宁夏石嘴山市第三中学2016届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理

2016年宁夏石嘴山三中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．（5分）若复数z满足iz＝2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）3．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣B．y＝sin x C．y＝x D．y＝ln|x|4．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．25．（5分）已知x、y取值如表：画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为＝x+1，则m的值（精确到0.1）为（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.86．（5分）下列叙述正确的个数是（）①若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＝0，则￢p：∃x∈R，x2﹣x+1＞0；②已知向量，，则•＜0是与的夹角为钝角的充要条件；③已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）＝0.4，则P（ξ＞2）＝0.3；④在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“tan x•cos x≥”发生的概率为．A．1B．2C．3D．47．（5分）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m＝（）A．0B．5C．45D．908．（5分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．函数f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到9．（5分）已知数列{a n}的前项和为S n，点（n，S n）在函数f（x）＝（2t+1）dt的图象上，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝n2+n+2C．a n＝D．a n＝10．（5分）某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为（）A．48B．64C．96D．12811．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）＝4x，x∈（1，2）时，f（x）＝，令g（x）＝2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]，则函数g（x）的零点个数为（）A．6B．7C．8D．9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是．14．（5分）已知函数f（x）＝log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则＝．15．（5分）已知不等式组所表示的区域为D，M（x，y）是区域D内的点，点A （﹣1，2），则z＝•的最大值为．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，BC＝2，P A ⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}满足＝（n≥2），且a1+4是a2，a3的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n，求证：＜2．18．（12分）为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？（Ⅱ）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．（Ⅰ）若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD＝2，AA1＝λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．21．（12分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，g（x）＝f（）﹣x2+（1﹣a）x+a，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）解析式；（Ⅱ）求函数g（x）单调区间；（Ⅲ）若x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更接近lnx，并说明理由．选做题请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE 于F点，交AB于D点．（1）求∠ADF的度数；（2）若AB＝AC，求AC：BC．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；并判断直线l与圆C的位置关系．（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|P A|+|PB|[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p＝f（2），求证：mn+np+pm≤3．2016年宁夏石嘴山三中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【解答】解：∵B＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1}∩{x|0≤x≤2}＝{x|0≤x≤1}．则A∩B的区间为：[0，1]．故选：C．2．（5分）若复数z满足iz＝2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）【解答】解：复数z满足iz＝2+4i，则有z＝＝＝4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选：C．3．（5分）下列函数中，既是奇函数又在（﹣∞+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣B．y＝sin x C．y＝x D．y＝ln|x|【解答】解：y＝﹣在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除A；y＝sin x在每个区间（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）上单调递增，但在定义域内不单调，故排除B；令f（x）＝，其定义域为R，且f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f′（x）＝3x2≥0，所以f（x）在R上单调递增，故选：C．4．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+c2﹣bc，bc＝4，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．