[][]22x y x y ζη=+=- 当20ux y∂=∂∂时,有解 ()()()()u f x g y f g ζηζη=+=++-式中f,g 由初值条件和边界条件确定.五.二阶偏微分方程--去掉u 项二阶偏微分方程一般式为111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f +++++=用上面求特根和特向的方法可以化为（去掉xy 交叉偏导）xx yy x y au bu pu qu cu f ++++=取u=vg(x), 有 2222222u v g u v g v gg vg v x x xx x x x x∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂ 则2222(2)()xx yy x y yy y v g v g v gau bu pu qu cu a g v bgv p g v qgv cgv x x x x x x∂∂∂∂∂∂++++=+++++++∂∂∂∂∂∂2222(2)[]yy y v g v g gag bgv a pg qgv cg a p v x x x x x ∂∂∂∂∂=+++++++∂∂∂∂∂22(2)yy y v g v ag bgv a pg qgv f x x x ∂∂∂=++++=∂∂∂式中函数g 满足: 220g gcg a px x∂∂++=∂∂ 例:去掉u 项: 0xx yy u u u +-=解,由于c=-1, a=1, p=0, 有 220gg x∂-=∂取x g e =, 方程化为22222020yy yy v v v vg gv g v x xx x∂∂∂∂++=++=∂∂∂∂ 上式不显含u 项.六.二阶偏微分方程--去掉一阶偏导项考虑偏微分方程 xx yy x y au bu pu qu f +++= 当a 非零时，取变换:()()xg x yF y ζη==有(')(')u u u u u ug xg F yF x x y y ζηζζηη∂∂∂∂∂∂∂∂==+==+∂∂∂∂∂∂∂∂ 22(')(')[(')]u u u ug xg g xg g xg x x x x ζζζ∂∂∂∂∂∂∂==+=++∂∂∂∂∂∂∂ 222(')(2''')(')u u g xg g xg g xg ζζ∂∂=++++∂∂ 22222(')(2''')(')u u u F yF F yF F yF y ηη∂∂∂=++++∂∂∂ 则222222(')(')[(2''')](')(')[(2''']xx yy x y u u au bu pu qu a g xg g xg a g xg p u u b F yF F yF b F yF q ζζηη∂∂+++=+++++∂∂∂∂++++++∂∂222222(')(')u u a g xg b F yF ζη∂∂=+++∂∂ 式中g,F 为下面方程的解(2''')0a g xg p ++= (2'''0b F yF q ++=有特解22pxqy g F ab =-=- 2222px qy abζη=-=-所以 2222222244xx yy x y p x u q y uau bu pu qu f a b ζη∂∂+++=+=∂∂ 上面方程只含二阶导数项例:将下面方程化为只含二阶导数项: 0xx yy x u u u ++=解取 22x ζ=-, 有 22204xx yy x yy x u u u u u ζ∂++=+=∂ 例:将下面方程化为只含二阶导数项 0xx yy u u u +-=解,取xu e v =, 有 2220yy v vv x x∂∂++=∂∂上式不显含u 项.再取 2x ζ=-, 有2222220yy yy v v v v x v x x ζ∂∂∂++=+=∂∂∂ 七.二阶偏微分方程特征线法考虑偏微分方程 11122220xx xy yy a u a u a u ++=当a 非零时，取变换:(,)(,)x y x y ζζηη==22211221222**2*0u u ua a a ζηζη∂∂∂++=∂∂∂∂ 式中：2211112212*()()2a a a a x y x y ζζζζ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222112212*()[()2]y ya a a a y x xη∂∂∂=++∂∂∂ 12112212*()a a a a x x y y x y x y ζηζηζηηζ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂ 或2211112212*()[()2]y y a a a a y x xζ∂∂∂=++∂∂∂ 2222112212*()[()2]y y a a a a y x xη∂∂∂=++∂∂∂ 令1122*0*0a a ==则有221122120()20u y y a a a x xζη∂∂∂=++=∂∂∂∂ 例：把方程2220xx xy yy x u xyu y u ++= 化为标准形式。

