强化卷10(4月)-冲刺2020高考数学(理)之拿高分题目强化卷(新课标版)(原卷版)

2020年高考金榜冲刺卷（一）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+B ．1i -C ．1i +D ．i 1--2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}23．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．344．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11443,24a b a b ==-==，则22a b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．-4 D ．45．如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A ．计算012(12)(22)(32)++++++L (12)nn +++的值B ．计算123(12)(22)(32)++++++L (2)nn ++的值C ．计算(123+++L )n +012(222++++L 12)n -+的值D ．计算[123+++L (1)]n +-012(222++++L 2)n+的值6．已知ABC V 是边长为()20a a >的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -7．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则( )A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为48．已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[0,)+∞上是增函数.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为 ）A ．①②B ．①③C ．①②④D ．①③④10．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若>n m ，则n m S S -的最大值是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2011．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点A 在椭圆上，且160AOF ∠=︒，'A 与A 关于原点O 对称，且22·'0F A F A =u u u u v u u u u v，则椭圆离心率为（ ）A 1B C D ．4-12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞- B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为k 的值为__________.14．若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．15．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 的A 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，则从现在起经过 小时该码头将受到热带风暴影响.16．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为4时，其外接球的表面积为____________. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知ABC ∆内接于单位圆，且()()1tan 1tan 2A B ++=， （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =2PA =，E 是PC 上的一点，2PE EC =．（1）证明PC ⊥平面BED ；（2）设二面角A PB C --为90︒，求PD 与平面PBC 所成角的大小.19．（12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．20．（12分）有人收集了10年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据：且已知101380.0ii x==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市该城市居民收入与该种商品的销售额之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+， ①求第10年的销售额10y ；②如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）附：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay b x xnx ==-==--∑∑. （2）1022110254.0ii xx =-=∑，91125875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑.21．（12分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（1）求()f x 的单调区间；（2）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭…；（3）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈， 证明:20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.（1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；（2）求AB 最大值和最小值.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈. （1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.。

2020年高考数学（理科）模拟冲刺卷（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】计算得集合{|13}M x x =≤≤，{|2}N x x =≥，{|1}M N x x =≥U ，故选B ．2．【答案】A【解析】由题意可得21i 1i 1111i (1i)2i 2i 222z --===-=--+，则11i 22z =-+， 据此可得，z 的虚部为12． 3．【答案】A【解析】化简函数得π()1cos sin )14f x x x x =++=++，所以函数()f x的最大值为1．4．【答案】C【解析】从整体上看，这个月AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好，故A ，B 不正确；从AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定， 因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C 正确； 从AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据， 因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确． 5．【答案】C【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，依题意可得241112111913a q a q a a a q a q ⎧=⎪⎨⎪++=⎩，解得3q =，11a =，所以4451381a a q ===，故选C ．