2【解答】解：∵a2＝b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，又0＜A＜π，∴可得A＝60°，sin A＝，∵bc＝4，∴S△ABC＝bc sin A＝＝．故选：C．5．（5分）已知x、y取值如表：画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为＝x+1，则m的值（精确到0.1）为（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8【解答】解：将代入回归方程为可得，则4m＝6.7，解得m＝1.675，即精确到0.1后m的值为1.7．故选：C．6．（5分）下列叙述正确的个数是（）①若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＝0，则￢p：∃x∈R，x2﹣x+1＞0；②已知向量，，则•＜0是与的夹角为钝角的充要条件；③已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）＝0.4，则P（ξ＞2）＝0.3；④在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“tan x•cos x≥”发生的概率为．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1＝0，则￢p：∃x∈R，x2﹣x+1≠0；故①错误，②已知向量，，则•＜0是与的夹角为钝角的充要条件错误，当＜，＞＝180°时，满足•＜0；但此时与的夹角为不是钝角，故②错误，③已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）＝0.4，则P（ξ＞2）＝[1﹣P（﹣2≤ξ≤2）]＝＝0.3；故③正确，④∵tan x•cos x，即sin x且cos x≠0，∵x∈[0，π]，∴x∈[，）∪（，]∴在区间[0，π]内，满足tan x•cos x发生的概率为P＝＝．故④错误，故正确的是③，故选：A．7．（5分）如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMODn”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m＝（）A．0B．5C．45D．90【解答】解：第一次执行循环体，r＝90，m＝135，n＝90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r＝0，m＝45，n＝0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．函数f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1，函数的周期为：π；x＝时，函数取得最大值，所以函数f（x）的图象关于直线x＝对称；由2x﹣∈[2k，2k]k∈Z，解得x∈[kπ，k]，k∈Z，函数f（x）在区间[0，]上是增函数，正确．函数f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到：f（x）＝2sin（2x ﹣）﹣1，所以选项D不正确．故选：D．9．（5分）已知数列{a n}的前项和为S n，点（n，S n）在函数f（x）＝（2t+1）dt的图象上，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝n2+n+2C．a n＝D．a n＝【解答】解：∵f（x）＝（2t+1）dt＝（t2+t）＝x2+x﹣2，∴S n＝n2+n﹣2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+n﹣2）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）﹣2]＝2n，又∵a1＝S1＝1+1﹣2＝0不满足上式，∴a n＝，故选：D．10．（5分）某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为（）A．48B．64C．96D．128【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1＝6，O1C1＝2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4＝96，故选：C．11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设，函数y＝的导数为：y′＝，∴切线的斜率为，又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），∴，解得x0＝1，∴P（1，1），双曲线的左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的右焦点F2（1，0），既c＝1．则|PF1|﹣|PF2|＝2a，既﹣＝2a解得a＝所以离心率e＝＝＝12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）＝4x，x∈（1，2）时，f（x）＝，令g（x）＝2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]，则函数g（x）的零点个数为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵x∈[0，1]时，f（x）＝4x，∴f（1）＝4∴x∈（1，2）时，f（x）＝＝，∵g（x）＝2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]，令g（x）＝2f（x）﹣x﹣4＝0，即f（x）＝x+2∵函数f（x）满足f（x+2）＝f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，分别画出函数y＝f（x）在x∈[﹣6，2]，y＝x+2的图象，∴y＝f（x）在x∈[﹣6，2]，y＝x+2有8个交点，故函数g（x）的零点个数为8个．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是45．【解答】解：由通项公式T r+1＝（）r（﹣x2）10﹣r＝（﹣1）10﹣r（x），令20﹣＝0＝0，解得r＝8．∴常数项为T8＝×（﹣1）2＝45故答案为：45．14．（5分）已知函数f（x）＝log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则＝10．【解答】解：∵函数f（x）＝log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，∴P坐标为（3，4），∵角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，∴sinα＝＝，cosα＝＝，则原式＝＝10，故答案为：1015．（5分）已知不等式组所表示的区域为D，M（x，y）是区域D内的点，点A （﹣1，2），则z＝•的最大值为2．【解答】解：z＝•＝﹣x+2y，画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（2，2），由z＝﹣x+2y得：y＝x+，显然直线过A（2，2）时，z最大，z的最大值是2，故答案为：2．