精品好资料——————学习推荐目录摘要0关键词0Abstract0Keywords0引言01 基本知识11.1n阶行列式的定义11.2n阶行列式的性质11.3 一些特殊的行列式的值11.4 求行列式一般方法22 行列式微分法的理论2 2.1 行列式的求导法则22.2 一类行列式的积分法则43 用微分法求行列式43.1用常微分方程求解行列式43.1.1 对阶数比较低行列式求解43.1.2 对n阶行列式求解53.2 用偏微分方程求解行列式73.3 用积分法求解行列式124 结论13参考文献14致谢15用微分法计算行列式摘要将含参数行列式中一个或多个参数看作自变量，把行列式看作参数函数，利用行列式的求导法则或者积分法则，求出行列式的导数或者一个原函数或者一种递推关系，然后通过不定积分和参数取特殊值或者求导，最终求出行列式的值.利用微分法求解行列式，可以简化行列式的计算.关键词行列式求导法则积分法则Using Differential Method to Calculate the DeterminantStudent majoring in Mathematics and Applied Mathematics Ma GuangshengTutor Zhang QunliAbstract Based on derivation or integral rule, consider the parameter(s) of determinant as independent variable, the relations about the determinant, such as the original function, the recursive relations and so on, are obtained and the values of the determinant are found. Using differential method to solve the determinant, the determinant of computation can be simplified.Keywords DeterminantDerivation rule Integration rule引言行列式[15]-是高等代数的基石，它是求解线性方程组、求逆矩阵及求矩阵的特征值的基础，并且在许多数学分支及其它学科中有着广泛的应用.对于一个n行列式都可以由它的定义去计算它的值，但是根据行列式定义知，n行列式的展开式有!n项，计算量很大，因此行列式的计算灵活多变需要技巧的.通常行列式的计算都是用行列式的展开式、行列式的性质、一些特殊的行列式等方法，即用高等代数知识求解高等代数问题，跨专业、跨学科解法很少介绍，本文用分析手段来求解行列式[69]-为例，作了这方面的尝试.1 基本知识1.1 n 阶行列式的定义将2n 个数(,1,2,,)ij a i j n =排成n 行n 列的形式，按照下式1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑计算得到的一个数，称为n 阶行列式(n-order determinant ). 1.2 n 阶行列式的性质性质1行与列互换，行列式的值不变.性质2某行（列）的公因子可以提到行列式符号外.性质3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之和之一，其余行（列）元素与原行列式相同.性质4两行（列）对应元素相同，行列式的值为零. 性质5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零. 性质6某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变. 性质7交换两行（列）的位置，行列式的值变号. 1.3 一些特殊的行列式的值（1）上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积.即11111212122222112212n n nn n n nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（2）次三角行列式的值等于添加适当正、负号的次对角线元素的乘积，即1111,11(1)2,12212,1212,111,11(1)n n n n n n n n n n n n n n nnn a a a a a a a a a a a a a a a ------==-（3）分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即111111*********100**00****00**00n n n nn n nn n n n nnn nn a a a a a a a a b b b b b b b b =11111111n nn nn n nna ab b a a b b =111111*********100**00****00**0n n n nn n nn n n n nn n nna a a a a a a ab b b b b b b b =11111111(1)n nnmn nn n nna ab b a a b b =-（4）奇数级反对称行列式的值为零. 1.4 求行列式一般方法常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法，数学归纳法和乘积法.2 行列式微分法的理论2.1 行列式的求导法则定理1设()(,1,2,,)ij a t i j n =为可微函数，则有行列式的求导法则[1011]-1111111212122221221121()()()()()()()()()()()()()()()j n n nn j n j n n nn n nj nn d a t a a t dt a t a t a t d a t a t a t a t a a t d dt dta t a t a t d a t a a t dt==∑.证明 行列式11111121()212221212()()()()()()(1)()()()()()()j n j n jnn i i i n i i ni i i i n n nn a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t τ=-∑故11111121()212221212()()()()()()(1)()()()()()()j n j n j nn i i i n i i ni i i i n n nn a t a t a t a t a t a t d d a t a t a t dtdt a t a t a t τ=-∑111()12(1)()()()j n j n j ni i i i i ni i i i d a t a t a t dt τ-∑111()12(1)(()()())j n j n jni i i i i ni i i i da t a t a t dt τ=-∑111()121(1)()()())j n j n jnni i i i i ni i i i j dat a t a t dt τ==-∑∑111()121[(1)()()()]j n jn jnni i i i i ni j i i i da t a t a t dt τ==-∑∑又因为1111111()2122121()()()()(1)()()()()()j n jn jnj n i i i j n i i ni i i i n nj nn d a t a a t dt d a t a a t da t a t a t dt dt d a t a a t dtτ-=∑，结论的证.