浅谈数学教学中的哲学思想

数学研究中的哲学思考对高等数学的教学影响数学不仅仅是一门应用学科，同时也是一门对于世界的深入思考与理解。

数学研究不仅关注数学问题本身的解决，更注重思考数学背后的哲学思想。

这种哲学思考对于高等数学的教学也产生了重要的影响。

在本文中，我将探讨数学研究中的哲学思考对高等数学教学的影响，并分享一些实际教学中的案例。

数学研究中的哲学思考对高等数学教学的影响体现在教学方法的改进上。

哲学思考追求真理和智慧的本质，鼓励学生思考数学概念和原理背后的思维方式和逻辑。

这种思考方式对高等数学教学有着重要的启发作用。

在传统的教学模式中，教师往往是知识的传授者，学生是被动的接收者。

通过引入哲学思考，教师可以变成学习的引导者，鼓励学生通过自己的思考，发展他们的数学思维能力。

在教授微积分的时候，教师可以引导学生思考微积分的概念是如何被发现和发展的，为什么微积分的基本原理是有效的。

这种方法可以激发学生对数学的兴趣和好奇心，使他们更加主动地学习和探索数学。

数学研究中的哲学思考对高等数学教学的影响还体现在数学的应用中。

数学不仅仅是一门纯粹的学科，它也渗透到我们生活的方方面面。

通过哲学思考，教师可以帮助学生理解数学在现实生活中的应用和意义。

在教授线性代数的时候，可以引导学生思考线性方程组在现实问题中的应用，如在经济学、物理学和工程学中的应用。

这种实际应用的讨论可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，将抽象的数学概念与实际问题联系起来。

数学研究中的哲学思考对高等数学教学的影响还表现在教学内容的选择与重视上。

在数学研究中，哲学思考强调思维的深度和广度，追求数学的整体性和系统性。

在高等数学教学中，哲学思考也应当得到重视。

教师可以通过引入一些哲学思考中的数学问题或者概念来丰富教学内容，帮助学生理解数学的整体框架和思维方式。

教师还可以鼓励学生进行独立研究和探索，培养他们的创新能力和批判性思维。

浅谈线性代数中的哲学思想作者：李晓红来源：《教育教学论坛》2017年第39期摘要：为提高线性代数的教学效果，本文就线性代数教学内容中所蕴含的哲学思想进行了探讨。

从形变质不变、量变引质变、对立统一、否定之否定等四个主要方面进行了阐述，使得矩阵的初等变换、向量的相关性、线性方程组求解等问题变得更易于理解和掌握，以期能充分调动学生学习的积极性和主动性，提高学生的辩证思维能力和应用能力。

关键词：线性代数；教学方法；哲学思想中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）39-0219-02线性代数作为工科数学的一门主要基础课，不仅是后续课程和专业学习的需要，更是培养学生数学素质，提高创新能力的需要。

为了提高教学效果，不仅要注重知识层面上的学识教育，更要注重文化层面上的素质教育，要善于把数学课程放在更广阔的文化背景中进行教学，这样才能充分调动学生学习的主动性和积极性。

下面结合自己的教学实践，尝试从哲学的角度来探讨一下线性代数的教学，以期对大家有所帮助。

一、从“形变质不变”看事物之变化在线性代数中，所研究的事物常常会发生各种形式上的改变，但本质属性未改变，所谓“万变不离其宗”，在此不妨称之为“形变质不变”。

例如，行列式的恒等变换；方程组的同解变换；矩阵的初等变换；向量组的等价变换；二次型的标准变换等。

这么多的变换，很容易引起学生混淆，特别是对变化的目的与方向一筹莫展，从而失去学习的兴趣和信心，因此在教学中需要注意以下几个方面。

1.要充分揭示变与不变的真正内涵。

引导学生认识事物，不但要观其表象，更要明其内里，真正明白形式改变背后隐藏的真谛。

例如，行列式进行恒等变形，其值不变；矩阵进行初等变换，其秩不变；向量组进行初等变换，其秩以及线性表示关系不变；二次型进行各种标准变换，但其正定性、负定性等保持不变。

以上种种“变与不变”，相辅相成，是“形变质不变”，是形式和内容的和谐统一。

2.要积极引导学生为解决问题，在形式上寻求最佳改变方案。

对数学教育哲学的几点认识夏飞（安徽师范大学数学与计算机学院，安徽芜湖 241000）摘要：目前数学教育的研究已经步入一个山穷水尽的境地，要想解决这类问题需要改变数学教育研究的视角，需要对数学教育的问题做出哲学的分析与批判。

数学教育哲学正是关于数学教育活动本质的分析，它有助于推动数学教育学科理论的纵向发展。

因此，研究数学教育哲学是十分必要的。

关键词：数学教育哲学；数学教育；哲学一、什么是数学教育哲学数学教育哲学是什么?这是一个最基本的、却又难以直接定义的问题。

由于每个人的哲学观不同，对数学教育哲学的理解就不同，于是导致了多种多样的回答，逐渐引起人们的兴趣和关注。

那么，究竟什么是数学教育哲学呢?我认为数学教育哲学是关于数学教育的认识论；是用哲学的观点和方法对数学教育的问题进行研究；是研究数学教育本质的学科。

所谓数学教育的本质就是那些在数学教育的活动中具有规律性的、常态的、较为稳定的、经常发生的数学教育思想、行为和事件的总和。

数学教育哲学是关于数学教育的认识论。

这一表达是有道理的，因为很明显的是，如果说数学教育中有哲学问题需要解决，那么毫无疑问，认识论问题是一个重中之重的问题。

那么应该如何界定“数学教育的认识论”这一概念昵?数学教育的认识论问题就是数学教育的本质和规律能够被认识吗?我们应该如何认识数学教育?我们关于数学教育的认识是正确的吗?如何判断我们对数学教育的认识是否正确?这些问题可以构成数学教育的基本认识论问题。