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，BC＝2，P A⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为．【解答】解：过A作平面ABC所在球截面的直径AD，连结BD，CD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝∠ADB＝30°．∴∠BCD＝∠CBD＝∠BDC＝60°．即△BCD是等边三角形．∵BC＝2，∴AD＝＝．过球心O作OM⊥平面ABC，则M为AD的中点，∴AM＝．设外接球半径为r，则4πr2＝8π，∴r＝．即OA＝．∴OM＝＝．∵P A⊥平面ABC，∴P A＝2OM＝．∴V P﹣ABC＝＝＝．故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}满足＝（n≥2），且a1+4是a2，a3的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n，求证：＜2．【解答】（1）解：∵数列{a n}满足＝（n≥2），∴数列{a n}是公比为2的等比数列，∵a1+4是a2，a3的等差中项，∴2（a1+4）＝a2+a3，∴2（a1+4）＝a1（2+4），∴a1＝2．∴a n＝2n．（2）证明：＝，∴数列的前n项和T n＝++…+，∴＝+…++，∴＝+…+﹣，﹣＝﹣，∴T n＝2﹣．数列单调递减，∴＝T1≤T n＜2，18．（12分）为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？（Ⅱ）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解（Ⅰ）根据频率定义，0.2+0.25+b+0.3＝1，解得b＝0.25；200：0.2＝a：0.25，解得a＝250，200：0.2＝c：0.3，c＝300，…（2分）第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆．…（6分）（Ⅱ）在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为．…（8分）由题意知ξ～B（4，），则P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，3，4．ξ的分布列为：…（10分）Eξ＝4×＝1…（12分）19．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．（Ⅰ）若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD＝2，AA1＝λAC，二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）若AA1＝AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD＝2CD，∠ADC＝60°，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD＝C，∴AC1⊥平面A1B1CD；（Ⅱ）若CD＝2，∵∠ADC＝60°，∴AC＝2，则AA1＝λAC＝2λ，建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2λ），A1（0，2，2λ），则＝（2，﹣2，﹣2λ），＝（2，0，0），＝（0，2，0），设面CA1D的一个法向量为＝（1，0，0）．则•＝2x﹣2y﹣2λz＝0，•＝2x＝0，则x＝0，y＝﹣λz，令z＝1，则y＝﹣λ，则＝（0，﹣λ，1）设面A1DC1的一个法向量为＝（x，y，z）•＝2x﹣2y﹣2λz＝0，•＝2y＝0，则y＝0，2x﹣2λz＝0，令z＝1，则x＝λ，则＝（λ，0，1），∵二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值为，∴cos＜，＞＝＝＝，即（1+λ2）（1+3λ2）＝8，得λ＝1，即AA1＝AC，则三棱锥C 1﹣A1CD的体积V＝＝＝＝4．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得，e＝＝，a2﹣b2＝c2，点（1，）代入椭圆方程，可得+＝1，解得a＝，b＝1，即有椭圆的方程为+y2＝1；（2）①当k不存在时，x＝±时，可得y＝±，S△OAB＝××＝；②当k存在时，设直线为y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，由直线l与圆O：x2+y2＝相切，可得＝，即有4m2＝3（1+k2），|AB|＝•＝•＝•＝•＝•≤•＝2，当且仅当9k2＝即k＝±时等号成立，可得S△OAB＝|AB|•r≤×2×＝，即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y＝±x±1．21．（12分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，g（x）＝f（）﹣x2+（1﹣a）x+a，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）解析式；（Ⅱ）求函数g（x）单调区间；（Ⅲ）若x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|，则称x比y更接近m．当a≥2且x≥1时，试比较和e x﹣1+a哪个更接近lnx，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得f′（x）＝f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），所以f′（1）＝f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）＝1．又f（0）＝f′（1）e﹣2，所以f（x）＝e2x+x2﹣2x．（Ⅱ）∵f（x）＝e2x﹣2x+x2，∴g（x）＝f（）﹣x2+（1﹣a）x+a＝e x﹣x﹣x2+（1﹣a）x+a＝e x﹣a（x﹣1）∴g′（x）＝e x﹣a，①a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在R上单调递增；②当a＞0时，由g′（x）＝e x﹣a＝0得x＝lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．综上，当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lna）．（Ⅲ）解：设p（x）＝﹣lnx，q（x）＝e x﹣1+a﹣lnx，∴p′（x）＝﹣﹣＜0，∴p（x）在[1，+∞）上为减函数，又p（e）＝0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0；当x＞e时，p（x）＜0．∵q′（x）＝e x﹣1﹣，q″（x）＝e x﹣1+＞0，∴q′（x）在[1，+∞）上为增函数，又q′（1）＝0，∴x∈[1，+∞）时，q′（x）≥0，∴q（x）在∈[1，+∞）上为增函数，∴q（x）≥g（1）＝a+2＞0．