注 （1）该定理也可以按行求导数.（2）该公式也可以用数学归纳法证明[9].（3）把导数换成积分类似地证明一些特殊行列式的积分法则.2.2 一类行列式的积分法则定理2 已知(1,2,,;2,,)ij a in jn 为与t 无关的量，1()(1,2,,)i a t in 为t的可积函数，对于矩阵111212122212()()()n n n n nn a t a a a t a a Aa t aa ，有111210212220120()()()x n xx nx n n nna t dt a a a t dta a A dta t dt a a .3 用微分法求行列式3.1用常微分方程求解行列式 3.1.1 对阶数比较低行列式求解例1 计算行列式1111111111111111xx y y+-+-.解令11111111()11111111xx f x y y+-=+-，则21111101101111111()02011110110111111xx df x xy y y dxy y+--=++=++--.对()df x dx求关于x 的不定积分得，22()f x x y c =+（其中c 为积分常数）. 当0x =时，行列式的前两列相同，由行列式的性质4得：(0)0f =， 故22()f x x y =.例2 计算行列式cos 10012cos 10012cos 1012cos αααα.解 用x 代替cos α，则行列式变为100121001210012xx x x，令1001210()0121012x xf x x x=，对()f x 求关于x 的导数得11000001001000210121012001210()01210021012101200012001200020012x x x x x x df x x x x dxx x x =+++33216x x =-对()df x dx求关于x 的不定积分得，42()88f x x x c =-+（其中c 为积分常数）. 当0x =时，01001010(0)101010010f ==，从而1c =，故42()881f x x x =-+. 把cos x α=代入()f x 中得，4222(cos )8cos 8cos 18(cos 1)cos 1f ααααα=-+=-+2212(2cos sin )12sin (2)cos 4αααα=-=-=.3.1.2 对n 阶行列式求解例3 计算n 阶行列式1231111111111111111na a a a ++++.解 令1231111111111111111n na a D a a ++=++，先设1a 为自变量，122331111111011111110111111101111111n n na a a D a a a a ++=+++++12323111011101110111n na a a a a a a +=+++2311111111111n n na a dD D da a -++==+，所以11n n D a D c -=+（其中c 为积分常数）.当10a =时，23n n D a a a =，所以23n c a a a =.故1123n n n D a D a a a -=+.对于1n D -把2a 看作自变量，运用上面的方法可求出1223n n n D a D a a --=+.同理可求：2334n n n D a D a a --=+2111(1)n n n n n D a D a a a a --=+=++因此，123111123111(1)nnn n i i n n i i iD a a a a a a a a a a a a a -+===+=+∑∑. 例4 计算n 阶行列式a a a ab b D b bλαββββαββββαββββα=. 解 把行列式D 看作关于λ的函数，令()D D λ=，对()D λ求关于λ的导数2100()[(2)]()00n aaaadD n d αβββαββββαβββαββλαβαβββαβββαβλβββαβββα-===+-- 对()dD d λλ求关于λ的不定积分得： 2()[(2)]()n D n c λλαβαβ-=+--+（其中c 为积分常数）当b λ=时,1000011()11b a a a a b a a a ab a a a aD b b b a a a a b a a aaαβββαββββαβββαββββαβββαββββαβββα--------==-------- (2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)n n a a a an n a a a a b n n a a a a n na aaaαββββαβαββαββαβαβββα+------+------=+------+------ 10100[(2)(1)]1001b n n a αβαβαβαβ-=+-----2[(2)(1)]()n b n n a αβαβ-=+----所以22()[(2)]()(1)()n n c D b b n n ab αβαβαβ--=-+--=--- 故22()[(2)]()(1)()n n D n n ab λλαβαβαβ--=+-----2()[(2)(1)]n a n n ab αβλλβ-=-+---.3.2 用偏微分方程求解行列式例5 用偏微分方程求范德蒙德（Vandermonde ）行列式.