线性代数第二节逆矩阵及其运算一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵线性代数（或称的逆）；其中为的倒数，a 11a a -=a ,111aa a a --==在数的运算中，对于数，有是否存在一个矩阵,.11AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A ，1A -使得一、逆矩阵的概念和性质0a ≠线性代数对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。
,AB BA E ==例1设,01011010A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。
定义1（可逆矩阵）线性代数例1 设,2110A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭解设是A 的逆矩阵,a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭则2110a b AB c d ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1001⎛⎫= ⎪⎝⎭221001a c b d ab ++⎛⎫⎛⎫⇒= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求A 的逆矩阵线性代数,,,,212001a c b d a b +=⎧⎪+=⎪⇒⎨-=⎪⎪-=⎩,,,.0112a b c d =⎧⎪=-⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-01120112-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛-0112=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭,1001⎛⎫= ⎪⎝⎭所以.10112A --⎛⎫= ⎪⎝⎭A BA B (待定系数法)线性代数注：不是每个非零矩阵都有逆矩阵。
0102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭例如11AA A A E --==不论一个怎样的矩阵的第一列全都是零。
因此，不可能有一个矩阵, 使,B 1A -BA线性代数定理1若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是惟一的.,,AB BA E AC CA E ====又B EB =()CA B =()C AB =.CE C ==所以A 的逆矩阵是惟一的,即B C=证明:设B 和C 是A 的逆矩阵，则有以后，把A 的逆矩阵记为。
矩阵求逆方法大全矩阵的逆在线性代数中是一个非常重要且常用的概念。
逆矩阵存在的前提是矩阵必须是方阵且可逆。
逆矩阵的定义可以简单地表述为：对于一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵，记作A^-1下面将介绍几种求解矩阵逆的方法。
1.初等变换法：初等变换法是一种最常用的求解矩阵逆的方法。
基本思想是通过一系列初等行变换将原矩阵A转化为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的初等变换，得到A的逆矩阵。
具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)通过初等行变换将增广矩阵[A，I]变换为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
这种方法比较直观，但计算量较大，特别是对于大型矩阵很不方便。
2.列主元消去法：列主元消去法是一种改进的初等变换法，其目的是选取主元的位置，使得计算量减少。
具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)选取增广矩阵中当前列中绝对值最大的元素作为主元，通过交换行使主元出现在当前处理行的位置；(3)用主元所在行将其他行消元，使得主元所在列的其他元素都为0；(4)重复以上步骤，直到增广矩阵[A，I]经过一系列的行变换变为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
列主元消去法相对于初等变换法来说，计算量会更小，但仍然对于大型矩阵的操作不够高效。
3.公式法：对于一个二阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式求得：A^-1 = (1/，A，) * adj(A)，其中，A，为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
对于更高阶的矩阵，也可以通过类似的公式求解，但行列式和伴随矩阵的计算相对较为复杂，不太适用于实际操作。
4.LU分解法：LU分解也是一种常用的矩阵求解方法，其将原矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
逆矩阵的计算可以通过LU分解来完成。
具体步骤为：(1)对原矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U；(2)分别求解方程LY=I和UX=Y，其中Y为未知矩阵；(3)得到Y后，再将方程UX=Y带入，求解方程UX=I，得到逆矩阵X。