①当1≤x≤e时，|p（x）﹣q（x）|＝p（x）﹣q（x）＝﹣e x﹣1﹣a，设m（x）＝2lnx﹣e x﹣1﹣a，则m′（x）＝﹣＜0，∴m（x）在[1，+∞）上为减函数，∴m（x）≤m（1）＝e﹣1﹣a，∵当a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更接近lnx．②当x＞e时，|p（x）﹣q（x）|＝﹣p（x）﹣q（x）＝﹣+2lnx﹣e x﹣1﹣a＜2lnx﹣e x﹣1﹣a，设n（x）＝2lnx﹣e x﹣1﹣a，则n′（x）＝﹣e x﹣1，n″（x）＝﹣﹣e x﹣1＜0，∴n′（x）在x＞e时为减函数，∴n′（x）＜n′（e）＝﹣e e﹣1＜0，∴n（x）在x＞e时为减函数，∴n（x）＜n（e）＝2﹣a﹣e e﹣1＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比e x﹣1+a更接近lnx．综上：在a≥2且x≥1时时，比e x﹣1+a更接近lnx．选做题请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE 于F点，交AB于D点．（1）求∠ADF的度数；（2）若AB＝AC，求AC：BC．【解答】（1）因为AC为⊙O的切线，所以∠B＝∠EAC因为DC是∠ACB的平分线，所以∠ACD＝∠DCB所以∠B+∠DCB＝∠EAC+∠ACD，即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为⊙O的直径，所以∠DAE＝90°．所以．（2）因为∠B＝∠EAC，所以∠ACB＝∠ACB，所以△ACE∽△BCA，所以，在△ABC中，又因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB＝30°，Rt△ABE中，[选修4-4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；并判断直线l与圆C的位置关系．（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|P A|+|PB|【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程（t为参数）．化为普通方程，得：x+y﹣3＝0…..3分把圆C的方程为ρ＝4cosθ化为普通方程，得：x2+y2＝4x…..6分即（x﹣2）2+y2＝4点C到l的距离d＝＝＜2，∴直线l与圆C相交．（Ⅱ）设点A，B对应的参数分别为t1，t2，将（t为参数）．代入（x﹣2）2+y2＝4整理得：，则又|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p＝f（2），求证：mn+np+pm≤3．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）＝2x﹣4+x+1＝3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x ＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）＝4﹣2x+x+1＝5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）＝4﹣2x﹣1﹣x＝3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）＝2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）＝3，∴m+n+p＝f（2）＝3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2＝m2+n2+p2+2mn+2mp+2np＝9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．。

宁夏石嘴山市第三中学2016届高三三模数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________+A．202πA ．．C ．．10．公元263年左右，我国数学刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名是徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（）（参考数据：3 1.732,sin150.2588,sin 7.50.1305︒≈≈）A ．12B ．2411．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>一象限三等分，则双曲线22221x y a b-=A ．6或233C ．2或312．设函数()e (sin cos )x f x x x =-(0A ．220162)e (1e 1e πππ---C ．210082)e (1e 1e πππ---二、填空题13．已知α是锐角，3,sin ,4a b α⎛⎫= ⎪⎝⎭14．已知各项均为正数的等比数列{a ________．15．下列命题：①已知m ，n 表示两条不同的直线，n β⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的必要不充分条件；②不存在23log log x x <成立；③“若22am bm <()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数．正确的命题序号是16．在球O 的内接四面体A BCD -中，（1）求a的值；（2）用分层抽样的方法在A，B类轿车中抽取一个容量为总体,从中任取2辆,求至少有1辆A（3）用随机抽样的方法从A，B两类轿车中各抽取．设，函数（Ⅱ）已知（是自然对数的底数）和。

1.集合A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6},则图中阴影部分表示的集合为（）析(a + 2by = a +4a • b + b =4 + 4 + 4 = 12,a(a + 2b) = 4 + 2 = 6I d + 方 1= 2\3 ,所以 COS& = ---- & _ =、二，所以 0 =—，选 A.2x2 品 2 6【考点】向量的数量积及乘法运算.4. 已知等差数列{©}的公差为2,若成等比数列，则。

3=（ A. — 10B. —6 C ・—8 D ・—4【答案】D【解析】试题分析：由题设可得&=（©-4）（©+2）,即一2°3-8 = 0,故如=一2, 选D.【考点】等差数列等比数列的概念及通项.5. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相 应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出y 关于A •的线性回 归方程为y = 0.7x + 0.35,则下列结论错误的是（）2016届宁夏石嘴山三中高三（下）C. {3,4}D ・{5,6}【解析】试题分析：因AC\B = {3A}y 故A — B = {1,2},选B ・ 【考点】交集补集运算.2.已知/为虚数单位, A.-12【答案】A3-4/则复数一的虚部为（）1 + /C. -Z/ 2故虚部为-2,应选A.2【解析】试题分析：因上出=土"1 + / 2【考点】复数的概念及乘法运算.b 的夹角为且同=2,”| = 1,则向量3・若向量a,a 与向jg; a+2b 的夹角为（兀A •石【答案】71B •亍5龙 D T【答案】BX 3 4 5 ey 2.5 t 4 4.EA.