解 设123222212311111231111n nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=，把范德蒙德行列式D 看作关于1x ，2x ，…，n x 的函数，对D 求关于1x ，2x ，…，n x 的偏导数得1231232222222212311231111111112123123111111111111110000200(1)000nn n n n n n n n n n n n nnx x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x n x ---------∂=++++∂-123123222222221232123211111111212312321111111111110100002000(1)0nn n n n n n n n n n n n nnx x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x n x ---------∂=++++∂-……………………1231232222222212312311111111212312311111111111100010020(1)nn n n nnn n n n n n n n n nnnx x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x n x ---------∂=++++∂-然后，对1D x ∂∂，2D x ∂∂，…，nD x ∂∂求和得 1232222123123121111111112312311111111111102222nn n nn n n n n n n n nnx x x x D D D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --------∂∂∂+++=++∂∂∂1232222123222212311110(1)(1)(1)(1)n nn n n n nx x x x x x x x n x n x n x n x ----+=----从而有特征方程3121111ndx dx dx dx ====可以求得它的首次积分 (2,3,,)j i ij x x c j n -==当(;,1,2,,)i j x x i j i j n =≠=，根据行列式的性质4知，行列式0D =，故行列式D 应该含有因式(1)j i x x i j n -≤<≤.又因为0(1,2,,1;1,2,,)0iik k n n D x k n i n D x ⎧∂≠⎪∂⎪=-=⎨∂⎪=⎪∂⎩，这说明行列式D 对于每个参数来说都是最高1n -次的，而且行列式D 含有因式(1)j i x x i j n -≤<≤对于每个参数来说恰好是1n -个.所以行列式1()()j i i j nD cx x c ≤<≤=-∏其中为常数.再根据行列式的每一项的系数可以确定1c =,故行列式1()j i i j nD x x ≤<≤=-∏.例6 用偏微分方程求解行列式1231222221231222221231123111111n nn nn n n n n n n nn n n n n nx x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x ---------=.解 把行列式D 看作关于1x ，2x ，…，n x 的函数，求1x ，2x ，…，n x 的偏导数得12312222212311122222222221231123112311231111111111110000200n nn nn n n n n n n n n n n n n n nn n n n nn n n n n nn nx x x x x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------∂=++++∂12311231222222222212311231322222112311123111111111111(2)00000n n n nn n n nn n n n n n n nnn n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x x x x x x x nx -------------+-123122222123122222222222212311231123112311111111111010000200n nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn nx x x x x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------∂=++++∂123112312222222222123112313222222123111231211111111110(2)0000n nn nn n n nn n n n n n n nnn n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x x x x x x x nx -------------+-……………………12312222212312222222222212311231123112311111111111000010020n nn nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn nx x x x x x x x x x x Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------------∂=++++∂123112312222222222123112313222221231112312111111111100(2)0000n nn nn nn nn n n n n n nn n nn n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x x x x x x x nx -------------+-然后，对1D x ∂∂，2D x ∂∂，…，nD x ∂∂求和得 123122222123112311222222222221231123112311231111111111111111222220n nn nn nnn n n n n n n n n n n n n n nn n n n nn n n n n nn nx x x x x x x x x x x x x x x D D Dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -----------------∂∂∂+++=+++∂∂∂123112312222222222123112313333322222123112311112311231111111111(2)(2)(2)(2)(2)n nn nn nn nn n n n n n n n n n n nn n nn n nn n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x n x n x n x n x x x x x x x x x x x nx nx nx -------------------+-----1111n n n nnx nx ----1231222221231122222123111111123111111000()n nn nj i i j nn n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x nx x x x x x x nx nx nx nx nx --≤<≤------------=++++=-∏从而特征方程为121111()nj ii j ndx dx dx dDnx x ≤<≤====-∏可以求得首次积分 (2,3,,)j i ij x x c j n -==；121211()()n ij n i j niji j nd x x x dD D c x x x c nnc ≤<≤≤<≤+++=⇒-⋅+++=∏∏当(;,1,2,,)i j x x i j i j n =≠=，根据行列式的性质4知，行列式0D =，所以行列式D 应该含有因式(1)j i x x i j n -≤<≤，从而可以求得0c =. 