6．【答案】A【解析】)(x f 是偶函数，在),0[+∞上单调递增， ∴)31(log )3log ()3(log 2.02.02.0f f f b =-==， ∵15502.0=>，0.20.210log log 0.213<<=，∴0.20.210log 153<<<， ∴0.20.21(log )(1)(5)3f f f <<，∴a c b <<，故选A ． 7．【答案】D【解析】由题意A =又2[6(2)]16T =⨯--=，∴2π2π1π68T ω===，∴62π8πk ϕ⨯+=，k ∈Z ，∵πϕ<，∴3π4ϕ=-，∴3()sin(π4π)8f x x =-，故选D ．8．【答案】D【解析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱111ABC A B C -切掉一个三棱锥111C A B D -，如下图所示：则D 为1AA 中点，1111444322ABC A B C V -∴=⨯⨯⨯=，1111116424323C A BD V -=⨯⨯⨯⨯=，∴所求几何体体积11111116803233ABC A B C C A B D V V V --=-=-=，故选D ． 9．【答案】B【解析】()sin cos f x x x x '=+，可得()f x '是奇函数，排除C ，当πx =时，()0f x '<，排除A ，D ． 10．【答案】A【解析】设22()()'()2()'()[2()()]0()g x x f x g x xf x x f x x f x xf x g x =⇒=+=+>⇒' 在[0,)+∞上是增函数，易得()g x 是偶函数4(2)(2)(2)(3)9(3)f g g g f ⇒-=-=<=，故选A ． 11．【答案】C【解析】设双曲线的一条渐近线方程为0bx ay +=， 则圆心(3,0)-到该直线的距离3bd c==，由题意得3=，化简得2234b c =，即22222314c a a c c -=-=， 所以2214a c =，即2c e a ==．12．【答案】D【解析】∵偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，∴(4)(4)(4)f x f x f x +=-=-， ∴()f x 的周期为8且()f x 的图象关于直线4x =对称，∵[200,200]-上含有50个周期，且()f x 在每个周期内都是轴对称图形， ∴当关于x 的不等式2()()0f x af x +>在(0,4]上有3个整数解，当(0,4]x ∈时，21ln 2()xf x x-'=， 由()0f x '>，得02e x <<；由()0f x '<，得42ex <<， ∴当函数()f x 在(0,)2e 上单调递增，在(,4)2e上单调递减，∵(1)ln 2f =，ln83(2)(3)(4)ln 2044f f f >>==>， ∴当(1,2,3,4)x k k ==时，()0f x >，∴当0a ≥时，2()()0f x af x +>在(0,4]上有4个整数解，不符合题意；∴0a <，由2()()0f x af x +>，可得()0f x <或()f x a >-，显然()0f x <在(0,4]上无整数解，故而()f x a >-在(0,4]上有3个整数解，分别为1，2，3， 所以3(4)ln 24a f -≥=，ln 6(3)3a f -<=，(1)ln 2a f -<=， 所以ln 63ln 234a -<≤-，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】2【解析】(1,2)(4,2)(4,22)m m m m =+=+=++c a b ，c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴||||||||⋅⋅=a c b ca cbc ，∴=，∴2m =．14．【答案】【解析】直线0:l y abx =-平移到点(4,4)时目标函数取最大值，即4412ab +=， 所以2ab =，满足题意，由a b +≥=a b ==a b +的最小值为15．【答案】1【解析】设焦点为(1,0)F ，则11d PF =-，那么12d d +的最小值为11=，故答案为1．16．【答案】[2π,4π]【解析】如图，设BDC △的中心为1O ，球O 的半径为R ， 连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，则123sin 603O D =︒⨯=13AO ==， 在1OO D Rt △中，223(3)R R =+-，解得2R =， ∵3BD BE =，∴2DE =，在1DEO △中，11O E ==，∴OE ==过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为=2π；当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π， 故答案为[2π,4π]．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）4b =；（2）证明见解析． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知可得111722a a d =⎧⎨+=⎩，解得3d =，4b =．（2）由24n na a +=，得数列{}n a 的奇数项和偶数项依次均构成等比数列， 由已知101021S a =-，得55441(41)24133b b --+=⋅-，解得2b =，∴1(21)12142n n n a ----==，1212242n n n a --=⋅=，∴12n n a -=，即{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列．18．【答案】（1）①分布列见解析，平均得分为16；②316；（2）是合理的． 【解析】（1）①根据上面的测试结果统计表，得X 的分布列为：所以X 的数学期望()10.120.230.240.450.1 3.2E X =⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以估计这12名职工的平均得分为5() 3.2516E X =⨯=． ②“得分不小于20分”即“4X ≥”，由①知(4)(4)(5)0.40.10.5P X P P X ≥==+==+=，设该科室5名职工中得分不小于20分的人数为ξ，则(5,0.5)B ξ:， 所以4455551113(4)(4)(5)()()22216P P P C C ξξξ≥==+==⨯+=， 即这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率为316． （2）由题意知222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]0.0120.055S =-+-+-+-+-=<，所以该次测试的难度预估是合理的．19．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）证明：取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ， 因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，所以AD =AB BD =， 因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥．在APD △中，90APD ∠=︒，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==．设2AD PB a ==，则OB =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OP OB ⊥．