线性回归直线一泄过点(4.5,3.5)B.产品的生产能耗与产量呈正相关C.f的取值是3.15D.A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0・7吨【答案】C【解析】试题分析：因^ = —= 4.5,故A正确；又由线性回归的知识可知D, B是正确4的，故应选C.【考点】线性回归方程及运用.6.下列命题中，真命题是()A.Vxe R,2" > x2B.3xe R.e x < 0C.若a >b.c>d ,贝ij a—c>b—dD.c宀bc2是a<b的充分不必要条件【答案】D【解析】试题分析：因6/C2 < be1,故C2 >0,所以6/C2 < be2是xb的充分条件.反之, 若avb故,则c2 =0就不成立了，故应选D.【考点】充分必要条件.7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3,则正视图中的X的值是()9 3A. 2B. 一C•二 D. 32 2【答案】D【解析】试题分析：由三视图可以看出该几何体是四棱锥，底而积为S = i(l + 2)x2 = 3,高为■所以体积V = -x3xx = 3f解之得x = 3,故选D.2 3【考点】三视图的识读与棱锥的体积公式.【易错点晴】本题重在考査三视图的识读和理解及简单几何体的体枳的计算问题.求解时要仔细阅读所提供的三视图的所有信息，力争将其还原为原来的几何体，进一步搞淸几何体的形状，以便正确使用体积公式进行运算•解答这类问题的关键是搞清几何体的形状，其次是图形中所提供的数据信息，因为这些数正视图侧视图俯视图据是计算的必要条件，否则会导致问题的解答出错.）718.知实数x、y满足y<2x-l,如果目标函数z = x—y的最小值为-1,则实数吩x + y< mA. 6 B・5 C・4 D・3【答案】B【解析】试题分析：如图，画出不等式组所表示的区域，结合图形可以看岀：当动直线经岂匸5 ,直线y = x —z在轴上截距-z最大，此时z nun = -1 ,将点岂二1）的坐标代入y =兀一z可解得m = 5，故应选B.【考点】线性规划及可行域的运用.【易错点晴】本题重在考查线性规划的有关知识的综合运用问题•求解时要先将题设中所提供的不等式组准确地画在平面直角坐标系中，将可动的直线的运动规律高淸楚，再平行移动动直线，从而依据题设条件建立方程或不等式求解，这类问题能有效检测学生数形结合的能力和运算求解能力，阅读和理解题设中的有关信息并合理地加以运用是解答这类问题的关键.9.如图所示的程序框图，若输岀的5=88,则判断框内应填入的条件是（）过点A（曲.A. R>3?【答案】CB. £>4?C. k>52D. R>6?【解析】试题分析：当k = 2,S = 2;k = 3,S = 2x2 + 3T^=15 = 2x7 + 4 = 1 &R = 5,S = 2x18 + 5 = 41："6,S = 2x41+6 = 8&所以应当填R>5?,故应选C.【考点】算法流程图的识读和理解.10.已知函数/(x) = sin(iyx +(p){(o > 0, \(p\ <—)的最小正周期为4/r,且对Vx e /?,2有/(A) < /(-)成立，则/(A)的一个对称中心坐标是()A. (―-^-,0)B. (― —.,0)C. (^—,0)D. (^-,0)wX【答案】A【解析】试题分析：因4 ^ =—，故力=丄，所以f(x) = sin(l x + 0)；由/(x) < /(：) co 2 23可知当x =-时，/(X)取最大值1,即Sin(冬+ 0) = 1,因为|0|<兰，所以(p = -y此时3 6 2 3f(x) = sin(£x +彳)，故应选A.【考点】正弦函数的图象和性质.11.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分別为斤，朽，这两条曲线在第一象限的交点为卩、呼件是以PF}为底边的等腰三角形。

2016年宁夏石嘴山三中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]2．在复平面内，复数g（x）满足，则z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π4．已知f（x）=则f（f（2））的值是（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知等差数列数列{a n}满足a n+1+a n=4n，则a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．36．在区间[0，1]上随机取两个实数a、b，则函数在区间[0，1]上有且只有一个零点的概率是（）A．B．C．D．7．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．29．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B．C．D．10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．4811．已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线的离心率为（）A．2或 B．或C．2或D．或12．设函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极小值之和为（）A．B．C．D．二、填空题：每小题5分．13．已知α是锐角， =（，sinα），=（cosα，），且∥，则α为度．14．已知各项均为正数的等比数列a n的前n项和为S n，若S4=3S2，a3=﹣2，则a7= ．15．下列命题：①已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m⊥α，n⊂β，则“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件；②不存在x∈（0，1），使不等式成立log2x＜log3x；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题；④∀θ∈R，函数f（x）=sin（2x+θ）都不是偶函数．正确的命题序号是．16．在球O的内接四面体A﹣BCD中，AB=6，AC=10，∠ABC=，且四面体A﹣BCD体积的大值为200，则球O的半径为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知f（x）=4cosxsin（x﹣），x∈R．（I）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（II）在△ABC中，BC=4，sinC=2sinB，若f（x）的最大值为f（A），求△ABC的面积．18．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，某月的产量如下表（单位：辆）：类别 A B C数量400 600 a按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在A，B类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆A类轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从A，B两类轿车中各抽取4辆，进行综合指标评分，经检测它们的得分如图，比较哪类轿车综合评分比较稳定．