]1[数学教育哲学可以看作是用哲学的观点和方法对数学教育的问题进行研究。

在数学教育活动中，存在着大量的复杂关系。

其中既有客观的、外部的、环境的因素，也有更为多变的主观因素，不同的主体在各自的目标和背景之下从事着各自数学教育的行为。

如何把握这些复杂关系，需要哲学的思想和方法。

例如，仅就数学教育的矛盾来看，哪些是主要矛盾?哪些是次要矛盾?哪些是长期的、固有的?哪些是短暂的、暂时的?都需要用哲学的眼光去观察和分析。

高中数学教学研究要有点哲学思考作者：龚凯宏来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第08期[摘要] 从核心素养概念提出至今，虽然没有课程改革那样热烈的讨论，但依然要思考一些基本问题：核心素养培育如何可持续地开展下去？核心素养在推进的过程中究竟何去何从？对于这些问题的回答不应当是技术性的，而应当是理念性的. 只有教师站在一个更高的角度、具有更宽广的视野，才能冷静理性地面对这些问题，并且做出科学的回答. 在高中数学教学中应当具有一定的哲学意蕴，主要是基于这样两点考虑：一是数学教师的哲学思考意味着突破了经验层次，那在带领学生实现数学学科核心素养落地的过程中，教师也就具有了高屋建瓴的视角. 二是要帮助学生建立正确的数学学科认识，也需要教师在数学学科核心素养六个要素理解的基础上深入一步，以实现关于数学学科核心素养的整体、系统理解.[关键词] 高中数学;哲学;教学研究在始发于2001年的课程改革中，作为基础性学科，数学课程改革曾经遭受到多重拷问，比如有人发出这样的疑问：在高中数学课改高歌猛进的同时，数学教学中一些深层次的问题，也逐一浮出水面. 人们不禁又在思索：高中数学的课改能否可持续地开展下去？高中数学课改再往前走，究竟何去何从？从实践的角度来看，这些问题的解决都交给了时间，交给了课程改革的进一步深化. 问题虽然得到了不同程度的解决，但是问题本身依然具有进一步研究与反思的价值. 当前基础教育进入了核心素养的新时代，对核心素养以及学科核心素养的研究方兴未艾，一般认为核心素养与课程改革之间的关系并不是割裂的，比如就有观点认为核心素养是课程改革进一步深化的体现. 从核心素养概念提出至今，虽然没有课程改革那样热烈的讨论，但是本着鉴古知今的思想，笔者以为在核心素养推进的过程中，依然要思考如上面那样的问题：核心素养培育如何可持续地开展下去？核心素养在推进的过程中究竟何去何从？对于这些问题的回答，笔者以为不应当是技术性的，而应当是理念性的. 只有教师站在一个更高的角度、具有更宽广的视野，才能冷静理性地面对这些问题，并且做出科学的回答. 对此笔者的尝试是：为自己的教学研究建立一个哲学视角，形成一点哲学思考.高中数学教学中应有的哲学意蕴数学与哲学的关系密不可分，古希腊时期的很多数学家也是哲学家，文艺复兴时代及其前后的数学研究与哲学研究也密切相关，牛顿是一个大物理学家，但是他的著作却叫做《自然哲学的数学原理》，与牛顿一同发明微积分的莱布尼茨，更是给数学教学留下了一些哲学名言，例如“数学真理就是逻辑真理”（逻辑是哲学的基本概念之一）. 反观当下的高中数学教学，可以肯定有一种现实存在，这就是高中数学教学发展中存在的问题很大程度上有数学教学哲学素养的缺失这一因素，而现代数学教学模式的发展很大程度上受到了文化观的数学哲学研究以及数学方法论研究的巨大影响与推动. 这种数学发展中哲学起到重要推进作用，与实际教学中哲学的地位被弱化之间的矛盾，是当前高中数学教学中存在的基本矛盾之一，尽管这一矛盾还没有为太多人所重视. 笔者强调在高中数学教学中应当具有一定的哲学意蕴，主要是基于这样两点考虑：一是数学教师的哲学思考意味着突破了经验层次，那在带领学生实现数学学科核心素养落地的过程中，教师也就具有了高屋建瓴的视角.尽管教学不是灌输，但是“要给学生一碗水，自身就必须有一桶水”仍然具有朴素的提醒意义. 核心素养的培育不完全等同于解题技能的培养，如果说后者还能够通过重复训练达成，那前者更多地需要学生在具体的体验过程中慢慢领悟. 那么这种体验过程的质量，完全取决于教师的教学设计与具体的课堂实施. 相应的，数学教师要想对数学学科核心素养有更为深入的理解，站在哲学的视角去考虑问题还是有必要的.二是要帮助学生建立正确的数学学科认识，也需要教师在数学学科核心素养六个要素理解的基础上深入一步，以实现关于数学学科核心素养的整体、系统理解.数学抽象、逻辑推理与数学建模等，看起来是孤立的六个要素，但实际上它们既需要分析，又需要综合. 比如“逻辑推理”，就是“逻辑”与“推理”的综合，“几何直观”就是“空间几何”与“直观想象”的统称，这当中的联系都可以在哲学视角下思考.肯定的是，高中数学教学中具有了哲学意蕴，可以拓宽教师与学生的视野，可以提升教学的品位，可以为数学学科核心素养的落地铺就道路.高中数学教学及研究的哲学内涵哲学是一个宏大的概念，作为高中数学一线教师，不大可能对哲学有深入系统的研究，但是抓住一些基本的原理，在课堂上进行适度的渗透，还是能够让课堂具有一定的哲学意蕴的. 而这就要求教师准确把握一些基本的哲学内涵. 把握哲学内涵的过程，实际上就是让自身具有哲学思维的过程，有研究者认为，哲学思维在高中数学教学中的实践，包括数学知识与哲学原理的结合、数学实验与哲学思维的碰撞、数学教授与哲学方法的联系. 笔者以为这是非常精辟的概括，真正的数学教学实践中就可以从这些角度切入，去理解并把握数学教学及其研究的哲学内涵.例如，在“椭圆”的教学中，帮学生建立椭圆概念的过程，就是一个可以渗透哲学领悟的过程. 帮学生建立椭圆的表象是椭圆概念建立的基础，具体的做法有两个：一是结合引入圆锥曲线时所做的演示（实际演示或动画演示），让学生观看一个平面，斜着截一个圆锥面所得到椭圆的过程，从信息加工的角度来看，这主要是通过学生的视觉通道接收信息，然后基于椭圆的形状进而建立椭圆的表象;二是让学生动手去做，即在平面上固定两个钉子，然后用一根长度大于两个钉子之间距离的细线分别系在两个钉子上，用一支笔绷紧细线移动，所得到的轨迹就是一个椭圆. 在这样一个过程中，学生对椭圆的表象的建立是建立在自己动手的基础之上的，因此这样一个过程实际上是一个数学实验的过程.那么这两个过程在哲学的视角下有什么样的意味呢？笔者以为，第一个过程中，实际上有数学哲学研究领域中的“直觉主义数学”的内涵，无论是从数学发展的角度来看，还是从学生数学学习的角度来看，相当一部分数学认识，实际上是建立在哲学的基础之上的，当学生通过教师演示或者多媒体演示，看到一个异于“圆”的“扁圆”（好多学生对椭圆的认识）出现时，基于学生的生活经验，他们会自动判断这是一个“椭圆”，但是实际上这个认识又是不准确的，因此这里教师可以告知学生“完全凭着直觉所得出的结论，往往是不可靠的”——这就是一种哲學认识;那么“什么样的认识才是可靠的呢？”——这就是一个哲学意味十足的问题，回答这个问题，教师可以这样引导：可靠的认识一是来自实践，二是来自推理. 所谓实践就是类似于上述“动手做”的过程，基于实践得出的数学结论往往是可靠的，而只有经由逻辑推理所得出的数学结论才是可信的. 在椭圆概念得出的过程中，推理得出“椭圆标准方程”是一个逻辑推理的过程，从哲学视角的角度来看，这个过程的意义在于帮助学生确立“经由逻辑推理所得出的数学结论才是可信的”这一认识，甚至可以适当延伸——我们（指学生）日常所做的那么多的题目，实际上就是为了让结果可信;在我们的生活当中，一个结论若想可信，要么基于现实，要么基于逻辑推理. 当数学上的认识延伸到生活当中时，某种程度上讲也是哲学观念的建立.高中数学教学研究中的哲学之思从以上分析来看，在高中数学教学中进行适当的哲学思考是非常有必要的. 由于应试的导向，“哲学的贫困”困扰着中国数学教育教学的发展，而核心素养以及数学学科核心素养概念的提出，应当说为数学教学中进行哲学思考、渗透哲学认识，提供了更为广阔的空间. 数学教师要抓住这个教学契机，努力在教学实践中进行必要的哲学思考与渗透.高中数学教师在教学中有这两个基本任务：一是面向学生进行数学教学，二是面向数学学科进行教学研究. 这两个基本任务的完成都离不开哲学思考，一个具有哲学视野的高中数学教师才是合格的教师，才能够引导学生更科学地认识数学学科的价值，才能够更好地在数学课堂上通过数学学科核心素养的落地，来引导学生接触哲学，认识哲学，在哲学渗透的过程中形成属于自己的智慧. 哲学本身就代表着智慧，哲学视角意味着智慧视角，这样一个视角毫无疑问可以优化传统的数学教学，可以成为数学学科核心素养落地途径探究的重要启发. 基于这样的道理，数学教师应当“留一只眼睛看自己”，用哲学来充实自己的教学智慧，提升自己的教学经验，优化课堂教学的效益.。