在APD △中，90APD ∠=︒，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 在BOP △和BOA △中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =，所以BOP BOA ≅△△，所以90BOP BOA ∠=∠=︒，所以OP OB ⊥． 因为OP AD O =I ，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以OB ⊥平面PAD ．因为OB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B =I ，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，所以AD ⊥平面POB ．所以PO AD ⊥．由（1）得PO OB ⊥，AD OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直， 以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2AD =，则()1,0,0A ，()1,0,0D -，()B ，()0,0,1P ，所以()1,0,1PD =--u u u r，()1PB =-u u u r ，()2,0,0BC AD ==-u u u r u u u r，设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =n ，则11110PD P x B z z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u ru u u r n n ，令11y =，则1x =1z =所以(=n ；设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =m ，则22220BC x PB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r u u u r m m ，令21y =，则20x =，2z =所以(=m ，设二面角D PB C --为θ，由于θ为锐角，所以cos cos ,θ===m n ， 所以二面角D PB C --的余弦值为7．20．【答案】（1）22143x y +=；（2）当2F PQ △的面积最大时，23F PQ S =△，得内切圆半径34r =． 【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，点M 在直线32y x =上，且点M在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2(,0)F c ，则点3(,)2c M c ， ∵1233(2,)(0,)2294c c MF MF c ⋅=--⋅-=u u u u r u u u u r ，即29944c =，∴1c =，所以3(1,)2M ，又222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆方程为22143x y +=．（2）由（1）知()11,0F -，设直线l 方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，则221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2243690k y ky +--=，∴122122634934k y y k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， ∴221211212121211||(||||)22F PQ F PF F QF S S S F F y y F F y y =+=+=⋅⋅-△△△21234k =⨯==+，令t =，则1t ≥，∴21213F PQ S t t=+△， 令()13f t t t=+，()213f t t '=-， 当[1,)t ∈+∞时，()0f t '>，()13f t t t=+在[1,)+∞上单调递增，∴212313F PQ S t t=≤+△，当1t =时取等号，即当0k =时，2F PQ △的面积最大值为3．过点()11,0F -的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，则2F PQ △的周长为48a =． 又2142F PQ S a r =⋅⋅△（r 为三角形内切圆半径）， ∴当2F PQ △的面积最大时，21432F PQ S a r =⋅⋅=△，得内切圆半径34r =．21．【答案】（1）()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无减区间；（2）证明见解析． 【解析】（1）由2()xf x e ax =-，得()2xf x e ax '=-，因为曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线(2)0x e y +-=垂直，所以(1)22f e a e '=-=-，所以1a =，即2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-． 令()2xg x e x =-，则()2xg x e '=-．所以(,ln 2)x ∈-∞时，0()g x '<，()g x 单调递减；(ln 2,)x ∈+∞时，0()g x '>，()g x 单调递增，所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->，所以()0f x '>，()f x 单调递增，即()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无减区间．（2）由（1）知2()x f x e x =-，(1)1f e =-，所以()y f x =在1x =处的切线为(1)(2)(1)y e e x --=--，即(2)1y e x =-+， 令2()(2)1xh x e x e x =----，则()2(2)2(1)xxh x e x e e e x '=---=---， 且(1)0h '=，(1)2xh e ''=-，(,ln 2)x ∈-∞时，()0h x ''<，()h x '单调递减；(ln 2,)x ∈+∞时，()0h x ''>，()h x '单调递增，因为(1)0h '=，所以min ()(ln 2)42ln 20h x h e ''==--<， 因为(0)30h e '=->，所以存在0(0,1)x ∈，使0(0,)x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；0(,1)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．又(0)(1)0h h ==，所以0x >时，()0h x ≥，即2(2)10xe x e x ----≥， 所以2(2)1xe e x x ---≥． 令()ln x x x ϕ=-，则11()1x x x xϕ-'=-=， 所以(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，所以()(1)1x ϕϕ≤=-，即ln 1x x +≤，因为0x >，所以2(ln 1)x x x +≤，所以0x >时，(2)1(ln 1)xe e x x x ---≥+， 即0x >时，1(ln 1)xe ex x x --≥-．22．【答案】（1）1:20C x y +-=，22:8C x y =；（2）【解析】（1）1C 的极坐标方程可化为sin cos 22ρθρθ+=金太阳教学平台因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，故1C 的直角坐标方程为20x y +-=， 消参可得2C 的普通方程为28x y =．（2）2C 的焦点坐标为(0,2)，1C 为过(0,2)的直线， 联立2820x y x y ⎧=⎨+-=⎩，得21240y y -+=， 所以12||12416AB y y p =++=+=，点O 到直线AB的距离d =1162AOB S =⨯=△ 23．【答案】（1）13(,)22-；（2）证明见解析． 【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩， 故当1x ≤-或者2x ≥不成立， 当12x -<<时，|21|2x -<，解得1322x -<<， 故|()|2f x <的解集为13(,)22-．（2）由（1）知()[3,3]f x ∈-，故max ()3f x m ==，所以233a b c ++=，(,,0)a b c >， 111111112332(23)()[3()()()]2332332323b a a c c b a b c a b c a b c a b c a b c ++=++++=++++++ 3≥，当且仅当23a b c ==时，即1a =，12b =，13c =时，等号成立， 所以111323a b c++≥．。