19．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P﹣ABFED，且PB=．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求四棱锥P﹣BFED的体积．20．已知椭圆的右焦点为F，短轴长为2，点M为椭圆E上一个动点，且|MF|的最大值为．（1）求椭圆E的方程；（2）若点M的坐标为，点A，B为椭圆E上异于点M的不同两点，且直线x=1平分∠AMB，求直线AB的斜率．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1=（e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞．[选修4-1：几何证明选讲]|22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]|23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]|24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．2016年宁夏石嘴山三中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．2．在复平面内，复数g（x）满足，则z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|，可得z==1﹣i，复数z对应的点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数=1+i对应的点为（1，1），在第一象限．故选：A．3．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱与正方体的组合体，由7个平面和1个曲面组成．【解答】解：由三视图可知该几何体为半圆柱与正方体的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为2，正方体的边长为2，∴几何体的表面积S=2×2×5+π×12+π×1×2=20+3π．故选B．4．已知f（x）=则f（f（2））的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的值．【分析】根据指数幂和对数的运算直接代入求解即可．【解答】解：由分段函数可知，f（2）=，∴f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2e0=2．故选：C．5．已知等差数列数列{a n}满足a n+1+a n=4n，则a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据a n+1+a n=4n，写出a2+a1，a3+a2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a n+1+a n=4n，∴a2+a1=4，a3+a2=8，两式相减得a3﹣a1=8﹣4=4，∵数列{a n}是等差数列∴2d=4，即d=2，则a2+a1=2a1+d=4=2a1+2即a1=1．故选：B．6．在区间[0，1]上随机取两个实数a、b，则函数在区间[0，1]上有且只有一个零点的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=x3+ax﹣b在区间[0，1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a∈[0，1]，∴f'（x）=1.5x2+a≥0，∴f（x）是增函数，若在[0，1]有且仅有一个零点，则f（0）•f（1）≤0，∴﹣b•（0.5+a﹣b）≤0，即b（0.5+a﹣b）≥0，∴b≤a+0.5，由线性规划内容知全部事件的面积为1×1=1，满足条件的面积为1﹣=，∴概率P=，故选：D．7．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC），k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得当直线经过点A（0，2）时，直线的斜率取最大值2，当直线经过点B（0，﹣2）时，直线的斜率取最小值﹣2，故选：A．8．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．9．已知a是常数，函数的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【分析】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到a＞1，然后利用指数函数的图象平移得答案．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，由函数y=f′（x）的图象可知，∴a＞1，则函数g（x）=|a x﹣2|的图象是把函数y=a x向下平移2个单位，然后取绝对值得到，如图．故可能是D．故选：D．10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．11．已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线的离心率为（）A．2或 B．或C．2或D．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的渐近线的方程可得=tan30°或=tan60°，即为b=a或b=a，利用c2=a2+b2，将所得等式转化为关于离心率的方程即可解得离心率．【解答】解：双曲线C1：﹣=1的渐近线方程为y=±x，双曲线C2：﹣=1的渐近线方程为y=±x，由渐近线将第一象限三等分，可得：=tan30°或=tan60°，即为b=a或b=a，可得c==a或c=2a，即e=或e=2．故选：A．12．设函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极小值之和为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极小值f（2kπ+2π）=e2kπ+2π，再利用等比数列的求和公式来求函数f（x）的各极小值之和即可．【解答】解：∵函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），∴f′（x）=（e x）′（sinx﹣cosx）+e x（sinx﹣cosx）′=2e x sinx，∵x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，f′（x）＞0，∴x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时原函数递减，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，函数f（x）递增，故当x=2kπ+2π时，f（x）取极小值，其极小值为f（2kπ+2π）=e2kπ+2π[sin（2kπ+2π）﹣cos（2kπ+2π）]=e2kπ+2π×（0﹣1）=﹣e2kπ+2π，又0≤x≤2016π，∴函数f（x）的各极小值之和S=﹣e2π﹣e4π﹣e6π﹣…﹣e2012π﹣e2014π﹣e2016π==﹣．故选：A．