小学数学探究教学中的哲学思考作者：仇保益来源：《南北桥》2020年第12期【摘要】数学在小学必修课程的教学中占据十分重要的比例，是一门锻炼学生数学能力，培养学生逻辑思维能力的学科，而探究教学是小学数学教学中一种十分重要的教学方式。

新课标改革也提出了，小学数学教学要适应学生身心发展的特点，从学生已经掌握的生活经验入手，引导学生通过自主探究进行数学学习，获取数学能力，提升运用数学知识解决实际生活问题的能力。

但是，由于小学生认知水平有限，受各方面能力的影响，学生自主探究形成的知识体系可能与真正的数学知识原理存在一定的差异。

教师结合教学经验剖析数学内容中存在的哲学思想，并将这些哲学思想融入数学教学之中对学生的数学学习有着十分重要的作用。

本文在此基础上对小学数学探究教学中的哲学思想进行分析，并提出看法。

【关键词】小学数学数学探究教学哲学思考中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2020.12.019数学是对数量关系进行探究的一门抽象学科，具有很强的逻辑性，而哲学是对世界认知体系和规律的总结，不仅具有逻辑性，还具有思辨性。

数学和哲学二者之间有着十分微妙的联系，在一定程度上可以说数学是哲学的现实表现和数量体现。

随着课程改革的发展，学校教育开始意识到学生自主探究学习在数学教学中的重要意义，而如何更好地开展自主探究性学习却成了一大难点。

学生在自主探究学习的过程中往往会出现很多问题，教师可以引导学生站在哲学的角度辩证地思考问题，这对学生的自主探究学习有着十分重要的作用。

一、将哲学渗透到小学数学探究学习中的重要性我国新课标改革提出，不仅要有效培养学生对学习方法和学习思想的认识，还要帮助学生形成正确的价值观和情感生活态度。

因此在教学中，教师将哲学与数学有机融合，将两个相互影响了上千年之久的学科更好地整合，不仅能满足学生对于知识的学习，更能有效地提高学生的精神高度，为学生启蒙哲学思想。

自然数学的哲学原理自然数学的哲学原理是指在数学中所遵循的基本原则和关键思想，研究数学的基础和本质。

自然数学的哲学原理有以下几个方面：1. 全集原理：自然数学是在全集的基础上进行研究和推导的。

全集原理认为数学的研究对象应当是全体数或全体事物的集合。

2. 界定原理：自然数学需要明确数学对象的性质和范围。

界定原理认为数学应当明确规定对象的属性、关系和操作。

3. 公理化原理：自然数学的基础是一组明确且无需证明的假设，即公理。

公理化原理认为数学的推理过程是基于这些公理进行的。

4. 推演原理：自然数学通过逻辑推理进行推演。

推演原理认为数学的推理过程应当是严密和可靠的，遵循逻辑规则和推理原则。

5. 归纳原理：自然数学中常用的证明方法之一是数学归纳法。

归纳原理认为通过归纳法可以从已经证明的特例推导出一般性的结论。

6. 定义原理：自然数学中的概念和运算都需要明确定义。

定义原理认为数学的研究对象和操作必须有准确的定义，避免误解和混淆。

7. 一致性原理：自然数学的推理和结论应当是一致和相容的。

一致性原理认为数学的推理过程应当是在一致的逻辑系统内进行的，不出现矛盾或冲突。

8. 完备性原理：自然数学应当包含所有重要的数学概念和定理。

完备性原理认为数学的体系应当是完备的，能够涵盖所有重要的数学内容。

以上是自然数学的哲学原理的主要方面。

自然数学的哲学原理为数学的研究提供了基本的指导原则和方法论。

这些原理使得数学成为一门严格、精确和可靠的科学，为各个数学分支的发展和应用提供了坚实的基础。

同时，自然数学的哲学原理也反映了人们对数学本质的思考和理解，揭示了数学领域的深层次问题和规律。

自然数学的哲学原理在数学的研究和教学中起着重要的作用。

在数学研究中，遵循这些原理可以帮助研究者确立研究对象和范围，合理选择研究方法和推理规则，确保研究的正确性和有效性。

在数学教学中，引导学生理解和运用这些原理可以培养学生的逻辑思维和推理能力，提高学生对数学的理解和应用能力。

数学与哲学的关系数学是探讨数与形运动规律的学科，数学教学法是研究数学规律的，即研究在教学过程中如何最有效地向学生传授数学知识、发展学生思维、培养学生能力和个性的学科。

