19图形的旋转

图形的旋转
12济南26．如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于点O．
（1）求边AB的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点
A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC
相交于点G．
①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；
勾股定理；菱形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB
的长度；
（2）①本小问为探究型问题．要点是确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到
AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形；
②本小问为计算型问题．要点是确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边
的比例关系求出CG的长度．解答：
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB为直角三角形，且OA=12AC=1，OB=12BD= 3 ．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=22221(3)2OAOB．
（2）①△AEF是等边三角形．理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，
∴△ABC与△ACD均为等边三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE与△ACF中，
∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，
∴CE=12，BE=32．
由①知△ABE≌△ACF，
∴CF=BE=32．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），
∠EGA=∠CGF（对顶角）
∴∠EAC=∠GFC．
在△CAE与△CFG中，
∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，
∴△CAE∽△CFG ，

∴ CGCFCEAC，即32 122CG，
解得：CG=38．
12宁夏23.（8分）
正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时
针旋转90°，得到△DCM.

（1）求证：EF=FM
（2）当AE=1时，求EF的长．
26．（2010•厦门）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，
DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：△AED是等边三角形．

16．（2012•深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且
正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 7 ．

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。
专题： 计算题。
分析： 过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到
OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM
为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一
对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对
应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为
矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即
△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根
据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．
解答： 解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，

∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=6，
∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，
解得：CF=OF=6，
∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，
则BC=CF+BF=6+1=7．
故答案为：7．

解法二：如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=6，∴CM=6．
∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，
∴BC=CN+NB=6+1=7．
故答案为：7．

21．（2012•阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜
想的结论；
②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样
的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中
的位置关系仍然成立？不必说明理由．
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；
乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；
丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

考点： 全等三角形的判定与性质。
专题： 几何综合题。
分析： （1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，
然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在
△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；
②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后
由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延
长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角
和定理证得∠BHC=90°；
（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论
成了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适．
解答： 解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE；
②结论：BD=CE，BD⊥CE…1分
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分
在Rt△ABD与Rt△ACE中，

∵
∴△ABD≌△ACE…2分
∴BD=CE…1分
延长BD交AC于F，交CE于H．
在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°
∴BD⊥CE…3分
（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分
11深圳12、如图4，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值
为

A. 3:1 B. 2:1 C.5:3 D.不确定