二、填空题：每小题5分．13．已知α是锐角， =（，sinα），=（cosα，），且∥，则α为15或75 度．【考点】三角函数的化简求值；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】直接利用向量的平行的充要条件，转化为三角方程，然后求解α的大小．【解答】解：α是锐角， =（，sinα），=（cosα，），且∥，可得sinαcosα==，即sin2，∴α=15°或75°．故答案为：15或75．14．已知各项均为正数的等比数列a n的前n项和为S n，若S4=3S2，a3=﹣2，则a7= 8 ．【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的S4=3S2，把数列的前4项和与前两项的和用数列的通项表示出来，合并同类项整理得到第三项和第四项的和等于第一项和第二项的和的三倍，得到公比的平方是3，进而得到第一项，即可求出结果．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a3=﹣2，S4=3S2，∴a1+a2+a3+a4=3（a1+a2）∴a3+a4=2（a1+a2），∴q2=2，∴a3=a1q2=a1×2=2，∴a1=1∴a7=a1q6=1×23=8故答案为：815．下列命题：①已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m⊥α，n⊂β，则“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件；②不存在x∈（0，1），使不等式成立log2x＜log3x；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题；④∀θ∈R，函数f（x）=sin（2x+θ）都不是偶函数．正确的命题序号是①．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据面面垂直的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断，②根据对数函数的单调性的性质进行判断，③根据四种命题之间的关系进行判断，④根据三角函数的奇偶性进行判断．【解答】解：①∵m⊥α，若m∥n，∴n⊥α，∵n⊂β，∴α⊥β，即必要性成立，反之不一定成立，即“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件；故①正确，②若log2x＜log3x，则＜，若x＞1，则log x2＞log x3，此时不等式不成立，若0＜x＜1，则log x2＞log x3，此时不等式恒成立，即∀x∈（0，1），不等式成立log2x＜log3x成立，故②错误，③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为若a＜b，则am2＜bm2，为假命题．，当m=0时，am2＜bm2不成立，故③错误；④当θ=函数f（x）=sin（2x+θ）=cos2x是偶函数．故④错误，故答案为：①16．在球O的内接四面体A﹣BCD中，AB=6，AC=10，∠ABC=，且四面体A﹣BCD体积的大值为200，则球O的半径为13 ．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】利用四面体A﹣BCD体积的最大值为200，求出A到平面BCD的距离的最大值，再利用勾股定理，即可得出结论．【解答】解：设A到平面BCD的距离为h，球O的半径为r，则∵四面体A﹣BCD中，AB=6，AC=10，∠ABC=，∴AC为截面圆的直径，∴四面体A﹣BCD体积的最大值为200，∴=200，∴h=25，∴r2=52+（25﹣r）2，∴r=13．故答案为：13．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知f（x）=4cosxsin（x﹣），x∈R．（I）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（II）在△ABC中，BC=4，sinC=2sinB，若f（x）的最大值为f（A），求△ABC的面积．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由两角差的正弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简，由此得到最小正周期和单调递增区间．（Ⅱ）由正弦定理得c=2b，由最值得A=，由余弦定理得b=4，所以由三角形面积公式得到面积．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x﹣）=sin2x﹣cos2x﹣1=2sin（2x﹣）﹣1，x∈R．∴f（x）的最小正周期T=π．当﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，即﹣+2kπ≤x≤+2kπ，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间是[﹣+2kπ，+2kπ]，（Ⅱ）∵sinC=2sinB，由正弦定理得c=2b，∵f（x）的最大值为f（A），即2A﹣=，∴A=，在△ABC中，由余弦定理得b2+4b2﹣4b2cosA=16，∴b=4，∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，某月的产量如下表（单位：辆）：类别 A B C数量400 600 a按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在A，B类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆A类轿车的概率；（Ⅲ）用随机抽样的方法从A，B两类轿车中各抽取4辆，进行综合指标评分，经检测它们的得分如图，比较哪类轿车综合评分比较稳定．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）求出抽样比，求和求解a即可．（Ⅱ）根据分层抽样的抽样比得到m，样本中有A类2辆B类3辆，分别记作A1，A2，B1，B2，B3，则从中任取2辆的所有基本事件．其中至少有1辆A类轿车的基本事件，然后求出从中任取2辆，至少有1辆A类轿车的概率．（Ⅲ）求出平均数与方程，比较即可推出结果．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得，，所以a=1000﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）根据分层抽样可得，，解得m=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴样本中有A类2辆B类3辆，分别记作A1，A2，B1，B2，B3，则从中任取2辆的所有基本事件为（A1，A2）（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3）（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共10个，其中至少有1辆A类轿车的基本事件有7个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3）（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），所以从中任取2辆，至少有1辆A类轿车的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵12.5＜13.5，∴B类轿车成绩较稳定．