这些都是研究数学和数学教学过程中的特殊规律的科学，而马克思主义哲学是研究数学、自然科学、社会科学和思维科学的最一般、最普遍规律的科学。

马克思主义哲学来源于实践，同时又对实践具有重要的指导意义。

它来自于具体学科的最普遍规律、方法的高度抽象和概括，同时又对具体学科有着重要的指导作用。

因此，数学教育工作者只有将马克思主义哲学的唯物辩证法思想、认识论思想贯彻于认识数学、研究数学及数学教学的过程中，以马克思主义哲学思想为武器，用马克思主义哲学的观点去分析、解剖数学内容和数学的教学过程，用马克思主义哲学的思想去统帅数学的思想和方法，才能透彻明了地看待数学问题的思路，清晰、辩证地讲解数学演泽的逻辑过程，才能掌握好数学的思想和精神。

这就需要研究数学与哲学的联系，将马克思主义哲学与数学有机的辩证的结合在一起，用马克思主义哲学指导数学学习和数学教学。

1、数学对哲学的作用美国数学家罗滨逊给出了实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格的理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创立了新的微积分理论——非标准分析。

在非标准分析中，构建非标准实数轴并引入单子概念，使非标准实数轴成为一个层次结构空间。

在该空间中，单子外部表现为不同数量层次之间质的差异；单子内部是无穷小量，其间只是量的差异，其比值是有限数量，其运算性质是同单子外普通实数是一样的，可重新作为微分运算的出发点。

因而非标准分析的建立就为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。

而在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。

法国数学家托姆，在考察自然界、社会领域大量存在不连续现象的基础上，运用微分映射的奇点理论，为这类客观现象建立了数学模型，用以预测和控制该类客观对象，这就是突变论的产生。

欣赏数学的辩证思想，体会数学的哲学意义[摘要] 初等数学充满着矛盾。

数学具有真理性,但不是绝对真理。

其实,在中学数学教学中就有许多进行唯物辩证法教育的好材料。

教师应不失时机地加以利用。

数学的解题方法以及思维方式上，也充满着辩证法的思想。

[关键词] 思辨辩证法教育正难则反一般到特殊数学具有思辨的特性，高度的抽象性和严格的逻辑性，使数学方法具有一系列的特点和优点，如独特的公理方法、严格的逻辑证明、用符号作为表达形式、以及应用的高度广泛和结果的极度精确等等，所以数学成为理性思维的重要形式，在人类认识和实践中发挥出特殊的功能。

在数学教学中,应用唯物辩证法,从当前的实际情况来看,有些数学教师认为这是与数学风马牛不相及的事。

其实不然,我认为,它恰恰能对学生进行思想品德教育,有利于形成科学的世界观。

那么在数学教学中如何应用唯物辩证法呢?从形成系统的数学理论时开始,数学和哲学就存在着不解之缘,特别是随着时代的不断发展,一些现代数学理论越来越抽象,以致产生了许许多多稀奇古怪的问题,诸如数学悖论:集合论悖论、欧氏几何和非欧几何是两种相互矛盾的几何理论,却又都是合理的等等。