1 / 4冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷第一期【新课标版】专题05 3月一模精选压轴卷（第5卷）题号 123答案填空题4. 5.1.ABC V 为等腰直角三角形，90C ∠=︒，1CA CB ==，CD 为斜边AB 上的高，D 是垂足，P 为线段CD 的中点，则AP CP ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．-1B ．12-C ．14-D ．18-2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且23b c a b +=+，56a c ab +=+，则此三角形最大内角的余弦值为( ) A ．3 B ．12-C ．2D ．03.已知函数()32ln =-++-f x x x x a 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a <B ．1a ≤C ．0a >D ．1a >4.在数列{}n a 中，13a =，且()()12(1)22n n n a n a n +-=++- （1）{}n a 的通项公式为________；（2）在1a ，2a ，3a ，L ，2019a 这2019项中，被10除余2的项数为________.5.过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点（A 在,M B 之间），F 是C 的焦点，点N 满足6NF AF =u u u r u u u r，则ABF V 与AMN V 的面积之和的最小值是______.6.如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE P12AC ，AD=BD=1. (1)求AB 的长；(2)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.2/ 43 / 47.已知函数31()sin cos 6f x x x x x =--，'()f x 为()f x 的导数． （1）证明：'()f x 在区间(0,)2π上不存在零点；（2）若31()cos 16f x kx x x x >---对(0,)2x π∈恒成立，求实数k 的取值范围．4 / 48.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3P 为椭圆上一点，且P 到两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(3,0)A 的直线交椭圆C 于点M ，N ，且满足3(OM ON OP O +=u u u u r u u u ru u u r为坐标原点），求线段MN 的长度．。

专题10 3月一模精选（第10卷）1．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->【答案】C【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +…，即1a -…时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．2．（多选）已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 的横坐标为203 B ．12PF F ∆的周长为803C ．12F PF ∠小于3π D ．12PF F ∆的内切圆半径为34【答案】ABC【解析】设12F PF ∆的内心为I ，连接22IP IF IF 、、，双曲线E ：221169x y -=中的4a =，3b =，5c =， 不妨设()P m n ，，0m >，0n >，由12PF F ∆的面积为20，可得1215202F F n cn n ===，即4n =， 由2161169m -=，可得203m =，故A 符合题意； 由2043P ⎛⎫⎪⎝⎭，，且()150F -，，()250F ，， 可得11235PF k =，2125PF k =，则(121212360535tan 012123191535F PF -==∈⨯+⨯，则123F PF π<∠，故C 符合题意；由12371350333PF PF +==+=，则12PF F ∆的周长为50801033+=，故B 符合题意；设12PF F ∆的内切圆半径为r ，可得()12121211422r PF PF F F F F ++=⋅⋅， 可得80403r =，解得32r =，故D 不符合题意． 故选：ABC ．3. （多选）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（ ）A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 【答案】BCD【解析】（1）当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()f x f x =--()1xex -=--+()1x e x -=-，A 错；∴ ()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩， （2）当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点1,0,1-，B 对；（3）当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对； （4）当0x <时，由()()1xf x e x =+得()()'2x f x e x =+，由()()'20xf x ex =+<得2x <-，由()()'20x f x e x =+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增， ∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()1xf x ex =+()0011e <⋅+=，又∵ 当0x <时，()()10xf x ex =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e -⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()221,,1e e --⎤⎡-⋃-⎦⎣()1,1=-， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对； 故选：BCD ．