因此，11()nij i i i j nD x x x =≤<≤=-∑∏.对于例5、例6如果我们对列进行求偏导我们很难的出偏微分方程[12]的式子，这也是说利用偏微分方程计算行列式也是有技巧的.以上六个例子是导数（偏导数）在有关行列式问题上的应用.可以看出,通过对含有参数的行列式的求（偏）导,使计算由繁变简,再根据导数性质对不同问题进行分析,达到了解决问题的目的.这说明,(偏)导数是计算含有参数的行列式问题的一种方法.3.3 用积分法求解行列式例7 求n 阶行列式2322212323331231123123n n nn n n n nx x x x x x x Dx x x x nx x x x 的值. 解 把把1x 看作行列式D 的自变量，有1123123222222212312323333333112311231123123123n n n n x x n nnn n n nn n n nnx x x x x x x x x x x x x x x Ddx x x x x dx x x x x nx x x x x x x x 121()nj i i j nx x x x x再对110x Ddx 求关于变量1x 导数1112111[()]x nj i i j ndDdx dDx x x x x dx dx2312131111()[()()()]nji n i j ndx x x x x x x x x x x x dx2311222()(()())nnnnj i j i j i i j nj j k j kx x x x x x x x x x .例8 求1n +阶（设n 为偶数）行列式'222'1111'()12()2()12()3()12()2n n n n f n n f n f n n f n D f n nf n n ++++=+的值. 解 把1n D +看做一个1n +解行列式的积分''0222'222'011111'11'()12()12()()2()12()12()()13()()12()()12()2nnn n n n n n n n f n n f n n f x f x dx f n n f n nf x f x dxD f n f n n f x f x dxnf n n +++++++==+⎰⎰⎰222011112()12()1()()12()n n n n nf x n f x df x f n n f x +++=⎰011[()()(()1)(())]ni j nj i f x f x f x n dx n ≤<≤=-⋅--∏⎰1(1)!()()(()1)(())ni j nn j i f x f x f x n dx ≤<≤=----∏⎰特别地，取()f n n =，这就是参考材料[7]的例4，做变换：2nx t =+，由于n 为偶数， 故2112(1)!()()(1)(1)(1)()222nn n i j nn nnD n j i t t t t t t dx +-≤<≤=--++-+--∏⎰22222212(1)!()(1)(2)[()]02n n i j nnn j i t t t t dt -≤<≤=-----=∏⎰.注：例7、例8是积分在有关行列式问题上的应用.可以看出,通过对一类含有参数的行列式求积分,转化为特殊行列式,再利用导数对结果进行处理,达到了解决问题的目的.4 结论用微分法法计算含参数行列式，把含参数行列式中一个或n 个参数看作自变量，把行列式看作参数的函数，利用行列式的求导法则或者积分法则，求出行列式的导数或原函数或一种递推关系，然后通过不定积分或求导和参数取特殊值求出行列式或者找到递推关系，最终求出行列式的值.微分法可以简化行列式的计算，为我们提供了一种计算行列式的方法.以上是我们给出了用分析法求解行列式的方法包括用常微分方程计算行列式、用偏微分方程计算行列式、用积分法计算行列式，可以看到这些解法独特、新颖，这实际上是用分析方法解决高代问题思想的一次尝试.高阶行列式的计算方法灵活多样，在化简时，必须根据行列式的特点，采用适当的次序和步骤来进行，才能快速、准确的计算行列式的值.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室小组.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.955-74 98-103[2] 李尚志.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2006.5 111-140[3] 徐仲.高等代数考研教案[M].2版.西安：西北工业大学出版社，2009.7 44-86[4] 徐仲.高等代数(北大·第三版)导教·导学·导考[M].2版. 西安：西北工业大学出版社,2006.9 83-130[5] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].修订版.北京：中央民族大学出版社，2009.10 24-31[6] 张润玲.n阶行列式的微分法[J].雁北师范学院学报，2003.4 46-47[7] 齐成辉.求解行列式的方法和技巧[J].陕西师范大学学报(自然科学版)，2003年31卷 26-29[8] 刘秀丽、张长耀.导数在计算行列式中的应用[J].高等函授学报(自然科学版)，2009.12，第22卷第6期 20-22[9] 龚秀芳.高阶行列式求解方法的探讨[J].菏泽学院学报，2005.10，第27卷第5期 73-76[10] 华东师范大学数学系.数学分析(上、下册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001[11] 陈纪修.数学分析（上、下册）[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.5 119-163 241-269[12] 王高雄等.常微分方程[M].2版(修订).北京：高等教育出版社，2007重印 18-50 304-323致谢在学习高等代数过程中，行列式是不仅是高等代数的重要内容之一，而且在许多数学分支及其它学科中有着广泛的应用.求解行列式占有极其重要的地位，它是讨论线性方程组理论的有力工具，非常感谢老师在选题修改过程中给予的无私帮助，老师对于工作及科研方面的严谨求实的态度感染了我，使我终生受益，我在此表忠心的感谢，也感谢老师指导了三次数学建模比赛让我受益匪浅，让我知道了学无止境.同时我也感谢系领导与各位老师四年来对我的教育与培养没有你们的教导，就不可能有我的今天.感谢答辩委员会各位老师的精辟点评，让我在马上毕业之际顺利的完成毕业论文.感谢在论文书写过程中给予我支持的父母、老师、朋友，也非常感谢母校让我在大学四年过程中一步步走向独立，我相信这两年半大学生活将是我最宝贵的财富.。