这些问题并不是数学游戏,也不是庸人自扰,可以等闲视之的,它从根本上动摇着整个数学的基础,这就殃及了中小学数学教学。

要认识并理解这些问题,必定牵涉到哲学观点,于是出现了形形色色的数学观。

形形色色的数学观的存在,也就存在着教师在教学中应以什么样的数学观去熏陶学生,帮助学生形成正确的世界观的问题。

辩证唯物主义数学观认为,数学是客观世界数量关系变化的规律性与数学家思维能动性相结合的产物,数学来源于实践又反作用于实践。

客观世界是一个运动、变化、发展着的对立统一体,作为反映客观世界数量关系变化规律性的数学必然充满着辩证法。

数学理论的创立要靠数学家的抽象思维,但不是人脑的“自由创造物和想象物”。

数学具有真理性,但不是绝对真理。

其实,在中学数学教学中就有许多进行唯物辩证法教育的好材料。

高中数学教学中渗透数学哲学的一些思考作者：朱兰兰来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第09期[摘要] 作为一线教师，对自己所从事的学科教学进行一些浅显的哲学思考，还是非常有必要的. 今天说核心素养要培育学生的必备品格与关键能力，其实这两者也都与哲学相关，一个真正具有智慧的学生，自然会知道什么样的品格是必备的，什么样的能力是关键的. 当学生在数学学习的过程中具有一定的哲学意识时，他们所站的高度，以及对数学课程的理解都对于日常的教学有所不同. 强调在高中数学教学中进行哲学渗透，并不意味着在高中数学知识教学之外独立出哲学内容. 对于学生而言，数学知识的学习仍然是主体，数学哲学的渗透应当在学生建构数学知识的过程中完成.[关键词] 高中数学;数学哲学;教学思考在高中数学教学研究的视野当中，除了当前热门的核心素养与深度学习之外，除了现代化教学手段与信息技术之外，除了数学课程改革与课程标准的解读和实施之外，还有一个不可忽视的研究视角，这就是哲学视角. 哲学是一个超越一般人认知范围的领域，大多数情况下教师往往是谈哲学而敬远，笔者以为，哲学知识及其体系固然博大精深，但是作为一线教师，对自己所从事的学科教学进行一些浅显的哲学思考，还是非常有必要的. 非常幸运的是，数学学科与哲学的关系非常紧密，从数学发展的历史角度来看，很多数学家都是哲学家，很多数学知识的形成过程往往都是与哲学相伴相生的，因此在今天的高中数学教学中，渗透一些哲学思考尤其是数学哲学思考，应当是有必要的. 在古希腊语里面，“哲学”有“智慧”的含义，在今天的高中数学教学语境里，延续这样的理解，对实际教学也有启发. 尤其是在大量的习题训练的间隙里，如果能够渗透一些哲学思考，那无论是对于学生的数学知识建构而言，还是对学生理解数学课程而言，都有着很大的帮助. 今天我们说核心素养要培育学生的必备品格与关键能力，其实这两者也都与哲学相关，一个真正具有智慧的学生，自然会知道什么样的品格是必备的，什么样的能力是关键的. 本文就以笔者对高中数学教学的相关实践的思考为基础，谈谈对高中数学教学中渗透数学哲学的一些思考.数学哲学之于高中数学教学的意义浅解之所以说数学与哲学的关系非常密切，是因为两者存在着诸多重叠的地方. 以数学学科核心素养中的逻辑推理来说，其实逻辑推理是由逻辑与推理两个关键词组成的，通俗点理解逻辑推理就是基于一定的逻辑进行推理，而逻辑推理中的逻辑与推理这两个关键词，在哲学中就是两个基本概念. 比如说，黑格尔哲学的核心就是逻辑学，三段论就是逻辑中的一种最基本的推理形式，所以不夸张地讲，当教师与学生在数学课堂上一同进行逻辑推理时，学生也在呼吸着哲学的空气，当今天的高中数学教学致力于培育学生的数学学科核心素养时，哲学在背后默默地发挥着作用. 进行这样的分析，就是想表明一个观点：哲学又或者是数学哲学，对于高中数学教学而言有着重要的意义.著名数学家莱布尼兹早已明确提出“数学真理就是逻辑真理”，这是一个重要的数学思想. 对于当前高中数学教学的启发就是，无论是基于知识积累与知识体系建立的数学概念与规律的学习，还是基于数学学科核心素养培育的数学思想方法学习与数学思维提升，教师都应当引导学生适度进行哲学思考，当学生在数学学习的过程中具有一定的哲学意识时，他们所站的高度，以及对数学课程的理解都对于日常的教学有所不同. 而要达到这一点，教师首先必须具有一定的数学哲学意识，以及运用哲学观点解析数学知识的能力.应当说这一认识是非常重要的，有识之士如郑毓信等人早就指出，高度的专业化也为数学哲学的未来发展埋下了隐患，特别是，如果数学哲学的研究与实际数学活动表现出了越来越大的距离，从而事实上成为一个封闭的“小圈子”，那么，其最终就可能由于缺乏动力而表现出发展的停滞.基于数学哲学的高中数学教学实践初探在数学教学实际中进行适当的哲学渗透，某种程度上讲，就是为了学生的数学学习提供源源不断的动力. 而很显然的一点是，实际数学教学中的哲学渗透，并不是让学生去听那些抽象的哲学概念，相反，基于哲学的基本思想，通过整合数学史、数学社会学等分支的文化和哲学内涵，既能够极大地丰富数学哲学研究，也能够让学生在学习的过程中吸收到哲学营养. 例如，在“命题及其关系”的教学中，对于“命题”的界定是“能够判断真假的语句”，再让学生理解“命题”这一概念时，教师常常会指出例子，如“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”“如果两个三角形的面积相等，那它们全等”……举例子的意图在于让学生迅速地建立起对“命题”这一概念的理解，事实上这一策略也是奏效的，学生知道上面的例子当中，前一个为“真”，而后一个为“假”，从而也就明确了“能够判断真假的句子”就是“命题”.如果说传统的教学思路是这样的，那么基于数学哲学渗透的数学教学又应当是怎样的呢？梳理相关的哲学文献可以发现，包括英国数学哲学家赖特本人就有一个明确的观点，认为现代数学哲学是围绕若干个命题展开的，而这些命题本身就是关于“真”和“假”的阐述. 比如他们提出了这样的一些问题：数学命题是否应该用真和假去评价？什么因素可以使得数学命题为真？人们是通过什么方式获得数学真命题的认识的？……（一共是6个问题，这里只选择其中的三个举例说明. ）比较上两段的内容，可以有一个有趣的发现：前一段内容数学教师理解起来一般比较简单，因为这正是绝大多数数学教师在日常教学中所采用的教学思路，相关的阐述也正是日常教学中教师所用的语言;而后一段的内容理解起来可能就要困难得多，这正是哲学语言具有的特征（其实笔者已经进行了一些简化）. 诚然对这些问题的研究，可能属于哲学家的事，但是如果只取其基本含义，那在高中数学课堂上还是可以进行一些渗透的. 比如说，可以向学生提出这样一个问题：对“真”与“假”的判断，依据是什么？你的依据准确吗？这是一个很容易引发学生兴趣的问题，因为在绝大多数学生看来：我（学生）竟然已经判断出了真假，自然是有依据的，比如说“两个三角形全等”，那就意味着“两个三角形能够完全重合”，那么“它们的面积就自然相等”;相反，“面积相等”的两个三角形，只能是“底乘以高相等”，这样的三角形有无数个，因此并不意味着两个三角形全等. 在课堂上当学生振振有词地说出自己的理由时，笔者再追问“你的依据准确吗？”在这个问题的驱动之下，学生反而会认真思考，因为这个问题相对于前一个问题而言，实际上是有深度的，学生知道，如果自己的依据不准确，判断就不准确. 学生在阐述上述逻辑的时候，心里是有底气的，但是在教师的追问之下，他們反而会对自己的判断依据进行深入思考，思考的最后结果就是：每一步判断之间的因果关系均是成立的，因而结果就是准确的. 而一旦学生有了这个认识，也就意味着学生对“真、假”的判断建立在“是否符合逻辑”“因果关系是否成立”的基础之上，而有了这样的认识，就可以认为是成功地进行了数学哲学的基本渗透.。