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P﹣ABFED，且PB=．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求四棱锥P﹣BFED的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由三角形的中位线定理可证BD∥EF，再由菱形的对角线互相垂直证得BD⊥AC．即可得到EF⊥AO，再由已知可得EF⊥PO，然后利用线面垂直的判定得答案；（2）设AO∩BD=H，连接BO，结合已知可得HO=PO=，通过解直角三角形求得PO⊥平面BFED．然后求出梯形BFED的面积，代入棱锥的体积公式得答案．【解答】（1）证明：如图，∵点E，F分别是边CD，CB的中点，∴BD∥EF．∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC．∴EF⊥AC．∴E F⊥AO，EF⊥PO．∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO=O，∴EF⊥平面POA．∴BD⊥平面POA．（2）解：设AO∩BD=H，连接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形．∴BD=4，BH=2，HA=，HO=PO=．在Rt△BHO中，，在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO．∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED．梯形BFED的面积为，∴四棱锥P﹣BFED的体积=3．20．已知椭圆的右焦点为F，短轴长为2，点M为椭圆E上一个动点，且|MF|的最大值为．（1）求椭圆E的方程；（2）若点M的坐标为，点A，B为椭圆E上异于点M的不同两点，且直线x=1平分∠AMB，求直线AB的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得b=1，a+c=，且a2﹣c2=1，解得a，c，进而得到椭圆方程；（2）设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），设直线MA的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理可得A的横坐标，同理B的横坐标，再由直线的斜率公式，计算化简整理即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得2b=2，即b=1，|MF|的最大值为，可得a+c=，且a2﹣c2=1，得a=，c=1，则椭圆E的方程为；（2）设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题意可知直线MA的斜率存在，设直线MA的方程为，由得，即为，则，即，因为直线x=1平分∠AMB，所以直线MA，MB的倾斜角互补，斜率互为相反数．同理，则====．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1=（e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），并确定函数的定义域，再解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可分别求得函数f（x）的单调增区间和单调减区间，进而利用极值定义求得函数的极值，由于导函数中含有参数a，故为解不等式的需要，需讨论a的正负；（II）将x1=代入函数f（x），即可得a的值，再利用（I）中的单调性和函数的零点存在性定理，证明函数的另一个零点x2是在区间（，）上，即可证明结论【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．求导数，得f′（x）=﹣a=．①若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函数，无极值；②若a＞0，令f′（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．∴当x=时，f（x）有极大值，极大值为f（）=ln﹣1=﹣lna﹣1．综上所述，当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无极值；当a＞0时，f（x）的递增区间为（0，），递减区间为（，+∞），极大值为﹣lna﹣1（Ⅱ）∵x1=是函数f（x）的零点，∴f （）=0，即﹣a=0，解得a==．∴f（x）=lnx﹣x．∵f（）=﹣＞0，f（）=﹣＜0，∴f（）•f（）＜0．由（Ⅰ）知，函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，∴函数f（x）在区间（，）上有唯一零点，因此x2＞．[选修4-1：几何证明选讲]|22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F 四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2[选修4-4：坐标系与参数方程]|23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．【考点】参数方程化成普通方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系．【分析】（1）把直线和圆的参数方程化为普通方程，联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标，待入直线方程再求中点的纵坐标；（2）把直线方程和圆的方程联立，化为关于t的一元二次方程，运用直线参数方程中参数t的几何意义，结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可求，【解答】解：（1）当时，由，得，所以直线方程为，由，得曲线C的普通方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2）再由，得：13x2﹣24x+8=0，所以，，所以M的坐标为（2）把直线的参数方程代入，得：，所以，由|PA|•|PB|=|t1t2|=|OP|2=7，得：，所以，，所以，所以．所以直线L的斜率为±．[选修4-5：不等式选讲]|24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对（1）要先将原函数根据自变量的取值范围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对（2）先结和条件a≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f（x）的范围，通过图形即可解得结果．【解答】解：（1）（2）由|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）得又因为则有2≥f（x）解不等式2≥|x﹣1|+|x﹣2| 得。