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵是指对于一个m阶常系数矩阵微分方程组x′(x)=xx(x)，其中x(x)为x的函数，x为常数矩阵，基解矩阵是一组线性无关的解所构成的矩阵。

计算常数矩阵微分方程基解矩阵的方法主要有以下几种：常数变易法、指数矩阵法、特征值法。

一、常数变易法
使用常数变易法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.假设基解矩阵为x(x)，则存在常数矩阵x，使得
x(x)=xx^xx。

2.对基解矩阵进行求导，并代入微分方程，得到
xxx(x)(x)=xx(x)，其中x(x)(x)表示第n阶导数。

3.解出x(x)(x)，得到x的表达式。

4.代入x=0时的初始条件，求解得到x的具体值。

5.将x代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。

二、指数矩阵法
使用指数矩阵法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。

2.将特征值分别代入指数函数的表达式中，得到特征向量的指数函数形式。

3.将特征向量的指数函数形式构成的矩阵x和其逆矩阵x^(-1)代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。

三、特征值法
使用特征值法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。

2.将特征向量的形式代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。

在实际计算中，选择哪种方法取决于方程的形式、矩阵的性质和计算的复杂程度。

以上三种方法均可得到常数矩阵微分方程的基解矩阵，计算方法相对较为简单，但对于高阶矩阵微分方程，计算工作量可能较大，需要根据具体情况选择合适的方法。

微分方程组的解法一、微分方程组的概念微分方程组是由多个未知函数及其导数构成的方程组，通常用向量形式表示。

微分方程组在物理、工程、经济等领域中有广泛应用。

二、线性微分方程组线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数都是常数的微分方程组。

它可以用矩阵和向量表示，具有良好的解法。

三、非线性微分方程组非线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数不是常数的微分方程组。

它通常没有通解，只能通过近似或数值方法求解。

四、初值问题与边值问题初值问题是指给定一些初始条件，在某个点处求解微分方程组的解。

边值问题是指在一段区间内给定一些边界条件，在这段区间内求解微分方程组的解。

五、常系数齐次线性微分方程组的解法1. 特征根法：先求出特征多项式和特征根，然后根据特征根和初始条件求出通解。

2. 矩阵指数法：将齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解。

六、常系数非齐次线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将非齐次线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到非齐次线性微分方程组的通解。

2. 矩阵指数法：将非齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解和特解。

七、变系数线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将变系数线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到变系数线性微分方程组的通解。

2. 变量分离法：将变量分离后利用积分求出一般积分式，然后根据初始条件求出常量，并代入一般积分式中得到特解和通解。

八、非线性微分方程组的近似方法1. 线性化方法：将非线性微分方程组在某个点处进行线性化，然后求解线性微分方程组的解，再将解转化为非线性微分方程组的近似解。

2. 数值方法：利用数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等求解微分方程组的近似解。

九、总结微分方程组是一类重要的数学问题，在实际应用中有广泛应用。

求常系数线性微分方程解的矩阵方法赵晓苏;钱椿林【摘要】考虑求常系数线性微分方程解的矩阵方法。

首先，将常系数线性微分方程化为一阶线性微分方程组，且用矩阵表示；然后，求其矩阵的特征值和特征向量，把矩阵对角化或化简；最后，利用矩阵乘法求得常系数线性微分方程的通解或特解。