数学教育的哲学思考
数学教育的哲学思考是一个重要的课题，它涉及到数学教育的理论和实践。

数学教育的哲学思考着重于从哲学的角度探讨数学教育的本质，探究它的价值观、教育目标以及教学方法。

首先，数学教育的价值观是一个重要的课题，它既涉及到数学本身的价值，又涉及到数学教育的价值。

数学本身具有基础性、实用性、实践性的价值，而数学教育的价值则是培养学生的知识、能力和思维，使之能够在自然环境中发现、解决问题。

其次，数学教育的目标也是一个重要的课题，它既涉及到数学知识的获取，又涉及到数学思维和能力的培养。

数学知识的获取是指学习者要掌握数学知识系统，理解数学概念；数学思维和能力的培养是指学习者要具备良好的数学思维和能力，能够分析、解决实际问题。

最后，数学教育的教学方法也是一个重要的课题，它既涉及到数学知识的传授，又涉及到数学思维和能力的培养。

数学知识的传授是指教师要科学、全面地传授数学知识；数学思维和能力的培养是指教师要注重数学思维和能力的培养，通过实际活动和游戏等方式引导学生自主学习。

数学教育的哲学思考是一个重要的课题，它涉及到数学教育的价值观、教育目标以及教学方法，这些都是需要我们去深思熟虑的问题。

数学教育的哲学思考，可以从以下几个方面来考虑：
一、数学教育的目的。

数学教育的目的是什么？是为了培养学生的数学思维能力，还是为
了让学生掌握数学知识？
二、数学教育的方法。

数学教育应该采用什么样的方法？是以讲授为主，还是以实践为主？
三、数学教育的内容。

数学教育应该教授什么内容？是基础数学知识，还是应用数学知识？
四、数学教育的评价。

数学教育应该如何评价学生的学习成果？是以考试成绩为主，还是
以实践能力为主？
五、数学教育的未来。

数学教育未来应该如何发展？是以传统教学方式为主，还是以现代
教学方式为主？。

数学研究中的哲学思考对高等数学的教学影响
数学研究中的哲学思考可以引发学生对数学概念和原理的深入思考。

高等数学课程往往涉及到抽象的概念和抽象的推导过程，这对于学生来说可能比较难以理解和接受。

而通过引导学生进行哲学思考，可以帮助他们探究数学思想的本质和逻辑关系，从而理解和领会数学概念的本质和内在联系。

这种理解不仅有助于学生对数学知识的深入掌握，还能够培养他们对数学思想的感悟和洞察力。

数学研究中的哲学思考可以培养学生的创新思维和解决问题的能力。

数学是一门需要思考和推导的学科，学生在学习数学的过程中常常会遇到各种困难和问题。

而通过哲学思考，学生可以培养出深入思考和批判性思维的能力，从不同的角度和层面来考虑问题，寻找出不同的解决方案。

这种创新思维和解决问题的能力对学生未来的学习和工作都有着积极的影响。

数学研究中的哲学思考可以培养学生的数学素养和思辨能力。

数学思想的发展和进步离不开哲学思考的引导和指导，而数学研究中的哲学思考正是培养学生数学素养和思辨能力的重要途径。

通过进行哲学思考，学生可以深入理解数学思想的逻辑结构和内在联系，培养自己对数学理论和方法的评价和判断能力，提高自己的数学素养和思考能力。

这种数学素养和思辨能力对学生未来的学习和发展至关重要。

哲学视角下的数学思想方法
从哲学的角度来看，数学是一种用于描述和理解物理客观现实世界，从而提示
我们做出数据结构决策的一种强有力的方法。

数学思想不同于普通的思想，它强调的是采用精准的逻辑，以及创建的系统概念，以解决它遇到的挑战和问题。

可以说，它强调的是一种跨越现实世界的门户思维，一种将抽象重新与实际联系起来的新式思想。

数学思想方法特点条理清晰，以数学分析把事物归纳、分类、总结，而不是通
过经验来获得结论，多次验证和更新的过程，目的是为了减少错误的可能性，因此更能体现准确性。

正因为数学思想具有这样的特点，在今天的世界中始终得到广泛的应用，在政治、社会、经济、媒体以及医学等领域得到了广泛的使用和发展。

数学思想可以帮助我们了解物理客观世界，进而提升自身的知识和理解，在多
种复杂情况下运用最精准的方法来定位问题原因，从而使人们更有效率的管理、优化工作，达到物理世界最优解的目的。