4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =3，o 60BAD ∠=，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2,2CE EB CF FD ==u u u r u u u r u u u r u u u r，若线段EF 上存在一点M ，使得56AM xAB AD =+u u u u r u u u r u u u r ()x ∈R ，则x =____________，AM BD ⋅=u u u u r u u u r____________．（本题第1空2分，第2空3分）【答案】13,22【解析】根据题意，设EM EF λ=u u u u r u u u r，则1133AM AB BE EM AB AD EF AB AD λ=++=++=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22125()(1)()33336AD AB AB AD xAB AD λλλ-=-++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以213125336x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1234x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1526AM AB AD =+u u u u r u u u r u u u r ，从而有22151151()()3263263AM BD AB AD AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-⋅-+=-⨯u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1533cos6099262⨯⨯︒-⨯+⨯=.5. 在三棱锥A BCD -中，底面为Rt ∆，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________． 【答案】43【解析】如图所示，由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则4AB =， 设AD x =，则BD ， 又BD 变式上的高1CH =，当CH ⊥平面ABD 时，棱锥A BCD -的体积最大，此时1132V x =⨯⋅= 当28x =时，体积V 最大，此时最大值为43.6 ．已知函数()()2xf x x e =-，其中e 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若1,12x ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭都有()ln x x a f x -+>，求证：4a >-. 【解析】（1）∵()()2xf x x e =-，∴()()'1xf x x e =-， ∴当(),1x ∈-∞时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ∴()()min 1f x f e ==-.（2）证明：∵1,12x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，都有()ln x x a f x -+>，∴()ln a f x x x >-+即()2ln xa x e x x >--+，设()()2ln xg x x e x x =--+，1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴()()()11'111xxx g x x e x e x x -=--+=--()()1111x x xe x e x x x -⎛⎫=--=-⋅ ⎪⎝⎭，令()1xh x xe =-，1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴()()'10x h x x e =+>，∴()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∵()110h e =->，1102h ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00010x h x x e =-=， ∴当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 当()0,1x x ∈时，()'0g x <，函数()g x 单调递减，∴()()()00000max 2ln xg g x x x x e x ==--+()0000000122ln 1ln x x x x x x x =--+=--+， ∵0010xx e -=，001x x e=，∴00ln 0x x +=即00ln x x =-，∴()0max 0212g x x x =--， 令()212x x x φ=--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∵()()222222122220'x x x x xx φ--+-==->=， ∴()x φ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴()142x φφ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，∵()()0max a g x x φ>=，()04x φ-<， ∴4a >-.7. 已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若点P 满足3OP PM =u u u v u u u u v，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求||||NP PQ 的值. 【解析】（1）因为直线AB 的斜率为1，且OB AB ⊥， 所以ABO ∆是以AO 为斜边的等腰直角三角形，从而有,22a a B ⎛⎫-⎪⎝⎭， 代人椭圆C 的方程，得21144a +=，解得23a =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）由（1）得)F，所以直线MN 的方程为y x =设点()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，将y x =-2213x y +=，得2430x -+=，所以12x x +=，1234x x =，所以(121214y y x x==-. 因为3OP PM =u u u r u u u u r ，所以34OP OM =u u u r u u u u r ，所以1133,44P x y ⎛⎫⎪⎝⎭.设||||NP m PQ =，则NP mPQ =u u u r u u u r ，121231313333,,4444x x y y m x x y y ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3123123(1)1,43(1)1.4m x x x m mm y y y m m +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以223313x y +=，所以()()22121231*********m m x x y y m m m m ++⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得，()()2222211*********913111111163323m m x y x y x x y y m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由上得1212103x x y y +=，且可知221113x y +=，222213x y +=，所以()222911116m m m ++=，整理得2718250m m --=， 解得257m =或1m =-（舍去），即||25||7NP PQ =.。