其计算方法简单、方便，在实际中很有用。

%The paper addresses matrix method for the linear differential equation with constant coefficients. First of all,the system of the first order linear differential is the linear differential equation with constant coefficients transformed into the first order linear differential group,and presented by matrix,and then eigenvalue and eigenvector of the matrix,is obtained while the matrix is transformed into simplified matrix. Finally,the solution of the linear differential equation is achieved using the matrix multiplication. It is found that this method provides an easier and more useful solution to the linear differential equation with constant coefficients.【期刊名称】《苏州市职业大学学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】6页(P44-49)【关键词】常系数线性微分方程;矩阵;特征值;特征向量;通解;特解【作者】赵晓苏;钱椿林【作者单位】苏州市职业大学数理部，江苏苏州 215104;苏州市职业大学数理部，江苏苏州 215104【正文语种】中文【中图分类】O151.26在科学研究和生产实践中往往会碰到某些量之间存在着某种微分关系，其数学表达式为微分方程，例如式中：f(x)为已知函数；pi(i=0，1，2，…，n-1)为已知常数；y=y(x)为未知函数.称式(1)为n阶常系数线性微分方程.如果f(x)≠0，称式(1)为n阶非齐次常系数线性微分方程；如果f(x)=0，称式(1) 为n阶齐次常系数线性微分方程，即对于n阶非齐次常系数线性微分方程(1)的求解，通常的做法是：讨论非齐次项f(x)的各种类型，利用待定系数法求得一个特解[2-5].对于非齐次项f(x)是一般的情形，用待定系数法显得无能为力.对于一般的非齐次项f(x)，利用矩阵方法[1]，可以求得其微分方程的一个特解或通解.其计算方法简单、方便，在实际中很有用.本文主要讨论二阶常系数线性微分方程求解的矩阵方法，其方法可以在求任意阶常系数线性微分方程的解中使用.1) 指数矩阵的定义.设A为n阶方阵，则，其中E为单位矩阵.2) 指数矩阵具有如下性质：(a)对于任意成立.(b)可逆，且(c) 设P为n阶可逆方阵，若求常系数线性微分方程解的矩阵方法的具体步骤如下：第1步，将常系数线性微分方程(1)化为一阶线性微分方程组，且用矩阵表示.式中y=y1.令，且矩阵则式(3)可记作第2步，求A的n个特征值和特征向量.作线性变换Y=PU，其中，P是由A的n 个线性无关特征向量组成的n阶可逆方阵，代入式(4)，且设D=P-1AP，得当n=2时，D可以是下列两种简单情形：当λ1≠λ2时第3步求得一阶线性微分方程组(5)的特解或通解为第4步利用矩阵乘法和式(6)求Y(=PU)，取Y的第1行第1列的元素，得到y=y1.通过具体例子说明用矩阵方法求解常系数线性微分方程的详细计算过程，主要讨论二阶常系数线性微分方程的解的情况.例1 求微分方程的一个通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求式(7)中A的2个特征值和特征向量，，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(8)的通解为第4步，利用矩阵乘法和式(9)得到取Y的第1行第1列的元素，得到通解为例2 求微分方程y′ + y =sec3x的通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(10)中A的2个特征值和特征向量，，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(11)的通解为第4步，利用矩阵乘法和式(12)有取Y的第1行第1列的元素，得到通解为例3 求微分方程的一个特解.解将微分方程化为复数的形式，即只要考虑微分方程(13)的一个特解的虚部即可第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(14)中A的2个特征值和特征向量作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(15)的特解为第4步，利用矩阵乘法和式(16)得取Y的第1行第1列的元素，得到特解为取其解的虚部，得到一个特解为例4 求微分方程的通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(17)中A的2个特征值和特征向量，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(18)的通解为第4步，利用矩阵乘法和式(19)有取Y的第1行第1列的元素，得到通解为例5 求微分方程的通解.解第1步，将微分方程化为一阶线性微分方程组，即式中第2步，求出式(20)中A的3个特征值和特征向量，作线性变换Y=PU，其中，得第3步，求得一阶线性微分方程组(21)的特解为第4步，利用矩阵乘法和式(22)，得取Y的第1行第1列的元素，得到一个特解为所以通解为从上面5个例子可以看到，例1、例3和例5是常见非齐次项的微分方程的两种类型，如果利用待定系数法求解，计算量比较大，例2和例4不是常见非齐次项的微分方程的类型，利用待定系数法无法求解，利用矩阵方法计算比较方便.矩阵方法对于一般的非齐次项的常系数线性微分方程都能得到求解，同时给出了一般的非齐次项的常系数线性微分方程求通解的一个公式，即公式(6)，因此在实际中很有用.【相关文献】[1] 钱椿林. 线性代数[M]. 3版.北京：高等教育出版社，2010.[2] 钱椿林. 高等数学[M]. 3版.北京：电子工业出版社，2010.[3] 同济大学应用数学系. 高等数学[M]. 5版.北京：高等教育出版社，2004.[4] 《现代应用数学手册》编委会. 现代应用分析卷[M]. 北京：清华大学出版社，1998.[5] 《数学手册》编写组. 数学手册[M]. 北京：高等教育出版社，1984.。

摘要在常微分方程中，介绍了解常系数线性微分方程组的消元法，它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法，适用于知函数较少的小型微分方程组。

对于未知函数较多时，用消元法则会非常不便，为此应寻求更为有效的方法。

在掌握线性代数的知识后，用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便。

关键词：基解矩阵特征方程特征值特征向量AbstractIn the ordinary differential equation, introduced that understood often the coefficient linear simultaneous differential equation's elimination, it is the solution often the coefficient linear simultaneous differential equation's most primary method, is suitable in knows the function few small simultaneous differential equation. Are many when regarding the unknown function, will be inconvenient with the elimination, for this reason should seek a more effective method. After grasping the linear algebra the knowledge, the coefficient linearity homogeneous simultaneous differential equation is often more convenient with the matrix technique solution.Keywords: basic solution of matrix characteristic equation eigenvalue Characteristic vector第一章：矩阵指数A引言已知常系数线性微分方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n xa x a x a dtdx x a x a x a dtdx x a x a x a dt dx (22112222121212121111)（1） 的求解方法，通常可以用消元法将方程组化为一元的高阶微分方程：0 (111)111=+++--x b dtx d b dt x d n n n nn 来求解。