所以，从哲学视角来看，数学思想是一种有力的思考方法，可以跨越物理客观世界限制，帮助人们了解客观世界，提升自身的知识和理解，最终达到从物理客观现实的最优解的目的。

20211（）-1-做一个有哲学味的数学教师——ICME14见闻的启示严亚强（苏州大学数学科学学院215006）哲学，“是理论化、系统化的世界观和方法论,是关于自然界、社会、文化和人类思维及其发展的最一般规律的学问”[1].这样的定义，容易给人以“干巴巴的教条”的印象，现代哲学界更看重于“理论化、系统化”的行为一一思考.郑毓信说：“哲学的主要功能不是为相关问题提供明确的解答，而是通过理论分析，特别是深入的批判，促使人们更为深入地去进行思考，包括积极的反思和自我批判，从而就可获得更为深入的认识，特别是实现更大的自觉性.显然，在这样的意义上，哲学就可说是一种聪明学、智慧学.”2]因此，“哲学味”就是“思考味”，特级教师孙四周说：“木匠在做桌子的时候，并不知道'什么是桌子'，他只知道他做的'就是桌子'，最后他把桌子做成了.有的人给出了桌子的定义，看起来理论是严谨了，但当你用那个定义时，发现你无法回答'破了洞的桌子还是不是桌子他还写道：“如果一个人只有一条经验，他会怎么行事呢？他不用思考就会按照那条经验一直做下去.这，看起来就是感性.如果一个人有两条经验，他会怎么行事？他可能会比较一下，选择一条更合适的方式，这，看起来就是理性.这就是哲学味的样子！我们每个数学教师对“什么是数学”“什么是数学教学”都是有一定的观念的，但为什么不少教师的教学会走上歧途?这显然与教师缺少哲学味有关.哲学有时被定义为“反思的学问”，数学教师的哲学味就在于对数学本质、数学教学和学习、数学教育地位和价值的反思、批判、归纳.笔者从参加第14届国际数学教育大会（ICME14）的见闻来谈谈哲学味的启示.1ICME14中的哲学味ICME14于2021年7月11日到7月18日在华东师范大学顺利举行.笔者认为，这是一个“充满哲学味”的盛会.大会在开幕式上颁发了克莱因奖和弗赖登塔尔奖，要知道，克莱因和弗赖登塔尔是数学教育哲学中的两位主心骨.大会设置了62个专题研究报告组（Topic Study Group）,它们是最活跃的学术活动形式，从按分支、分学段的数学教学研究到针对各类人群、多元目标的数学教育，从数学教师教育到数学课程与教材的发展，从多文化、多语言环境的数学教育到数学教育的国际合作，从神经科学及数学学习与认知到数学教育研究的方法与方法论，从现代技术在数学教育中的作用到数学教育中的评价与测试，不同领域、主题，不同概念、技术，不同要素、方法，不同视角、观点，都在为全世界数学教育工作者提供思考的素材、交流的舞台.菲尔兹奖得主、法国数学家赛德里克•维拉尼的大会报告《社会中的数学》几乎就是一个哲学研究的报告；曹一鸣教授的邀请报告《面向21世纪的中国义务教育数学课程改革》和熊斌教授的邀请报告《中国资优生教育一-一中国数学竞赛简介》都是从数学教育哲学角度分析问题的；特别感人的是顾泠沅教授在体育馆作的1小时大会报告《一项持续45年的数学教育改革》，座无虚席.顾教授介绍青浦实验的三个阶段（自称“15年磨一剑”）：从1977年低分学生遍布全县的低水平起步，采集160余项专题经验，经过50次反复试验，凝聚出课堂改进的四个方面的关键行为：“让学生在迫切要求之下学习”“组织好教学内容的层次和顺序”“指导学生开展尝试探索的活动”“及时了解学习效果、随时反馈调节”，到1992年彻底赢回了教学质量，这还仅是青浦实验的第一阶段；第二阶段是1992-2007年，突破高认知瓶颈阶段,就是解决“成绩上去了，学生不聪明怎么办”的问题,他们的研究团队根据布卢姆、威尔逊的认知目标分类框架，编制50个分类项目共106个考察点，进行统计分析后总结出“尝试与体验”“核心关联”“变式体验”等重要方法;2007—2022年是推进教研与创造的阶段，他们发现存在两类重要的学生群体，A类（有强烈的高分追求）和B类（腾出精力自己钻研），随即“教研跟进”，统计分析后发现过度的机械训练不可取，必须寻求探究水平的关键教学行为：“高水平任务驱动”和“思维再加-2-20211（）工学习”.从青浦实验的成果可以看到满满的哲理：实践是检验真理的唯一标准，高分不等于聪明，学生的学习（内因）可以通过教师教学行为（外因）的改变而产生效果……在62个专题研究报告组中，数学教育哲学方向是第56个（TSG56）,专题负责人Bronislaw Czarnocha选择了投稿中的23篇编成一本324页的《数学教学哲学》，作为他主持的《数学教学研究期刊》特刊（2020年8月第12期（卷2））.笔者所投的论文［4］也有幸被选入其中.TSG56选择了15篇论文分三轮进行交流.论文题目大致是“数学与伦理”“数学中的哲学、严密性和公理化：密切相关的或强加于上的”“数学哲学中的想象力及其对数学教育的启示”，等等.尽管专题交流的论文几乎都是纯理论的，但可以看出一些通识：数学哲学正通过教师的数学观对教学实践产生着深刻的影响，数学教育的不同理念也在以各种途径影响到它的理论与实践.因此，一线数学教师身边充满着数学教育的哲学问题.2中国数学教育的四大痼疾我们的数学教育状况如何呢？笔者看到了四个痼疾.（1）文化味太淡这是数学教育中的一个普遍性问题.尽管我们都知道数学是“作为文化的存在”，但教学上还是经常把数学当作一种技术来处理.一个熟悉了很多数学的教师，如果不懂得欣赏数学的内在本质以及它在文化意义上的全部重要性，他实际上是一个失败的教师.张维忠界定了数学文化的内涵：“从广义上，数学文化指包含数学史、数学美、数学与生活的交叉、数学与各种文化的关系以及这些要素之间相互作用形成的一个和谐的系统;从狭义上，包括数学思想、精神、方法、观点以及语言的形成与拓展”.［5］通俗地说，数学文化就是“数学家所做的那些事儿”.在张奠宙、宋乃庆的教材《数学教育概论》中，把数学教学的德育功能概括为一个基点（热爱数学），三个维度（人文精神、科学素养、道德品质），六个层次（其中第一个层次就是以优秀的数学文化感染学生）.因此，没有文化味，如何去实现德育价值和情感态度价值观的目标？那么，如何让数学课有文化味？我们常常看到一些资深教师会侃一些数学故事或情境，这就是文化味，所以，数学的文化，可以看作一盘好菜，也可以看作一盘好菜里的几颗盐.（2）习题味太重数学解题是数学教师的基本功.教会数学解题也就教会了在数学考试中夺分.但，教师往往太关注于刷题了，以至于忘记“数学是什么”了.战争中的神枪手不是赢得战争的关键，医生不要去抢着干护士干的活，教数学时不要把知识传授异化为解题训练.所以，前面所说的顾泠沅的研究“成绩上去了，学生不聪明怎么办”非常值得我们反思.数学是应该教智慧的啊！杨九俊说过：智慧教育首先是道德教育，是“善”，其次是“创造”，再次是智慧的“熏陶”.［6］从这点看，习题味太重的现象本质上不单纯是教师的认知问题，也可能是一种懒惰，一种无能.若是真的喜爱研究习题，不妨创制一些多选题、开放题、讨论题、调研题、作文题！如果只做考试中出现的题型，只关心考试的名次，学生就会感到“数学就是为了考试而生的”.有位大学生家长问笔者，孩子高考分数是很高的,为什么高等数学成绩很差？笔者无奈地回答：大学里咱们不学“数学解题学”，而要学真正的“数学”；大学里的孩子不吃精粮，都是自己觅食的鹰.（3）活动性太弱课标上都说应教学生获得基本活动经验，而我们的数学课活动非常单一.郑毓信在文献［2］中专门讲了一章《数学活动论》,其核心观点是，数学不能等同于数学活动的产物，而应更加关注相应的创造性活动.在数学活动中，最为核心的成分是“问题”，为了求解问题，又必须采用一定的概念工具和研究方法,从而涉及到了另外两个成分:“语言”和“方法”，数学的知识成分就是“问题”“语言”“方法”和自身的“理论体系”.另外，每个数学工作者都处于一定的“数学传统”中，形成数学的观念或信念.数学活动论就是说，数学是“知识成分”和“观念成分”的复合体.数学课的活动性太弱是大家都很容易看到的：“只关心知识传授、知识机械堆积、不讲联系；只关心基本知识和技能、忽视能力和体验、忽视情感态度价值观；只重视课本知识，不关心隐性知识”.［5］活动性强的课是什么样子的？提问、讨论、对话、实验、互问互评、课题建模、阅读写作，等等，这些都是.