涨知识⼁OLS原理的矩阵⽅法很难？JustSoSo对计量经济学初学者⽽⾔，OLS原理的矩阵表⽰通常令⼈“发怵”。

其原因主要在于，⾄少在财经类课程体系中，关于矩阵微分的先⾏课程是缺失的。

鉴于计量经济学的进阶课程⼤多采⽤矩阵语⾔，笔者认为有必要专⽂论述如何“搞掂”关于OLS原理的矩阵⽅法，以降低后续学习的门槛。

⼀、从OLS的基本原理谈起对于多元回归模型（1）：OLS原理就是，选择参数估计值以使得残差平⽅和最⼩，即：若定义⽬标函数为Q，则由上述最优化问题的⼀阶条件可形成⼀个包括k+1个正规⽅程的⽅程组。

求解上述正规⽅程组（3），即获得各个参数的OLS估计量。

现在若我们引⼊向量与矩阵定义：则多元回归模型（1）可表⽰为：最优化问题（2）可表⽰为：正规⽅程组（3）可表⽰为：⼆、矩阵微分规则的引出与应⽤我们考察式（6）。

在这⾥，与0是k+1维列向量。

⽤式（6）来描述正规⽅程组（3），看似⼗分平凡，但其实隐含了⼀个关于矩阵微分的⼀般规则：⼀个标量对⼀个m维列向量求导，等价于该标量对这个m维列向量中的每⼀个元素求导，其求导结果是⼀个m维列向量。

这是⼀个简单⽽重要的规则，接下来我们将反复利⽤此规则。

最优化问题（5）的⽬标函数Q可进⼀步展开成：由于标量Q只可能被分解成标量，式（7）中最后⼀个等号右边的四项均为标量，并且有：根据式（8），我们需依次解决四个问题：（⼀）标量，其不是中任何元素的函数。

因此，有：从形式上看，式（9）与我们在《微积分》课程中所熟悉的微分规则是⼀致的，其中为常数，为变量。

这⾥的0是标量，⽽式（9）中的0是k+1维列向量。

（⼆）由于为标量，⽽为k+1维列向量，我们可迅速判断为k+1维⾏向量。

若定义：，则。

显然有：从形式上看，式（10）与我们在《微积分》课程中所熟悉的微分规则是⼀致的。

关键的差别在于，在式（10）中，不能同那样，被直接置于等号右边——为了满⾜矩阵微分规则，我们还需对其进⾏转置处理，以使其变为⼀个列向量。

矩阵微分方程的解法引言矩阵微分方程是数学中的一个重要分支，它研究了矩阵的导数和微分方程之间的关系。

在许多领域，如物理学、工程学和经济学等，矩阵微分方程都扮演着重要的角色。

本文将探讨矩阵微分方程的解法，包括常微分方程和偏微分方程两种情况。

常微分方程的解法一阶常微分方程对于形如dydx=f(x,y)的一阶常微分方程，可以通过分离变量的方法求得解。

将方程变形为dy=f(x,y)dx，然后将变量分离得到dyf(x,y)=dx。

对两边同时积分，得到∫dyf(x,y)=∫dx+C，其中C为常数。

最后求解出y和x之间的关系。

二阶常微分方程对于形如d 2ydx2+p(x)dydx+q(x)y=g(x)的二阶常微分方程，可以通过特征根法或变化参数法求解。

特征根法假设方程的通解为y=y1(x)+y2(x)，其中y1(x)是对应于齐次方程d2ydx2+p(x)dydx+q(x)y=0的通解，y2(x)是一个特解。

通过特征根法可以求得齐次方程的通解y1(x)。

然后根据特解的形式，代入原方程得到特解y2(x)。

最后将齐次方程的通解和特解相加，即可得到原方程的通解。

变化参数法假设方程的一个特解为y=y1(x)，其中y1(x)是对应于齐次方程d2ydx2+p(x)dydx+q(x)y=0的通解。

通过变化参数法，可以求得齐次方程的通解y1(x)。

然后令y=u (x )y 1(x )，将u (x )看作是x 的函数，代入原方程并化简得到du dx =−g (x )y 1(x )W(y 1(x ))，其中W(y 1(x ))是y 1(x )的朗斯基行列式。

最后求解出u (x )，再将u (x )代入y =u (x )y 1(x )，即可得到原方程的特解。

偏微分方程的解法偏微分方程在数学的多个领域中都有广泛应用，包括物理、工程和经济学等。

下面介绍两种常见的偏微分方程的解法。

热传导方程的解法热传导方程是描述物体在热平衡状态下的热传导过程的方程。