开发活动项目，实际上是教师智慧的重要体现，其结果就是能否培养核心素养的问题.要成绩还是要活动,就是前面顾泠沅团队研究的第三阶段的问题，即培养考试型学生还是探究型学生的问题.在这点上，我们很多数学教师都作出了错误的选择.202110-3-（4）功利性太强为什么明知探究型学生更聪明，却偏要培养刷分高手呢？这就是功利性驱使.与前面三个痼疾不同，功利性是一个社会问题，而不是教育问题.家长急着要孩子出成绩，校长和局长也要成绩.当然，最主要的还是教师自己想教出好成绩.那就寻求“高效”的方法吧.笔者在苏州大学的新生中做过统计，他们中70%以上在读高中时，是在“导学案”中成长的.有一次笔者听到一位中学生家长建议把公办学校撤掉，改让辅导机构来教,理由是辅导机构的辅导资料比中学里的导学案还要“好”，这是一个怎样的警示！另外，学校成绩总体不理想时，家长有没有权利请校长“下课”？这种复杂的问题其实可以通过哲学的思维来回答.我们的教育系统由三个子系统构成，教学与科研系统（由教师负责）、人才与管理系统（由领导负责）、测量与评价系统（应由第三方负责）.目前我国测量与评价系统处于非常落后的水平，基本没有第三方参与，除了纸笔考试也没有什么好的测评方法，教师、领导和家长都有资格来评价，这就是问题的症结.可见，教师既要学数学知识又要学数学教学知识，既要做教练员又要做裁判员，的确是不容易的.我们常常听到有人问“学数学有什么用啊？”这就是一个功利性倾向的提问，回答这个问题就应准备哲学的答案：数学是文化、数学是思维、数学是基础知识.同样：“这个教师教得好不好啊？”也应准备哲学的答案：他教了文化、他教了智慧、他教了知识，他不是一本教辅书，他不是一堆数学题.3面向本科生数学教育哲学课程建设的建议哲学的基本特征在于它的理论性和系统性,一线教师非常希望自己的见解被提升到理论的高度，也希望可以将数学教育中的现象和问题看得更有深度.因此，学一点数学教育哲学是十分必要的.目前国内只有郑毓信的《新数学教育哲学》和黄秦安、曹一鸣的《数学教育哲学》7］可以作为教材，但前者趋于理论研究，后者跳开了哲学的基本方法，直接讨论数学教育的文化社会研究.如果把两者的特点结合起来，再加上必要的数学文化和哲学基础知识，就比较适合于一线教师和师范生学习了.本文作者将这个想法发表在ICME14上,发言的结果得到了数学教育哲学团体主席欧内斯特的肯定.在此简述这个《面向本科生的数学教育哲学课程建设的建议》（课程性质、基本理念和设计思路略，只简述内容和目标）.第一部分哲学基础一、哲学、数学、数学教育的起源了解哲学的基本含义、古希腊文明的兴衰，知道十几位重要的哲学家，了解数学文化，了解二十世纪和二十一世纪的数学教育改革.二、哲学的基本原理理解哲学的一般特征（哲学的思维和内容）认识论和形而上学，认识价值哲学.三、教育的基本哲学了解教育的定义、目的和功能，了解教育哲学的主要流派，了解新教育运动、实用主义、改造主义、要素主义、结构主义等教育哲学流派.第二部分数学教育的哲学问题一、什么是数学理解数学的多样性和辩证关系,理解数学模式论，数学活动论，数学文化论.二、为什么要进行数学教育理解数学教育观，理解弗赖登塔尔、波利亚、M•克莱因和F.克莱因的数学思想，理解数学教育的基本性质，理解数学文化与数学素质教育的关系，理解数学教育的文化与社会研究，理解数学教育中的人文主义与科学主义的整合.三、应当如何进行数学教学与数学学习理解建构主义学习观和教学观，理解社会和文化视角下的数学学习观和教学观.第三部分数学教师的发展一、数学教师的理性精神理解数学教师的冷思考、数学教师的审美和自我评价.二、数学教师的实践理解数学教师专业知识的框架，知道“好课”“好教师”“好学生”“教学效果”等问题的判断，了解教书匠、智者和大师型数学教师的教学行为的案例分析.课程在实施时，应利用多种资源帮助学生从实践中感悟哲学思考的作用，并积累经验.例如,布置的作业可以是数学教育热点问题的讨论、走进中小学课堂听课的评议报告等.TSG56的专题摘要指出：“哲学是一种以全面、分析、批判和反思的方式思考世界和人类实践的活动”.哲学的理论视角总是离不开社会（生态）、历史（发展）、文化（传统）三个方面，数学教师（下转第13页）2021年第10期中学数学月刊-13-“问题5”引导学生探寻不同解法.只有分析清楚知识的类型及其学法，才会懂得如何强化法则的概括过程，并合理设计“问题4”以明确指向去括号时符号变化的规律这一法则的本质二是深入了解学生理解数学知识的心理过程.教师要依据认知规律，充分利用数学教学的实践性知识，与学生进行“心理换位”，揣摩学生的认知特征，“深切地体会学生在学习数学知识时，心理上的那种深陷重围的痛楚、举步维艰的困惑、欲言又止的难局，依据学生的心理生成，有针对性地设计出利于学生学习的教学.”[1]本课中，只有分析清楚学生在理解分配律仍适用于式的运算的合理性时可能会有困难，才会引导学生回顾代数式概念，充分了解字母表示数，从而意识到数的分配律仍然适用于式的运算.也只有分析清楚学生的常见错误：当括号前面是负数时，容易忘记改变括号内每一项的符号，才会有针对性地提出分步实施的建议.三是善于以问题引领学习数学问题的解决过程就是学生思维活动的过程，因此，数学教学设计的核心是问题的设计，它要求教师在教学设计时善于选择一个好的问题情境，善于设置一个好的起始问题，设计一串能够引导学生不断深入思考的问题链，通过先“设疑”后“解惑”，组织起学生的数学思维活动，搭建起整个数学教学活动的过程.如在本课中，理解了知识路径与认知路径并非就一定能很好地设计出适合学生学习的路径，还需要进行“学为中心”的问题导学设计，如问题2、4、5的思考性问题，问题3的拓展性问题，问题6的归纳性问题，引导学生通过问题链真正经历这一“理想的”学习路径.（上接第3页）应当关心一点数学教育与历史、文化和社会的关系，立德树人，克服功利.数学与哲学在泰勒斯时代本来就是同根同源的，教师只有爱思考、爱智慧，数学才能学得好、教得好.参考文献[1]辞海编辑委员会.辞海[M].上海：上海辞书出版社，1999:2160.[2]郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社,2015：前言,428.[3]孙四周.思维的起源[M].北京：中国国际广播出版以上三项工作中，教师充分理解数学知识及发生发展过程是学习过程设计的前提与基础，深入了解学生理解知识的心理过程是学习过程设计的必要条件，以问题引领教学是教学设计的一个基本策略.5.2“双径融合，问题导学”促使学生“有目的地思考”“重结果轻过程”是法则教学中普遍存在的现象，许多教师会直接给出法则，然后让学生通过反复的训练来强化记忆法则.通过“双径融合”的方法进行设计显然使得教师对代数运算的教学上升了一个高度——注重知识发生发展过程以帮助理解算理、感受重要数学思想方法、发展基本数学能力更为重要的是可以更好地促使学生“有目的地思考”，这显然是数学教学设计最重要的目标之一.如此，法则教学就不会被简单定位成技能教学，显然还可以包括更多、更为高级的思维层面的目标在本课中，如果没有充分理解字母表示数，学生就不会认为代数式的本质仍是数，也就不可能充分体会“数式通性”，对分配律仍适用于式的认识也就可能只停留在直观的水平，而不能达到代数的本质如果没有深入分析去括号法则的本质,引导学生进行有目的的归纳活动，学生甚至部分教师都会将其仅仅视为分配律的运用，法则就成了“空中楼阁”.参考文献[1]张昆.整合数学教学设计的取向一-一基于知识发生的逻辑取向与心理取向的研究[J].中国教育学刊，2011,6：52-55.社,2019:190.［］YanYaqiang,Xue Suyuc,Ma Jun Ceng,Cutriculum system of the philosophy of mathematics education for normalstudents,Mathematics Teaching Research Journal,2020,12(2).［5］张维忠.文化是促进学生理解的载体［N］中国教育报,2009-03-06(6).［］杨九俊.幸福教育的样子［M］南京：江苏凤凰教育出版社,20143.［］黄秦安，曹一鸣.数学教育哲学［M］北京：北京师范大学出版社，2019.。